Esercizi svolti – Analisi modale nei sistemi dinamici

ESERCIZI SULL'ANALISI MODALE

Polinomio Minimo Trasferimento

funzione

1 di

e

Caratteristico e ,

. Si il dinamico (TI

consideri sistema

! X(t) Bu(t)

Ax(t) +

= (x(t)

y(t) Du(t)

+

= (s)

determino la

stato Si m(s)

uscita il polinomio

polinomio caratteristico Y il

con y

ingresso .

x , u e e

,

,

funzione trasferimento

di =

C(s)

G(s) D

1) B +

= -

sistema

il seguenti

dinamico nei casi

per :

A B 11 ot

C D 1

1 = =

. , ([1])

Y(s) (st(s-1)

(sl-A)

det det 5

Caratteristico

polinomio 1

= =

: =

= -

il

il polinomio m(s) tale che

minimo è m(A)

grado

minimo

polinomio minimo 0

: =

triangolabile autovalori

poiché diagonale

A matrice

è non , ma e

una con

X allora m(s)

distinti 52-1

-1 1 =

:

= , , 1

(s)

formula C(sl-A)

G D

B

TRASFERIMENTO

FUNZIONE

dI +

: =

: Is]

(sl-A)-1

calcoliamo sl-A determinante 1)

1) (s

(s

1

= +

:

: = -

(sl-A) s]

I

matrice 2

inversa =

: T

LTSLJTT

(Sl-A)-2B -

=

= *

C(sl-Al- 1

moltiplico B

110] 2)

(25

C =

= :

per -

S2 1

-

(s)

G 52

D (s2

1 3

S+

25 1)

25-2 25 3

2 +

+

aggiungo =

: 1

= - =

-

+ -

= =

1 1

S2 1

S2 1 S+

52 - -

-

I J

A In o

C

B D 0

2

. =

= =

= ,

,

, Si2])

+

(I

y(s) 2) 32

det (s) (s

det

A) 43 6

2 +

+

= +

+

= =

=

-

Poiché ha

A triangolare

la

complessi parte è

matrice

autovalori reale negativa ma

e non

con ,

ha è

(s) che

molto probabile m(s)

grado

ha

che

visto 52

2

y 4

rango + 6

:

e +

,

pieno =

.

G(s) C(sl-A)-1B D

FUNZIONE TRASFERIMENTO

DI = +

: [i]

calcolo sl-A det(sl-A)

sl-A =52 6

45

: = +

+

=

(sl-A)

calcolo (sl-Al-1

dell'inversa :

[5] susts[za]

(sl-Al-1B

calcolo : =

+

-

G(s) A)

(s) B [10]

D

C [22]

sit =

+ o

=

= - +

. as s

+

A = T 120eT D

c

B

.

3 0

=

= ,

, la

A

essendo è di

già

matrice autovalore

diagonale

POLINOMIO CARATTERISTICO o

, o

con

=

: molteplicità e(s) =

3 :

poiché At

ordine

matrice

la milpotente di

A è

minimo

polinomio 1 o

o =

= :

: ,

il polinomio m(c)

quindi e s

minimo : =

poiché A sila (sl-A)

sl-A &I

slz

0

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO :

= =

: =

, I]

(sl-Al-1B

quindi z B =

: = .

])

(5( 2

G(s) C 1(B)

0

+

= =

. [8T

12

CB 1] 1

= 1 1

1

1 + 0 =

0

0 +

= .

.

.

.

Quindi G(s) E

: = ,

/818] B

A 1101] D

4

. = ,

,

. [[])

4 (s) det (sl-A) =

det

POLINOMIO CARATTERISTICO s

= s

: s

= = .

.

Atto

A

Poiché è vilpotente

nulla

è

polinomio ma

MINIMO non

: : · A2 0

· =

%-

=

infatti A A

A

: = .

quindi m(s) s

=

: (sI-Al T

IT (matrice sup)

triangolare

SI-A

TRASFERIMENTO

FUNZIONE DI = =

: Il

[ITET

(sl-A)--B =

= 01][2]

(sI-A)-1

G(s) C B +o =

D 11

=

+

= .

.