Esercizi + Esami di Impianti industriali

CAPITOLO 13 - ESERCIZI SU PREVISIONE DELLA DOMANDA

D_t = VALORE STORICO

F_t = VALORI DI FIT

(F_t - D_t) = ERRORE DI FIT

SERIE NUMERICA DI VALORI STORICI PRESA DENTRO INTERVALLO

T(c_t) = COMPONENTE TENDENZIALE

C(c_t) = COMPONENTE CICLICA

S(c_t) = COMPONENTE STAGIONALE

A(c_t) = COMPONENTE CASUALE

D(t) = T(c_t) + C(c_t) + S(c_t) + A(c_t)

ESERCIZIO 1 - MISURE DI ACCURATEZZA

Calcolare MAD, MSE e RMSE delle seguenti domande n..i e le rispettive previsioni

• t_s = ISTANTE DI MISURAZIONE I-ESIMO
• D_t = DOMANDA REALE I-ESIMA
• F_t = VALORE DI FIT I-ESIMO

MAD = ∑_t=1^N |F_t - D_t| / N → DEVIAZIONE MEDIA ASSOLUTA

MSE = ∑_t=1^N (F_t - D_t)² / N → ERRORE QUADRATICO MEDIO

RMSE = √(∑_t=1^N (F_t - D_t)² / N) → ROOT MEAN SQUARE ERROR

N = 9 MISURAZIONI

MAD = ∑_t=1⁹ |F_t - D_t| / 9 = 1,767

MSE = ∑_t=1⁹ (F_t - D_t)² / 9 = 4,124

RMSE = √(∑_t=1⁹ (F_t - D_t)² / 9) = 2,056

Esercizio 2 - Statistiche Descrittive e Aggiustamenti

Nello scorso mese di febbraio, in un anno bisestile 2016, un azienda ha ricevuto ordini per 515 Kg di prodotti in polipropilene. Sapendo che mediamente ci sono 22 giorni lavorativi in un mese di 30 giorni, calcolare la domanda aggiustata in base ai giorni del mese e in base ai giorni lavorati.

_{Dt aggiusta giorni} = ^N_gm/_Ngt D_t → Domanda aggiustata in base ai giorni del mese t-esimo

_{Dt aggiusta giorni lavorati} = ^N_gmf_m/_Ngf-t D_t → Domanda aggiustata in base ai giorni lavorati nel mese t-esimo

• N_gm = Numero giorni medio
• N_gt = Numero giorni mese t-esimo
• N_gmf_m = Numero giorni lavorati medio
• N_gf-t = Numero giorni lavorati mese t-esimo

D_t = 515 Kg domanda ricevuta a febbraio

N_gt = 29 giorni nel mese di febbraio

N_gf-t = 24 giorni lavorati nel mese di febbraio

N_gm = 365/12 = 30,5 giorni medi in un mese

N_gmf_m = 262/12 = 21,83 giorni lavorati medi in un mese

_{Dt aggiusta giorni} = ^N_gm/_Ngt D_t = ^30,5/₂₉ 515 = 541,64 Kg

_{Dt aggiusta giorni lavorati} = ^N_gmf_m/_Ngf-t D_t = ^21,83/₂₄ 515 = 468,43 Kg

X: 4 5 6 7 8 9 10 14 12 13 14

Y: 5,1 5,9 5,2 7,9 8,4 9,0 9,6 10,1

Y_i: 5,2 5,7 6,2 6,7 7,2 7,7 8,2 8,7 9,2 9,7 10,2

Y = 2,9 + 0,513 X

TSS = 43,65

RSS = Σ_i=1ⁿ (y_i - ŷ_i)² = (4,2 - 4,952)² + (5,6 - 5,465)² + … + (10,1 - 10,082)² = 14,54

5) VALUTO LA BONTA DELLA REGRESSIONE LINEARE

R² = TSS - RSS / TSS -> COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE

R² = 43,65 - 14,54 / 43,65 = 0,665 -> 66.5%

ESERCIZIO 5: STIMA COMPONENTE TENDENZIALE CON MEDIA MOBILE CENTRATA

Dati i valori della tabella, a fianco calcoliamo la stima con media mobile centrata.

Conviene scegliere k dispari, ovvero l’ampiezza dell’intervallo, dispari.

k = 9 -> m = k - 1 / 2 = 9 - 1 / 2 = 4

F_t = 1/K Σ_i=n^m D_t+1

Basso calcolare la stima solo a partire dei dati relativi alle misurazione m+1 e non oltre le valore relative alle misurazione N-m

N = 30 rilevazioni di domanda

F₅ = 1/9 (48,8 + 39,4 + 49,6 + 47 + 63,8 + 66,4 + 69,4 + 84 + 75) = 60,1

F₆ = 1/9 (39,4 + 49,6 + 47 + 63,8 + 66,4 + 69,4 + 84 + 75 + 68) = 62,3

F₁₆ = 1/9 (93 + 82,6 + 49,6 + (102 + 112 + 75 + 64 + 77) / 80) = 86,9 ≈ 87

Esercizio 8 - Previsione su base aperiodica media mobile

Dati i valori relativi alla domanda del nostro prodotto si chiede di calcolare

la domanda nel 21º mese tramite il metodo della media mobile.

T_t+k = ¹/_K ∑^k_i=k+1 D_i → Media Mobile

3 ≤ K ≤ 5

K : ampiezza dell'intervallo di dati su cui va posta

K grande → comprendo un numero elevato di dati; poco andamento lineare

K piccolo → pochi dati e quindi l'elbo sensibile; andamento oscillante

L'ordine K va scelto non arbitrariamente, ma solo su intuizioni una posizione attendibile dovrà farcere K affinché MAD sia al minimimo.

MAD = ¹/_N ∑^N_i=1 |F_t - D_t| → Deviazione Media Assoluta

• D_t = (55 + 52 + 59) = 55,3
• K = 3: ¹/₃ ∑²⁰_i=18 D_i = (55 + 52 + 59) = 55,3

• K = 4
• K = 5
• K = 6

Some text table with numbers...

Esercizio 13 - Previsione Regressiva

Verificare l'esistenza di un legame tra le variabili

D̅ = Σ Di / N = (270i + 680) = 12660 / 22 = 575,65

Σ(Di²) / N = [Σ Di² - N D̅²] / N = [9531800 - 22 * 575,65²] = 106940

S(D) = √106940 = 327,02

Calcolo la media X̅ e la deviazione standard S(X) nel usual modo

Cov (X ; D) = Σ (Xi - X̅)(Di - D̅) / N - 1 = 69463,6 / N - 1

In conclusione posso calcolare il coefficiente di correlazione r

r = Cov (X ; D) / S(D) S(X) = 0,757

b = Cov (X ; D) / S²(X) = 0,886

a = D̅ - b X̅ = -200,60

Quindi ottengo in conclusione D = a + b X + e dove e è errore della previsione lineare dei dati.

Z(q₁,q₂) = ∑_i=1² m_i q_i = m_oc1 q₁ + m_oc2 q₂

Ottengo quindi il sistema seguente per la risoluzione del problema tramite

METODO GRAFICO

• q₁ ≥ 0
• q₂ ≥ 0
• q₁ + q₂ ≤ 800
• q₁ ≤ 400
• q₂ ≤ 200

max (Z) = max (40 q₁ + 30 q₂)

• Se massimo valore dell’utile si ottiene per la retta del fascio passante per le

q₁ = 200 unità/omm

q₂ = 600 unità/omm

U = 40 · 200 + 30 · 600 = 26k€/omm

METODO DEL SIMPLESSO

Si applica l’algoritmo del simplezzo esprimendo il problema in forma standard introducendo le sequazioni vincolari.

• 2q₁ + q₂ ≤ 1000
• q₁ ≤ 400
• q₂ ≤ 200
• q₁ + q₂ ≤ 800
• q₁ ≥ 0
• q₂ ≥ 0

Sistema di 6 equazioni in 2 + 6 incognite

Le soluzioni del sistema dei vincoli sono quindi 2⁰ ovvero tutti i punti all’interno del poligono convesso n-dimensionale. Punto di cadazione degli assi cartesiani in cui q₁ = q₂ = 0.