Esercizi ripasso Analisi matematica 1

Allora (6)

(a) f (0) = 7

(b) la retta tangente in x = 0 ha equazione y = 2x

0

(c) la retta tangente in x = 0 ha equazione y = 3 2x

0

(d) f è decrescente su R

(e) f è positiva su R. 2 6 7

!

20. Sia f : R R derivabile infinite volte e tale che f (x) = 1 + 2x + (x + 1) + 4(x + 1) + o((x + 1) )

!

per x 1. Allora in un intorno di 1

(a) f è positiva, crescente e convessa

(b) f è negativa, crescente e convessa

(c) f è positiva, decrescente e concava

(d) f è positiva, decrescente e convessa

(e) f nessuna della precedenti risposte è corretta

4

21. La disequazione x|x| > x è soddisfatta

2

(a) dagli x R soddisfacenti x < 1o0 <x< 1

2

(b) dagli x R soddisfacenti x < 1o x> 1

2

(c) dagli x R soddisfacenti 1 <x< 0o x> 1

2

(d) dagli x R soddisfacenti 1 <x< 1

2

(e) dagli x R soddisfacenti 1 <x< 0

x

22. Siano f (x) = arcsin(x) e g(x) = e + x. Allora

⇡ ⇡

(a) Im(g f ) = [0, e + ]

2 2

⇡ ⇡

(b) Im(g f ) = [ , ]

2 2

⇡ ⇡

(c) Im(f g) = [0, e + ]

2 2

⇡ ⇡

(d) Im(f g) = [ , ]

2 2

⇡ ⇡

(e) Im(f g) = [e , ]

2 2

r p

x 3 x 3

p

23. Le due funzioni f (x) = e g(x) =

x +3 x +3

1, [

(a) hanno dominio ( 3) (3, +1)

(b) assumono gli stessi valori se x > 3

(c) coincidono

(d) hanno entrambe dominio [3, +1)

(e) sono due scritture diverse della stessa funzione

p p p

2 2 3 1

24. Dati z = + i e z = + i . Allora

1 2

2 2 2 2

7⇡

(a) z + z ha argomento

1 2 12

⇡

(b) z : z ha argomento

1 2 12 ⇡

(c) z z ha argomento

1 2 12

⇡

·

(d) z z ha argomento

1 2 12

7⇡

·

(e) z z ha argomento

1 2 12 n!

25. La successione a = cos(⇡n) +

n n

n

(a) è regolare

(b) è costante

(c) è definitivamente a termini positivi

(d) è limitata

(e) converge a zero 5

cos(x)

26. Data la funzione f (x) = , dire quale delle seguenti a↵ermazioni è FALSA:

| cos(x)|

(a) f è periodica

(b) lim f (x) = 1

x!0

(c) f è continua su R

(d) f è limitata

(e) f è costante 2

{x 2

27. Dato l’insieme A = Q : log(3 x ) > 0}, risulta che

p p

(a) inf A = 2, sup A = 2

p

(b) max A = 2

(c) A non ha estremo superiore

(d) A è illimitato

(e) A ammette minimo 2

28. La funzione inversa della funzione f (x) = sin(⇡x) + x ha come retta tangente al suo grafico, nel

suo punto di ascissa x = 1:

(a) y = (2 ⇡)x + ⇡ + 1

(b) y = (2 ⇡)x ⇡ 1

(c) y = (2 + ⇡)x ⇡ +1

(d) y = (2 + ⇡)x ⇡ 1

(e) y = (2 ⇡)x + ⇡ 1

p p

3 3 3 4 !

4 5

29. La parte principale di (1 + 8x ) (1 + 15x ) per x 0, rispetto all’infinitesimo campione

x, è 3

(a) 6x

3

(b) x 3

(c) 6x

3

(d) 12x

3

(e) x 0

2 3

30. Si consideri la funzione f (x) = cos (x + 1). Allora f (x) è uguale a

3 2

(a) sin(x + 1) (3x )

3 3 2

(b) cos(x + 1) sin(x + 1) (3x )

3 3 2

(c) cos(x + 1) sin(x + 1) (6x )

2

3 3 2

(d) cos(x + 1) sin (x + 1) (3x )

3 3 2

(e) cos(x + 1) sin(x + 1) (3x ) 6

✓ ◆ 2

n

1 n

31. Il limite lim 1+ e

n

n!+1

1/2

(a) vale e

(b) vale +1

(c) vale e 1/2

(d) vale e 1

(e) vale e r 2

1 + n

n

32. Il limite lim n

3

n!+1

(a) vale 3 1

(b) vale 3

(c) vale +1

1

(d) vale 3

(e) vale 0 2 x

M (x + e )

! 1

33. Per x la funzione f (x) = 2 x

x + e

(a) è un infinito

(b) ha limite uguale a 1

(c) è un infinitesimo

(d) ha limite uguale a 1

(e) non ha limite p !

34. Sia f (x) = cos(2 x) + 1. Allora, per x 0, risulta:

2

(a) f (x) = o(x )

(b) f (x) non è confrontabile con x

p

(c) f (x) = o( x)

3

(d) f (x) = o(x )

(e) f (x) = o(x)

35. Quale delle seguenti a↵ermazioni è esatta:

!

(a) x = o(log x) per x +1

!

(b) sin x = o(cos x) per x 0

x !

(c) e = o(cos x) per x 0

!

(d) cos x = o(sin x) per x 0

x ! 1

(e) e = o(x) per x 7

0 0 00

36. Supponiamo che f (x) soddisfi le condizioni f (x) = x + cos(f (x)) e f (0) = ⇡. Allora f (0) e f (0)

valgono

0 00

(a) f (0) = ⇡ e f (0) = ⇡

0 00

(b) f (0) = 1 e f (0) = 1

0 00

(c) f (0) = 1 e f (0) = 1

0 00

(d) f (0) = ⇡ e f (0) = ⇡

0 00

(e) f (0) = ⇡ e f (0) = 1

1

37. La funzione f (x) = 1 x

|x|

(a) è continua su R

(b) è limitata

(c) è iniettiva

(d) è discontinua in 0

(e) è decrescente in R\{0}

p 2

38. La funzione 5 + 3x + 3x ha asintoti obliqui

! ! 1

(a) y = 3x per x +1 e y = x per x

! ! 1

(b) y = 3x per x +1 e y = 3x per x

! ! 1

(c) y = 3x per x +1 e y = x per x

! ! 1

(d) y = 3x per x +1 e y = x per x

! ! 1

(e) y = 3x per x +1 e y = x per x

39. Quale delle seguenti a↵ermazioni è FALSA:

3

|x

(a) inf 1| = 0

x2( 2,2) 2

|x

(b) min x| + 1 = 1

x2( 2,2) 2

|x

(c) max x| = 7

x2( 2,2) 2

|x

(d) sup x| + 1 = 7

x2( 2,2) 3

|x

(e) sup 1| = 8

x2( 2,2)

40. Se f (x) = sinh(x), allora

⇣ ⌘

1 1+x

1

(a) f (x) = log

2 1 x

p

1 2

(b) f (x) = log x x 1

p

1 2

(c) f (x) = log x + x 1

p

1 2

(d) f (x) = log x x + 1

p

1 2

(e) f (x) = log x + x + 1 8