Esercizi svolti di Applicazioni di matematica

Calcolo dei residui e soluzioni degli esercizi

Esercizio 2.1 - Per le funzioni di cui all'Esercizio 1.2, calcolare, se esiste, il Residuo all'infinito.

Esercizio 2.2 - Calcolare Res[f, 0] e Res[f, delle seguenti funzioni:

1. f(s) = sin(s) exp(1/s)
2. f(s) = 1/(2s^2)
3. f(s) = exp(s)/s
4. f(s) = cos(4s)/s^3
5. f(s) = cos(5s)/s^2
6. f(s) = sin(7s)/s

Soluzioni degli esercizi:

Esercizio 1.1. ±j,f ha singolarità al finito poli semplici, entrambe interne a γ. I = 0.1 ±2,f ha singolarità al finito j, poli semplici, entrambe esterne a γ. I = 0.2 ±1,f ha singolarità al finito poli semplici, entrambe interne a γ. I = 1.3 -1, -5, -1f ha singolarità al finito 0, poli semplici; solo 0 e sono interne a γ.4I = 6/5. -j,f ha singolarità al finito polo doppio.

interno a γ. I = 1.5 √√ ±∓ 2/2 j 2/2, poli semplici, entrambe interne a γ.

f ha singolarità al finito6I = 1.Esercizio 1.2.g ha singolarità al finito 1, polo semplice, interna a γ. I = 2/e.

1g ha singolarità al finito 0, eliminabile e 3, 6, poli semplici. Solo 0, 3 sono interne2 3−a γ. I = (1 e )/9.

g ha singolarità al finito 0, eliminabile e 9, polo semplice. Solo 0 è interno a γ.3I = 0. ∞g ha singolarità al finito 0, essenziale e 5, polo semplice; s = è zero del terzo4 −ordine. Dal secondo teorema dei residui I = sin(1/5)/5.

g ha singolarità al finito 0, eliminabile e 1, polo semplice, entrambe interne a γ.5 −I = 1 cos 1.g non ha singolarità al finito (è analitica in I = 0.C).

6g ha singolarità al finito 0, eliminabile e 2, polo semplice, entrambe interne a γ.7I = (sin 4)/2.g ha singolarità al finito 0, polo semplice e 6, polo doppio. Solo 0 è interno a γ.8I = 1/18. ±3,

Res[g , = Res[g , 0] Res[g , 2] = 4)/2.7 7 7 7∞ ∞] − − −g . s = essenziale.

Res[g , = Res[g , 0] Res[g , 6] = (sin 12)/108 (1 +8 8 8 8cos 12)/18.∞ ∞] −1.g . s = zero di ordine 1.

Res[g , =9 9Esercizio 2.2. ∞ ⇒ ∞] −1.f . s = 0 polo semplice, s = essenziale.

Res[f , 0] = 1 Res[f , =1 1 1∞ ∞] ⇒f . s = 0 essenziale, s = zero doppio.

Res[f , = 0 Res[f , 0] = 0.2 2 2∞ ⇒ ∞] −1.f . s = 0 polo doppio, s = essenziale.

Res[f , 0] = 1 Res[f , =3 3 3∞ ∞] ⇒ −1/2.f . s = 0 essenziale, s = polo semplice.

Res[f , = 1/2 Res[f , 0] =4 4 4∞ ⇒ ∞] −5.f . s = 0 polo semplice, s = essenziale.

Res[f , 0] = 5 Res[f , =5 5 5∞ ⇒ ∞]f . s = 0 punto regolare, s = essenziale.

Res[f , 0] = 0 Res[f , = 0.6 6 6∞ ⇒ ∞]f . s = 0 punto regolare, s = essenziale.

Res[f , 0] = 0 Res[f , = 0.7 7 7∞ ∞] ⇒f . s = 0 essenziale,

s = zero doppio. Res[f , = 0 Res[f , 0] = 0.8 8 8Alle stesse conclusioni si può giungere scrivendo gli sviluppi in serie di Laurent in0 delle funzioni coinvolte, tenendo conto che il residuo in 0 è pari al coefficientedel termine 1/s. Ad esempio:3 5 3 sin s 1 s s 1 s s− − · · · − − · · · ⇒= s + = + Res[f , 0] = 1.12 2s s 6 5! s 6 5!4APPLICAZIONI di MATEMATICAA.A. 2016-2017ESERCIZI parte 41 EserciziEsercizio 1.1 - Calcolare il seguente integraleZ1 f (s)dsi2πj γjt ∈dove γ(t) = 3e , t [0, 2π] es sin(1/s) s(7s + 1)f (s) = ; f (s) = ; f (s) = .1 2 31/s 4 2− − − − − −(e 1)(s 2) (s 1)(s 5) (s 1) (s 2)Soluzione:− ∞] ∞I = Res[f , = 0 in quanto s = è zero doppio per f .1 1 1− ∞] − ∞I = Res[f , Res[f , 5]. Poiché s = è zero triplo per f , si ha2 2 2 2∞]Res[f , = 0. Pertanto2 sin(1/5)sin(1/s)− −

−I = Res [f , 5] = = .2 2 −(s 1) 4s=5−2− ∞]I = Res[f , = Res[h, 0], dove h(u) = u f (1/u), ossia3 3 3(7 + u)h(u) = .2− −(1 u) (1 2u)uPoiché u = 0 è polo semplice per h, si ottiene(7 + u)Res [h, 0] = = 7.2− −(1 u) (1 2u) u=01

Esercizio 1.2 - Determinare, se esistono le funzioni analitiche F tali che0 −Re F = x y. (1)0Soluzione. Chiaramente, se F è analitica, allora lo è anche F e pertantola funzione in (1) deve essere armonica, il che può essere verificato immedia-tamente. Pertanto, per quanto visto, tali funzioni F esistono. Ricordandoche 0 0F (s) = F (x + jy) = u (x, y) + jv (x, y)x xsi ha allora −u (x, y) = x yxe, dalla prima delle formule di Cauchy-Riemann anche−v (x, y) = x y.yPertanto 2x − xy + c(y)u(x, y) = 2 2y−v(x, y) = xy + d(x),2dove c [d] è una arbitraria funzione della sola variabile x [y]. Dalla secondadelle formule di Cauchy-Riemann si ottiene allora−vu (x, y) = (x, y)y

xossia 0 0−x −y −+ c (y) = d (x)e quindi 0 0−x −y −+ d (x) = c (y). (2)Pertanto le due funzioni in (2) sono costanti, ossia0 0−x −y −+ d (x) = c (y) = k .1Da qui si ottiene allora 22 yx − −d(x) = + k x + k , c(y) = k y + k1 2 1 32 22e quindi F (x + jy) = u(x, y) + jv(x, y) =2 2 2 2 x y y x− − − −= xy k y + k + j xy + + k x + k .1 3 1 22 2 2 2Poiché 2 2 x xF (x) = F (x + j0) = + k + j + k x + k ,3 1 22 2utilizzando il principio dell’unicità dell’estensione analitica, si ottiene22 ss + k + j + k s + k . (3)F (s) = 3 1 22 2E’ immediato verificare che (3) soddisfa (1). Si osservi che F dipende da trecostanti reali, come era lecito attendersi dal momento che è stata assegnatala parte reale della derivata prima.Allo stesso risultato si perviene anche procedendo nel modo seguente.0Poniamo F = G e siaA(x, y) = Re G, B(x, y) = Im G.Allora −A(x, y) = x ye, utilizzando il

procedimento visto a lezione, si ricostruisce la funzione G(s).
Poiché G(s) = F (s), una integrazione fornisce le funzioni F cercate.
Esercizio 1.3 - Ricordando che −s −ss s−e e e + e, cosh s = ,sinh s = 2 2calcolare, se esistono, i seguenti residui:
1)Res[1/ sinh s, 0],
2)Res[cosh s/ sinh s, 0]∞], − ∞]
3)Res[1/ sinh s,
4)Res[cosh s sinh s,−1− −5)Res[1/(sinh s cosh s), 0],
6)Res[(2 2 cosh s) , 0]
Soluzione.
1) s = 0 polo semplice. Res[1/ sinh s, 0] = 1.
2) s = 0 polo semplice. Res[cosh s/ sinh s, 0] = 1.
3∞ ∞]3) s = singolarità di accumulazione. Res[1/ sinh s, non esiste.
∞ − ∞]4) s = singolarità essenziale. Res[cosh s sinh s, = 0 non essendocisingolarità al finito. −
5) s = 0 punto di regolarità. Res[1/(sinh s cosh s), 0] = 0.−1−
6) s = 0 polo doppio. Res[(2 2 cosh s) , 0] = 0.
2 Esercizi “teorici”
Es. 1 - Per le seguenti funzioni calcolare, se esiste, il residuo

all’infinito3− |s|; −f (s) = s f (s) = s 4 exp(2s )1 2→Es. 2 - Sia f : avente una sola singolarità al finito in s = 0, di tipoC C ∞essenziale. Sia inoltre s = uno zero triplo. Quanto vale Res[f, 0] ?2→ −Es. 3 - Sia f : tale che Re f = x y; la funzione f è analitica?C C oEs. 4 - Stabilire se si può applicare il 2 Teorema dei Residui alle funzionisin 7ssin 7s ; f (s) = ;f (s) = 21 2 2s + 9s + 8 (s + 9s + 8) exp(4s)exp(3s)f (s) =3 2(s + 9s + 8)(sin 7s)Es. 5 - Siano − − − −(s 5)(s 1) (s 5)(s 1)F (s) = ; F (s) = .1 2(s + 7)(s + 9) (s + 7)(s + 9)(s + 11)−7? ∞?Le funzioni F sono sviluppabili in serie di Laurent in s = E in s =iEs. 6 - Sia F una funzione razionale. Stabilire se sono sviluppabili in seriedi Laurent all’infinito le funzioniG (s) = F (s)/ sin s; G (s) = F (s)/ exp(5s).1 2Es. 7 - Sia F una funzione razionale con F (0) = 1. Stabilire se sonosviluppabili in serie di Laurent in s = 0 le funzioniF

1. (s)1/s ;G (s) = e F (s); G (s) =1 2 sF (s) −1/sG (s) = ; G (s) = e F (s).3 4sin(1/s) 4Es.

2. Sia f una funzione analitica in tutto il piano complesso. Quanto∞]vale Res [f, ?Es.

3. Sia f una funzione analitica all’interno della circonferenza di centro2 jt− ∈ ∈l’origine e raggio 10. Sia poi f (s) = 6s 9s + 1 se s γ(t) = 4e , t[π, 3π/2]. Calcolare f (1) e f (j). 0Es.

4. Sia g analitica in un intorno V di s = 7 e g (