Esercizi di Serie di Fourier e di Probabilità con svolgimento e soluzione corretta

X X

2 n+1

n+1

e − 1 (−1)

nπ(−1) 2

+ sin nπx + sin nπx .

2 2

e 1 + n π π n

n=1

i=1

ESERCIZIO 4 (punti 5):

Dieci pezzi, di un lotto di 120 sono sottoposti ad un test di funzionamento. Sapendo

che, per esperienza, si prevede che un 5% dei pezzi sia difettoso

a) si calcoli la probabilità che i 10 pezzi siano tutti funzionanti;

b) supponendo che i primi 10 pezzi siano risultati tutti funzionanti, se ne estraggono

altri 20 per ripetere il test. Si calcoli la probabilità che anche questi ultimi risultino

tutti funzionanti.

SOLUZIONE:

Sia X la v.a. che conta il numero di pezzi non funzionanti. Avremo:

¢¡ ¢

¡ 6 114

0 10

¡ ¢ ' 58.64% ;

a) P(X = 0) = 120

10

¡ ¢¡ ¢

6 104

0 20

¡ ¢

b) P(X = 0) = ' 29, 07% .

110

10

2

ESERCIZIO 5 (punti 5): 2

Sia X una v.a. normale di valore atteso µ noto (µ = 3) e varianza σ incognita,

X

2

X ∼ N (3, σ ). È noto però che P(2, 98 ≤ X ≤ 3, 02) = 0.94. Si calcoli la deviazione

X

standard della X.

SOLUZIONE:

σ = 0, 106 .

X

ESERCIZIO 6 (punti 5):

Una v.a. bidimensionale (X, Y ) è uniformemente distribuita nel triangolo D = {x ≥

0, y ≥ 0 : x + y ≤ 2}.

a) Calcolare la densità di probabilità congiunta.

b) Calcolare le densità marginali di entrambe le componenti e la probabilitàP(0 ≤

2 2

X + Y ≤ 1).

SOLUZIONE: ½ 1 , ∀x, y ∈ D

a) f = 2

XY 0 altrove

x y π

2 2

b) f (x) = 1 − , f (y) = 1 − , P(0 ≤ X + Y ≤ 1) = .

X Y

2 2 8

3

ESERCIZIO 3 (punti 5):

Si consideri la funzione h i

π π

f (x) = x + sin x , x ∈ − , + .

2 2

e se ne calcoli lo sviluppo in serie di Fourier.

SOLUZIONE: · ¸

∞

X n+1 n+1

(−1) 8 n(−1)

f (x) ∼ sin 2nx .

+ 2

n π 4n − 1

n=1 2

ESERCIZIO 4 (punti 5):

Si consideri il sistema mostrato in figura, formato da sei elementi, ciascuno funzionante

con probabilità p = 0.8:

a) Si calcoli la probabilità che il sistema funzioni;

b) se l’elemento E è sicuramente guasto, si calcoli la probabilità che il sistema continui

6

a funzionare.

SOLUZIONE:

a) 0.73 ;

b) 0, 61 . 3

ESERCIZIO 5 (punti 5):

Un urna contiene sei palline rosse e otto bianche e se ne estraggono quattro senza re-

imbussolamento. Si chiede:

a) qual’è la probabilità che le palline estratte siano due bianche e due rosse?

b) Qual’è la probabilità che le prime due siano rosse e le seconde due bianche?.

SOLUZIONE:

a) 0, 419 ∼ 42% ;

b) 0, 069 ∼ 7% .

ESERCIZIO 6 (punti 5):

Sia f (x, y) una funzione di densità congiunta di due v.a. X, Y , definita:

XY  k

 y

− −x

 e e , x > 0, y > 0

x

x

f (x, y) =

XY 

 0 altrove

Si chiede:

a) Calcolare il valore di k;

b) Calcolare la probabilità P(Y > 2|X).

SOLUZIONE:

a) k = 1; ¡ ¢

2

b) P(Y > 2|X) = exp − .

x 4

ESERCIZIO 3 (punti 5):

Si consideri la funzione 2

f (x) = 2x − x , x ∈ [0, 1] .

e la si prolunghi in modo dispari nell’intervallo [−1, 0). Se ne calcoli lo sviluppo in

serie di Fourier.

SOLUZIONE: " #

∞ ∞

X X

n+1

2 (−1) 4

f (x) ∼ sin nπx + sin(2n − 1)πx .

2 3

π n π (2n − 1)

n=1 n=1

ESERCIZIO 4 (punti 5):

Si considerino tre eventi A, B, C con le seguenti proprietà:

• P(A ∩ B) = P(A)P(B) ,

• P(A ∩ C) = P(B ∩ C) = 0 ,

• P(A ∪ B ∪ C) = 1 ,

• P(A) = P(B) = 0.3 .

Si chiede di calcolare la probabilità P(C) .

SOLUZIONE:

Si può partire sviluppando la probabilità dell’unione dei tre eventi:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A ∪ B) + P(C) − P((A ∪ B) ∩ C)

= P(A ∪ B) + P(C) − P((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

= P(A) + P(B) − P(A)P(B) + P(C) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P((A ∩ C) ∩ (B ∩ C)) .

Ma P(A ∩ C) = P(B ∩ C) = 0

2

e P((A ∩ C) ∩ (B ∩ C)) = P((A ∩ B) ∩ C) = 0

per le ipotesi. In conclusione

1 = 0.6 − 0.09 + P(C) =⇒ P(C) = 0.49 .

ESERCIZIO 5 (punti 5):

Sia Y una v.a. tale che Y = 2X − 1, dove X è ua v.a. continua, uniformemente

distribuita sull’intervallo (−1, 1) , X ∼ U ((−1, 1)). Si calcoli la media µ di Y , la sua

Y

2

varianza σ e la probabilità P(|Y − µ | < σ ) .

Y Y

Y

SOLUZIONE:

La densità di probabilità di X è  1 , x ∈ (−1, 1)

 2

f (x) =

X  0 altrove

La v.a. Y risulta definita uniformemente sull’intervallo (−3, 1); di conseguenza la sua

densità di probabilità è  1 , y ∈ (−3, 1)

 4

f (y) =

Y  0 altrove

quindi Z 1

1

µ = E[Y ] = y dy = −1 .

Y 4 −3

2 2 2

Poiché σ = E[Y ] − µ , basta calcolare

Y Y Z 1 7

1 2

2 y dy = ,

E[Y ] = 4 3

−3

e 7 4

2

σ = − 1= .

Y 3 3

µ ¶ µ ¶ Z 1

√

2 1 1 1

3

√ √ √

P(|Y −µ | < σ ) ⇒ P |Y + 1| < ⇒ P |X| < = dx = .

Y Y 2

3 3 3

1

− √ 3

3

ESERCIZIO 6 (punti 5):

Sia f (x, y) una funzione di densità congiunta di due v.a. X, Y , definita:

XY  2 2

k(x + y ), 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1



f (x, y) =

XY  0 altrove

Si chiede:

a) Calcolare il valore di k;

b) calcolare le densità marginali f (x) e f (y);

X Y

2

c) calcolare la probabilità P(Y ≤ X ) .

SOLUZIONE:

32 ;

a) k = ¯

³

R y=1

¯

1 3 2

y

3 3 3x +1

2

2 2 x y + ;

b) f (x) = (x + y ) dy = =

¯

X 2 2 3 2

0 y=0

¯

³

R x=1

¯

1 2

3 3y +1

3 3 x

2 2 2

f (y) = (x + y ) dx = xy + ;

=

¯

Y 2 2 3 2

0 x=0

R R 2

1 x

3 13

2 2 2

c) P(Y ≤ X ) = dx dy(x + y ) = ' 37.14% .

2 35

0 0 4

ESERCIZIO 3 (punti 5):

Si consideri la funzione ( )

x ∈

f (x) = sin , x [−π, π] .

2

e se ne calcoli lo sviluppo in serie di Fourier.

SOLUZIONE: ∑

∞ n+1

2 n(−1)

∼

f (x) sin nx .

− 14

2

π n

n=1

ESERCIZIO 4 (punti 5):

Si lanci un dado regolare finché non esce il “2”. Sia X la v.a. che indica il numero dei

lanci fatti prima che esca il “2”.

Calcolare la densità di probabilità di X; si chiede inoltre:

a) qual’è la probabilità che “2” esca al quarto lancio?

b) qual’è la probabilità che “2” esca in uno dei primi tre lanci e dopo sei lanci?

SOLUZIONE: ( ) n

P(X 5 1

Distribuzione geometrica: = n) = , n = 0.1, 2, . . . .

6 6

a) ( ) 3

5 1

P(X ≃

= 3) = 9.65% .

6 6

b) (

( ) )

∑

∑ 5

2 n n

5

5 1 1

≃ P(X ≥ ≤ ≃

P(X ≤ 42.13% , 6) = 1−P(X 5) = 1− 33.49%.

2) = 6 6 6 6

n=0

n=0 2

ESERCIZIO 5 (punti 5):

Sia X una v.a. discreta, definita dalla seguente legge di probabilità

1 2 1

P(X −1) P(X P(X

= = , = 0) = , = 1) = e 0 altrove

6 3 6 2

a) Si calcoli la densità di probabilità discreta della v.a. Y = 2X ;

b) calcolare la media e la varianza di Y.

SOLUZIONE:

P(Y P(Y

23 13

a) = 0) = , = 2) = .

2 8

2

b) µ = , σ =

Y Y

3 9

ESERCIZIO 6 (punti 5):

Sia f (x, y) una funzione di densità congiunta di due v.a. X, Y , definita:

XY  ≤ ≤

 2 2

kx y, x, y t.c. x y 1

f (x, y) =

XY  0 altrove

Si chiede:

a) Calcolare il valore di k;

b) calcolare le densità marginali .

SOLUZIONE:

21 ;

a) k = 4 √

2

2 4 7y y

−1 ≤ ≤ ≤ ≤

21x (1−x )

b) f (x) = , x 1 e 0 altrove, f (y) = , 0 y 1 e 0 altrove.

X Y

8 2

3

ESERCIZIO 3 (punti 5):

Si consideri la funzione [ ]

π π

∈ −

f (x) = 1 + sin x , x , .

2 2

e se ne calcoli lo sviluppo in serie di Fourier.

SOLUZIONE: ∑

∞ n+1

8 n(−1)

∼

f (x) 1 + sin 2nx .

−

2

π 4n 1

n=1

ESERCIZIO 4 (punti 5):

Si lanciano tre monete eque:

a) qual’è la probabilità di ottenere tre teste?

b) qual’è la probabilità di ottenere tre teste, condizionata dal sapere che il numero di

teste sia dispari?

c) qual’è la probabilitàdi ottenere tre teste, condizionata dal sapere che il numero di

teste sia pari?

SOLUZIONE:

a) Sia A l’evento “esce testa”, la probabilità di uscita di tre teste sarà, per l’indipendenza

P(A P(A ∩ ∩ P(A P(A × ×

1 12 12 18

degli eventi: = 3) = A A ) = )P(A ) = = .

1 2 3 1 2 3 2

b)Sia D l’evento “il numero di teste è dispari” e P l’evento “il numero di teste è

T T

P(A

pari”. La probabilità desiderata è = 3|D ). Usando la formula di Bayes:

T

P(D |A 1

= 3)P(A = 3)

T

P(A = ,

= 3|D ) =

T P(D ) 4

T

P(D |A P(D 12

dove = 3) = 1 , ) = ;

T T

c)Analogamente P(P |A = 3)P(A = 3)

T

P(A = 0 ,

= 3|P ) =

T P(P )

T

P(P |A

dove = 3) = 0 .

T 2

ESERCIZIO 5 (punti 5):

In un incrocio pericoloso si verificano in media due incidenti alla settimana. Applicando

la distribuzione di Poisson, si chiede:

a) qual’è la probabilità che l’indomani non si verifichino incidenti?

b) Qual è il periodo minimo durante il quale c’è più del 95% di probabilità che si

verifichi almeno un incidente?

SOLUZIONE:

La distribuzione di Poisson stima la probabilità che la v.a. X assuma il valore k con la

k

P(X λ

distribuzione = k) = exp (−λ) , k = 0, 1, 2, . . . e 0 altrimenti. Nel nostro caso

k!

2

λ = , quindi:

7

a)Definiamo X la v.a. che indica il numero di incidenti che avvengono nel tempo T ,

T

misurato in giorni:

P(X ≃

2

= 0) = exp (− ) 75.15% ;

1 7

≥ − P(X − ≥ − ≃

2T 7

b)P(X 1) = 1 = 0) = 1 exp (− ) 0.95 . Quindi T > log(0.05)

T T 7 2