Esercizi Scienza delle costruzioni

C

p +

-

=

= = D

Ma

MBS 0 C

= 0

=

Mc =

(3

o

= M(z)eT(z) (

az-

Trovate Milz) Mz(z) (z

+ 1)

-

=

= -

I 1)

a(z

T2(z)

(z) +

T a) =

= - -

,

tracciare

Si trovare

diagrammi

i del le

taglio

del momento reazioni

possono .

e

e

(non

altro analiticamente)

Oppure modo

in

ragionare

si può un

Tratto il distribuito

BC in BeC

parabola carico

ha MO

è

MIz) perché e

- una .

Tratto AB-pM(z) perche B

retta P

M in

è 9

una 0 e

= =

La )

(perché

BC l'alto

concavità q

la

parabola la

ha corda

in BC è

verso e

PQ G M(z)

FRECCIA (MAX di

: = ·

Bo

Le al centro

tangenti estremi incontrano punto

si in

agli

rette un

1) ePE

(z q)2

= = E

·

# TB To

La T)

M

pendenza di che

dato

queste rette e =

da -T

+ e Tc simmetria

- per

=

Z TB-Ri eRBy

Rcy entrambe

-

-L

Dato Ray

Rcy

che TC sono

e

= =

= tra

Infatti O in

vale 2 punti

simmetrica

parabola è 2

,

quando quei .

una pt

il trova

si al

al simmetrico

anch'esso

centro - T centro

vertice è

> ed

o ·

- =

TBP

Poi TBS TBS la la

che stessa

tratto ha

sappiamo retta nel

L cioè AB

=

= in

della alla

tangente

pendenza parabola B

retta . L

Si il vale

taglia costante)

(AB)

che tratto

vede positivo

1

nel è e

(BC)

Nel che

tratto 2 avremo : ( T(z)

pd,

↓ -

al

AB

T . 2 M(z)

-1 ge2

Ma 9-e modulo

in

=

= .

Z q

Dato Ma -Ma-Ma

che verso

=

= -

2 Et

Ray

Nel tratto T Ta

q

AB -Ray P

cost -

: = = = P

= +

↑ Q

E

·

I

Conoscendo il sviluppi

ricordando

diagramma gli in serie

e :

(sviluppo az

-az

Milz Ti= interno

Mattaz z

=

= e

MB a

al (sviluppo

-q(z-)

(2-1)-aeTaz) intorno

TB(z-1)

Malz = =

+

= - (con reazioni

Ripetere l'esercizio il caledo di T(z)

MIz)

con e

-

E Tost

1

↓

L L

Si tratti

2

dividono i :

BRRRR a

=

# i

Ba ↓ cerniera)

(della RBSERBA

si che

condizioni avrà

per

S RAtRB

h RBS al

+Ra +

0

=

- = = Z

A Matre q(modulo Il momento

-a Ma negativo

è

0 =+

=

I 2 AB

tratto

nel

del

grafico

Il del taglio è

momento sopra

e .

Ora vediamo Spostamenti

gli v Ex v

q02)

differenziali

delle 1)

due El x

Tecnicamente risolvere

si devono M

una :

eq =

=

facendo punto

sviluppo

In intorno

in

lo ad

VIz) si trovare serie

ogni può un

caso

,

(20)

qualsiasi : V

zd)" (

Vo"(z vo"

Vo(z

V(z) z0) +

Vo +

+ +

= - v

V

Ricordando =

che j

y

: = - x Mozzo-To 9

yo(z-zo)

V(z) Vo +

D = -

= -

j

v =- =

S viez-2)

v(z) VA-Yaz-MATA

0zl (2)

V

= =

, MBT

4B(z

ve(z) 4)

VB

= -

- -

Dato che trovare le

Mo limiti

costanti le

conosciamo dobbiamo Cond ai

To vo yo con

e e

S l'incastro tutto

Condizioni InA vincolo cinematico

è

Va

cinematiche un

: o

=

- Cimpedisce rotazioni)

ai rincoli spost. e

Ya

: 0

=

Si

-In ha di

condizione

B perché due

i

collega

raccordo

una

: 44

VB

tratti VB rotazione

la e

perché

: ;

= consentita

InC Vc

- o

: =

Quindi : + -

ra(z) = 4(2-1) MB T

V2(z) VB-

= - -

MB

Sapendo che il ha

si che :

T

VB-y(z-1)

V2(z) = -

y

Per altre

le condizioni

calcolare VB usiamo 2 :

e VB-y-a

1) V a v(21)

0 0

= =

VB-PValelvale) --

C) VB = p

= trave

la

= è

perché

VB e isostatica, quindi conosciamo

↳ lo s

q(z-e)-

valt tutte le .

reazioni

+

= 24E ↑

Possiamo flessione

fare calcoli prevedere

anche la

possiamo

ricavare senza a

il M(z) T(z)

Conosciamo diagramma sia

sia . il basso

trare si

incastrata

da

In partiamo che piega

A verso

una

↓

lo tratto si

dal nel

di

grafico trova

copiamo MIz) che

, AB sopra

.

tese la

fibre trave

le Così

superiori

> si piega

Sono :

- -

Per la partire

deve

in tangente

la in

orizzontale

modo con

curva

questo A

piegarsi .

tutti

spostamenti configurazione

Nell'ipotesi di spostamenti

, gli I alla

piccoli sono

tutti verticali)

.

indeformata (cioè sono -

Nel inferiori

fibre

tende quindi

momento

il le la così

trare si

tratto piega

BC,

, VBVBS)

(perché

La dall'incastro deve

parte d)

arrivare (perché

0

curva e vc

a =

traccio

Per trave

disegnarla linea

la congiunge B la

che si

più precisa C

: e ,

di

scosta retta

dalla .

poco

Per trovare trappi

fare basta

calcoli ci

Spostamenti modelli

più

gli senza usare

,

lo

che

Semplici MILA che

abbiamo stesso effetti

di

diagramma modo

in siano

gli

,

(Infatt .

Mz))

di

della trave partenza provocata

curvatura

stessi

gli è

la

. v"

dato che M

= -

trave

Tratto MIz)

diagramma

lo di

incastrata F

cui

vediamo

AB agisce

una su

come

:

Se triangolare

(diretta l'alto

-e Ray

f =

Ma

= verso .

= valz

deformata

Espressione della :

↓ +

- F

g u

9

↑ VB

Quindi

Il tratto trave

BC carico formemente

uni

vedere

Si due appoggi

può su

una un

con

come

:

distribuito

. at

Ma centro

al

M(z) MB

vale

parabola

e o

o

una =

e e

=

,

Quindi flette & Da considerazion

prendere in e

3

Va-Yaz-Ma-Ta 9 49

V(z)

EQ Spostamento : = A

Va 0

= V(z)

-

v(z)

Ma 0 yz

= -

= (t e)

= (4

- 4)

V(e) Ya

VB · Ya

0 ·

= = -

=

=

-

= -

r(z)

La le

deformata perfettamente hanno

coincide questa equazioni questo

perché

con pezzo

,

coincidente 0 M(z

Va-Yaz-MA-TA

v12) = *

- B

S t

La differenza tra deformata trave

la BC

della r(t) OB

dell'esercizio sta

dell'esempio nel

semplificato

quella

e

fatto della

dello (Va) (4a)

valori

che diversi

iniziali

i rotazione

spostamento .

sono

e

Va-Yaz-MA-TAA

r(z) parte lineare

rigido

moto -

= parte

DEFORMATO

DEFORMATO

MOTRIGIDO MOTO MOTO curva

A

La trave

rigido inizialmente deforma

trave semplificata nullo

ha la si

è rettilinea

Moto e e

ABI

alla fissi

congiungente

rispetto B

A

Convessa e

La basso

(perché

rigidamente il

trave Spostato

rispetto si

tratto ruotata

del è è

B

C

BC verso

a

semplificata

si piega

poi quella

come rotazione dell'estremo

e B

della appoggiata

trave

↓ rigido

angolo

Se =

della 1(

trave B se

rotazione

la cu

di

voglio y Yc B

: ruot

conoscere ,

I di

hp piccoli spostamenti

=

gy per B

B

+ y

VB =

y gy = I

⑬

= B

(E)

,

Se la

la la mentre

di

parte stessa

moto è

rigido parte

vogliamo Y

conoscere :

flessionale (4) - =

-B = e

dove

= VB

Stessi il

valori sistema

risolvere

senza

= , .

Esercizio 87

pag Cer dip)

(spostamento verticale

Ga Voglio calcolare Vp

Ceb !

B

>

o

I

· P

( O

C12 D t

= doppio

Il

2 che

pendolo

6 vincolo

C C

5 un

è

;

= =

p

I

↑ C trave

intermedio

punto della

collega un

[eb--- fis esternal

I (vincolo

l'esterno

Tratto con

e .

A isostatica

Struttura

S D-17 fissa

struttura

> St-s

C2 li

= 0 -Dito

=0

e = =

Cer

cardinaliz

Eq

Le assiali

ci

assiali tutte carichi

nulle

reazioni perché non

sono sono .

E RDS

AD) F

RB 0 3 incog 2

+ - = ed

. ↓ F

BE P

RDS Top

B

FL 21

Mc 0

+ + =

. A C

PP) RRER

& *

Dato RD

interna

cerniera

che Ra

c'è o

una = = Fl

↓ F F D

S Bott

tratto

quindi nel RBF

AD Zoraria a C

-Fe

Mc = applicata

è solo

T(z)

Tracciamo forza

M(z) la ci sono

non

;

↓

e E coppie S

T(E) TA M(z)

TRATTO Ma

LIMITI Fz

COND >

Al 0

AB : : -

= -

= =

M(z) MA

Taz F

T(z)

TA -F

+ -

= = =

Fl

-

- TB* TB

-(RB)

A F

AT F

In F

F

B

B 0

+

: + = =

-

= =

=

B

A MBd

- MBS

Ar -M 0 P =

F -

= =

- TB Tc Ts

T(z)

TRATTO AT

T(z) InC o

BC >

: 0

- = =

:

= =

TB(z MB

1)

M(z) -( m)

M(z) F) AM Fe

+

= -

= =

-

=

- Mc

Fl Mc

Fe 0

-

TAGlip + =

=

A

ad

-

A ad

Tc

T(z)

Tratto -T(z)

CD 0

: =

= Tc9(z +c

2)

M(z) M(z) 0

+

= - =

force

Tratto (tratto M(z)

scarico)<