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ESERCITAZIONE 1

FORMULE DI EULERO:

cos x = ejx + e-jx/2

sin x = ejx - e-jx/2j

POTENZE E RADICI N-ESIME (REGOLA DI DE MOIVRE):

La potenza n-esima del numero complesso z = ρ (cosφ + jsinφ) ha:

zn = |z|n, arg(zn) = n·arg(z)

Ogni numero complesso z diverso da zero ha n radici n-esime:

n√z = n√ρ ej·2πk + φ/n , k = 0, 1, …, n-1

  • es. 1 z = 7 - j15 = 15 e−x x = -15 - 28

    |x| = √(152 + 22) = √225 + 64 = 17 => |z| = √17

    arg(x) = arctan(−5/15) + 180 = 203°

    arg(z0) = 203°/2 = 104° -> z0 = √17 ej104°

    arg(z1) = 203° + 360°/2 = 284° -> z1 = √17 ej284°

  • es. 2 z5 = 7 z = ρ (cosψ + jsinψ)

    |z5| = 7 => ρ5 = 7 => ρ = 71/5

    arg(z5) = 0 = 5·ψ = 0 => ψ = 0°

es. 1

y3 = ?

y = e2πi/3 z - 2iIm ∫ [e-z + sin t]dt

ln y = (2/3)ln e + 2/3 ln½ (e2πi - 2iπ)

ln y = -π i [ ln cos x - e-πt ]

es. 10

∫ ei(x+t) e-x dx =

= Re ∫ (eix + i x)e-ix dx

= Re { e(1-j)x/(1-j) } + c =

= Re { e(1-j)x ≠ g e(1-j)x } + c =

= -1/2 Re { e(1-j)x g e(1-j)x } + c =

= -π/2 -∫ e-x -∫ Re{(e-κ dx}(g-x)g-x)

= -π ∫ x-2 Re{ eκt dx } e-κt (sin x + i sin x)

= -π/2 ∫ { cos x + i sin x + j cos x = sin x } = ĥ/2 e-t (sin x - cos x)

es. 1 modalità Ex = ?

x(t) = {}

= -f(t=2), -2 < t <= -1

-cos(πt)sign(t), -1 < t < 1

t + z, 1 < t < 2

0, other times

= {-x, t = 0

sign(t) < 0,

0, t = 0

1, t > 0

Ex= ∫ |x(s)|2 dt =

= ∫ (t+z)2dt + ∫ cos2(πt)dt

+ ∫ cos2(πt)d(t + ∫(t-z)2dt

= π/3[(t+z)2

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Publisher
CHRIGARZO
A.A. 2023-2024
236 pagine
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-INF/05 Sistemi di elaborazione delle informazioni
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher CHRIGARZO di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi dei segnali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino o del prof Pilori Dario.