Esercizi per esame di Matematica II

ESERCIZIO - serie numeriche

Discutere la convergenza della seguente serie:

+∞ Σ ln_mm=3

Pongo a confronto con una serie che conosco, di cui è noto il contatore:

ln_m/m > 1/m b_m > 3

La serie che ho maggiorato è la SERIE ARMONICA, che diverge. Per il criterio del confronto, dato due numerini:

b_n = ln_m/m > a_m = 1/m, > 0 → Σ ln_m/m DIVERGE. pertanto diverge la serie armonica.

ESERCIZIO - serie numeriche

Discutere la convergenza della seguente serie numerica:

+∞ Σ m/(m+1)! m=1

Il primo passo è capire se la serie è a termini positivi o meno, e lo è. Adesso c'è bisogno di semplificarla:

+∞ Σ 1/(m+1)! = 2! + 3! + 4! + 5! m=1

Perciò tornando alla serie:

+∞ Σ m/(m+1)! = 1/(m+1)!(m-1)! m=1

Considero la successione:b_m = 1/m²

Poiché b_m converge (serie armonica gen con α = 2) converge anche a_m per il criterio del confronto asintotico.

ESERCIZIO: serie numeriche

Discutere la convergenza della seguente serie numerica:

_m=2^+∞∑ 1/m(m+3)

Questa serie è ricutamento a termini non negativi.

Considero la serie armonica generalizza:

_m=2^+∞∑ 1/m²

con α=2, convergente; b_m = 1/m²

Data la successione b_m, posso considerare:

lim_m→+∞ (A_m/b_m) = lim_m→+∞ (m²/m(m+3)) = 1 ⇒ A_m ~ b_m

Poiché le due successioni sono asintotiche e la serie ∑ b_m CONVERGE, la serie ∑ A_m CONVERGE per il criterio del confronto asintotico.

ESERCIZIO: serie numeriche

Studiare il comportamento della seguente serie numerica:

_m=1^+∞∑ (m-2)/(2m³•m+1)

3.

∑_m=1^{+∞ m2ln2(m) + 3}/_{3^m4 - 2^-m + 3^3m}

A_m = ^{3m+1 + m2ln2(m)}/_{3^2m - 3^m4 - 2^-m}

Questo significa che A_m 〜 b_m = ( ¹/₃ )^m-1

∑b_m è una serie geometrica di ragione q = ¹/₃ |q| < 1 , perciò la serie converge.

Di conseguenza converge, per il criterio del confronto asintotico, anche le serie ∑A_m.

4.

∑_m=1^{+∞ m3cos4m}/_{m⁴ + log m² sin 3m}

A_m = ^m3cos4m/_{m⁴ + log m² sin 3m}

Si vede chiaramente che una successione b_m che sia asintotica a questo è 1/m :

b_m = 1/m -> ∑b_m diverge, poiché ∑b_m è una serie armonica.

Per il criterio del confronto asintotico, ∑A_m DIVERGE.

4.

questa serie è a termini non negativi

Provo ad applicare il criterio del rapporto, per cui definisco la successione A_m:

A_m = 4^m⁄_(m+1)!

Considero il limite del rapporto:

lim_m→+∞ (A_m+1⁄A_m) = 4^(m+1)⁄(m+2)! = 0 < 1

La serie CONVERGE per il criterio del rapporto.

5.

questa è una serie a termini non negativi

Provo ancora ad applicare il criterio del rapporto, per cui definisco la successione dei termini m+1 e m:

A_m+1 = 2^m+2⁄_m!(m-1)!

Considero il limite del rapporto:

lim_m→+∞ 2^m+2⁄(2^m+1) = 0 < 1

La serie CONVERGE per il criterio del rapporto.

2.

∑_m=0^∞ (-1)^m / m² + m + 1

serie di termini a segno alterno

a_m = (-1)^m / m² + m + 1 ; b_m = 1 / a_m + m + 1

Vado a verificare le condizioni del criterio di Leibniz:

• b_m+1 ≤ b_m
  • m² + m + 1 / (m+1)² + m + 2 ≤ 1
  • m² + m + 1 ≤ m² + 2m + 1
  • 0 ≤ m + 2 per ogni m ∈ ℕ decrescente
• lim b_m = lim_m→∞ 1 / m² + m + 1 = 0

Sono rispettate le condizioni del criterio di Leibniz, perciò la serie:

∑_m=1^∞ (-1)^m / m² + m + 1 CONVERGE

ESERCIZIO: serie numeriche (esercizi vari)

Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche:

1. \sum_{m=1}^{\infty} \frac{\cos(m \pi)}{m^3 + 4}serie a termini di segno variabile
   • \cos(m \pi) = \cos(0), \cos(\pi), \cos(2\pi)

   Considero la successione:

   a_m = \frac{\cos(m \pi)}{m^3 + 4} = \frac{(-1)^m}{m^3 + 4} \rightarrow |a_m| = \frac{1}{m^3 + 4} \sim \frac{1}{m^3}

   Per il criterio del confronto asimptotico, \math{\sum |a_m|} è convergente poiché con \math{\sum b_m} (serie armonica generalizzata con \math{\alpha > 1}).

   Se la serie \math{\sum a_m} è assolutamente convergente, perciò converge anche semplicemente.

2. \sum_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} \frac{2}{3m^2 + 4} \sin\left(\frac{1}{\sqrt{m^3}}\right)

   Questa è una serie a termini di segno variabile.

   \sin\left(\frac{1}{\sqrt{m^3}}\right), \sin\left(\frac{1}{5^{3/2}}\right), \sin\left(\frac{1}{6^{3/2}}\right) \rightarrow 0 \text{ per } m \rightarrow \infty \text{ sono positivi}

   Considero la serie dei valori assoluti:

   |a_m| = \frac{2}{3m^2 + 4} \sin\left(\frac{1}{\sqrt{m^3}}\right)

   Considero la serie \math{b_m = \frac{1}{m^2}} tale che:

   \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{|a_m|}{b_m} = \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{m^2}{3m^2 + 4} \sin\left(\frac{1}{\sqrt{m^3}}\right) = \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2m^2}{3m^2} = \frac{2}{3}

   Perciò \math{|a_m| \sim b_m}, per il criterio del confronto asimptotico, \math{\sum |a_m|} CONVERGE in quanto converge \math{\sum b_m} (serie armonica generalizzata con \math{\alpha > 1}).

   Se la serie \math{\sum a_m} converge assolutamente perciò converge anche semplicemente, per il criterio di convergenza assoluta.

3.

y = cos x

y = sin x

4.

serie a termini di segno variabile

Considero la successione dei termini in valore assoluto di An, in modo da poter applicare criteri di convergenza:

|An| =

Considero una successione bm:

bm:

Per il criterio del confronto, la serie

5.

Assieme a

è una serie a termini di segno costante

Applico ed ottengo il confronto asintotico:

1/ m^3/2 è il termine generale della serie armonica generalizzato, convergente poiché α = 3/2.

Per il criterio del confronto, la serie Σ a_m è CONVERGENTE poiché è stata maggiorata con una serie convergente.

13. Σ_{m = 3}^∞ a_m = 1/m^√n! è una serie a termini non negativi A_m = 1/m^√n!

Considero la successione b_m = 1/m^√n > A_m.

Considero la successione C_m = 1/√m > b_m > A_m. È una successione a termini positivi.

14. Σ_m=1^∞ [(m+1)²]/ [m³(2m)!] è una serie a termini non negativi A_m = (m+1) (m!) / m³(2m)!

Provo ad applicare il criterio del rapporto, perciò considero la successione dei termini A_m+1 : A_m:

A_m+1 = [(m+1) !]² / [m+1]³ (2m+2)! = [(m+1) (m+1)!]² / [m+3]³ (2m+1)(2m+1)(2m)!

Calcolo il limite del rapporto:

lim_m=∞ [(m+1)² (m+3)³ (2m)!] / [(m+1)³ (2m+2) (2m+1) (2m)!] = lim_m=∞ m³ / [(m+1)(m)(2m+1)] = 1/4 < 1

La serie converge per il criterio del rapporto.