Esercizi di Meccanica dei solidi sulla teoria lineare dell’elasticità tridimensionale

Esercizio

Calcolo componente di deformazione rigida e di deformazione pura

M_x(x₁, x₂, x₃) = -α β x₁ x₂

M_y(x₁, x₂, x₃) = -¹⁄₂ β (x₁² x₃ + α(x₁² - k₂² - k₁²))

M_z(x₁, x₂, x₃) = β x₂ x₃

P(1, 1, 1)

Q(1+ε, ε, 1)

Risolvere

• Calcolo vettori spostamenti M(ρ) e M(σ)

M(ρ) = -α β e_x1 - ¹⁄₂ β e₂ + β e₃

M(σ) = -α β(1+ε) e₁ - ¹⁄₂ β(1+α[(1+ε)²-1]) e₂ + β (1+ε) e₃

ρ e σ non vicini → Analisi locale quindi ε² = 0

(1+ε)²-1 = ¬ 2ε + ε² - 1 = 2ε

• Calcolo spostamento relativo

M(σ) - M(ρ) = -α β ε e₁ + (-¹⁄₂ β (1+2αε) + ¹⁄₂ β) e₂ + β ε e₃

≡ -α β ε e₁ - α β ε e₂ + β ε e₃

• Calcolo parte rigida e parte di deformazione pura

W(ρ)(σ-ρ) : comp. rigida dove W(ρ) → skW JM(ρ)

E(ρ)(σ-ρ) : comp. pura dove Ε(ρ) → sym JM(ρ)

Esercizio

Calcolare componenti di deformazione rigida e di deformazione pura.

_Mu(x₁, x₂, x₃) = -α β x₁ x₂

_Mv(x₁, x₂, x₃) = -½ β (x₁² x₃ + α (x₁² - k₁²))

_Mw(x₁, x₂, x₃) = β x₂ x₃

P (1,1,n)      Q (1, 1 + ε, -1)

Risolvendo

• Calcolo vettori spostamento _M(_P) e _M(_Q)

_M(_P) = -α β ε_n - ½ β e₂ + β e₃

_M(_Q) = -α β (1 + ε) e_n - ½ β (1 + α ε) [ (1 + α ε)² - 1 ] e₂ + β (1 + ε) e₃

P e Q non vicini => Analisi locale quindi ε² = 0

(1 + ε)² - 1 = 2 ε ε + ε² - 1 = 2 ε

• Calcolo spostamento relativo

_M(_Q) - _M(_P) = -α β ε e_n + ( -½ β (1 + 2 ε) + ½ β ) e₂ + β e ε e₃

= -α β ε e_n - α β ε e₂ + β ε e₃

• Calcolo parte rigida e parte di deformazione pura

_W(_P, _Q - _P) : comp. rigida dove _W(_P) ≐ skw _U(_P)

_E(_P, _Q - _P) : comp. pura dove _E(_P) ≐ sym _U(_P)

Celedo

M(q) - M(ρ) = -αβ ε e_n - αβ ε e_L + β E e₃ = W(ρ) ε₂ + ε(ρ) ε₂ + ε(ρ)

[σΜ] =

(-αβ x₂       -αβ x₁       0)

(β x₁ x₂       -β x₃)

0       β x₃       β x₂)

1. [skew σ_Μ] = 1/2 [σ_Μ - σ_Μ^*] = (0   -αβ x_n   -P x₃)
2. sym σ_Μ = 1/2 [σ_Μ + σ_Μ^*] = (0   -αβ x₂)

Celede skew [σ_Μ] = sym [σ_Μ] m ρ = (1,1,1) e li oppress

Componente rigida:

W(ρ)(q - ρ) = skew σ_Μ(ρ)(q - ρ) = (0   0   -αβ) (0) =

= -αβ E e_L + β e₃

Componente v deform:

ε(ρ)(q - ρ) = sym σ_Μ(ρ)(q - ρ) =

(0 - α β) (0) = -αβ E e₂

somm Δevano dare

M(q) - M(ρ)

Consideriamo tre alni e v (skuose=v) dei in parcolo si osesia a w(p) il suo velsore asiale: w(p) × (q-p)

w_o = w × q     =>     w_e = w × e_n = (w_x e₁ + w_z e_z + w_z e₃) × e₁ = w₃ e₂ - w₂ e₃

e₁ e₂ e₃

nel problema precedente

-w₂ e₃ + w₃ e_z = d b e_z     (     w₃ = d b

w_z = 0

w e_z - w × e_z = w₁ e₃ - w₃ e_n = a(b e₄ - b e_z) w₂ = b

molleur moda del tempol

w(p):     w(p) = b e_z + a b e₃

Esercizio

Cubo elastico isotropo con spigoli allineati agli assi del S.R.

Risolvi il problema alle forze generate dal piano generale esterna di trazione

sol facendo di:

• Invariante le lunghezze degli spigoli
• Preservi l'angolo retto tra gli spigoli

delle facce di normale _e1 => _E11 = _E22 = ∅

Risolvi

Problema elastico

1) Lunghezza degli spigoli invariate

Δc (_ei; ∅ ) = ∫  _ci = ∅

-> _Eii = ∫ ^{Δ  (_ci)} /  (_ci) = ∅

(perché T = 2 μ _Eii + λ tr E)

σ_ij = 2 μ _Eij + λ tr E δ_ij

σ_ii = 2 μ _Eii = 0

2) Angolo retto tra spigoli di normale _e1 e _e3 preservato

ΔΘ (_e1, _e3) != ∅

=> _E12 = ½ ΔΘ / Θ

=> _E13 = ½ ΔΘ(_e1, _e3 ) / Θ(_e1, _e3 ) = ∅

=> σ₁₃ = 0

· Perché trattasi di un cubo isotropo, rifarsi o equazioni di carico di e permettono si trovino n componenti del tenso T

T = 2 μ _Eij + λ δ_ij

σ_ij = 2 μ _Eij + δ E

Conoscere n⁰²Θ

∂₁₂ = 2 μ γ

_E23 = γ -> ^∂₂₃ = 2 μ γ

Riconosco E e poi T

E = \[\begin{pmatrix} \varnothing & \varnothing & \varnothing \\ \varnothing & \eta & \varnothing \\ \varnothing & \varnothing & \varnothing \end{pmatrix}\]T = \[\begin{pmatrix} \varnothing & 2\mu\gamma & \varnothing \\ 2\mu\gamma & \eta & 2\mu\gamma \\ \varnothing & 2\mu & \varnothing \end{pmatrix}\]T \cdot u\vec{m}sono \Rightarrow dir.\vec{n} + x^o = \varnothing \Rightarrow \vec{n} \cdot E\]

E u\vec{m}sono \Rightarrow cost.\vec{n} \cdot E = \varnothing \Rightarrow M \mu

\intreprera e l'esaurerazione di concavercura \[ \Sigma = \mu \cdot E \]

(codore port 'di apport. Appr ad s)

...\Uvec{m_3}sequaturra \\\{ \\mi_1+K_2 = z\Uvec{g} \\\}

M_1 = \hat{M}_1 (x_2, x_3) \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial}{\partial x_1} (\begin{pmatrix}MN_{11}, \mu_{12} & \mu_{13} \\MN_{31}, \mu_{33} & MN_{21}\end{pmatrix})- M_{32,1}\]

...M_{02} = 2\eta - \frac{K_{3,1}}{K_{2,1}}\\\]...\[0 = cK_['n2,1}] + K_{2,3} \quad \Rightarrow \quad k_{2,1}^{''} = -K_{3,\].

...M_2 = (2yK_{3,1})K'_2x_3 \quad...

M_1 = \frac{\mathrm{d} x_2 - \beta x_3}{\partial x} = lda x_1 \\ \end{pmatrix}\]\]\]...

Assi principali di deformazione e deformazioni principali

E' il sistema di riferimento per il teorema spettrale e' diagonalizzabile. Quindi

le ricerca sugli assi principali di deform. si riduce ad un problema agli autovalori

E e' E : e ₁ ∈ R ₁ e ∈ V

(E - λ I) e = ∅ => det (E - λ I) =

∆ - γ ∅

δ - η

γ η - λ

-λ ( γ² - η² ) - γ ( -γ) : :

= - λ³ + η² + γ² = 0

= - λ ( - λ² + η² + γ² ) = 0

λ ₁ = 0

λ ₂= ± √(γ² + η²)

e₂ = ∅

e₃ = √(γ² + η²)

Assi principali di deformazione

- γ ± √γ² ± γ² ± 1

+ η² + √(γ² + η²)

η

γ ± η² ± √(γ² + η²)

γ

+ η² + √(γ² + η²)

= ∅

=>

=> {

h₂ =

+ √(γ²+η²) η + γ h₂ = 0

γ

- √(γ² + η²) h₃ + γ

+ η² ± √(γ² + η²) γ

η

- √(γ² + η²) γ

η

+ η² ± √(γ² + η²) h₃ = ∅

l₃ = c

γ h₃ + √(γ² + η²) h₂

= ∅

+ γ

+ η² ± √(γ² + η²)

+ √(γ² + η²) h₃ = ∅

= ∅

l₃ = c

|h ₁ |² = 1 => ( γ² ± η² ± 1 )c² = 1 => C = η

γ²

|h ₁ |² = γ²

l₃ = c

^γ/_{√(γ²+η²)} e₁ =

e₁ =

^η1/_V e₂ =

e₂ =

^η/ √(γ²+η²) e₃

⟦ l₁ l₂ l₃ ⟧

( o o ) ( l₁ ) ( o )

( o ν ) ( l₂ ) ( o )

( η η ) ( l₃ ) = ( o )

⇒ { η l₂ = ο

ο l₁ + η l₃ = ο

η l₃ = ο

l_η =: c

l₂ = : г

l₃ = : - گc

【 l l_' l = 1 dυ l_{1^'q1^' ( 1 η )^{l'q1' 】 c l'3}}

c = ^{η γ} √l_k l_k q_к γ e₁

l = ^{m η} √l_k l_k q_к γ e₁

- ѕi^{η ϕ} √l_k l_k q_к e₃

delle teore

m = b×l

b×l

Se [ ]

_W =

⟹[_W] =

(⨆

^- A _k λ _A

2

C _λ x ₃

2

⨆

A _k λ _A 2

C _λ x ₃ 2

-⨆ -

B _k 2

-⨆

-B_k 2

⨆

-_W2e₃+w₃e₂

- A_k λ_A,

-2

^C _λx₃ e₂ 2

-_W2= ⬠ -_C x³ 2,

w₃:=,

△,x³,2/

w_o e ₃ - w₁e₁ = :

^A _λ² ,2

e ₁

,: B_k 2

- B _k" e₃("

w _o : =

-B _k 2

W :=

-- B _{2 x} e _x -

-C_{2 x}^{2 e} 2 - A² ,k_{2 e,3} (

* 喆你達 TRALDAE 8 e R Q1= pTA Q1 ----- e

R P -=

M (α) эфиранды M(P) == Na (p) ( P - α) = E(P) (P - α) + W(P) x (ν - )

E(C) (P - Q) = (

(^{A .}| , ^{2 e} C) ^{2 e} e ³

. ↪ carry

. B έ -

. 3 CO 3

) : - | (

,- ². e ^2,3iela 2')}

:=, - ^△ . . Q ^{2/ i} e, 壹

= .± ²C

( ) x (s X (, ^{2 ' e} 3.

)/ ), e + H - , Mo, 3 ',e,

(Esercizio)

% sfv = d

% sfg = β

Risolvere

dl₁ = E_nn = ^dL/_L

1. ∫ ν = tr ε = E_nn + εl₂ + εg₃ = ^α/₁₀₀

2. ϕL₃ = Ε_g3 = ^Β/₁₀₀

3. E_nn + εL₁ + ^B/₁₀₀ = ^α/₁₀₀

L'appunto della polita e lo è

             (^E_nn/_εL1) = (¹/^{1 - ν}/ν) (^{- ν}/_{- 1}) (^{- ν}/_{- ν- 1})( ^ν /_-σ1) (σ₂) (σ₃) = ^Ε_nn/₁^E_L1/_Εg3^β/ ₁₀₀= ¹/_Εy(^{σ₁ - νσ₂ - νσ₃})^E_L1/₁/_Εy(^{- νσ₂ + νσ₂ + νσ₃}) = ¹/_Εy(^{- νσ₁ - νσ₂ + σ₃})

1. ¹/_Εy^{σ₃ - ν(σ₁ + σ₃)} = (^σ₁)+ ¹/_Εy[^{σ₂ - ν(σ₁ + σ₃)}+^Β/₁₀₀= ^α/₁₀₀]

¹/_Εy(^{σ₃ - νσ₂ - νσ₂ + σ₃ + νσ₂ - νσ₁ - σ₃σ₂ - νσ₂ - σ₁ + ν}) = ^{(α - β) ε_g}/₁₀₀

α

1. σ₃ = ^{(1 - μ)}/_2ν (σ₁ + σ₂) + Ε_y ^{(β - α)}/_200ν

1) Soluzione (a)

d_r ≠ d_z

σ_3c = (1-ν) / r σ₁ + (6γ(θ-λ) / 20αν)

2) Soluzione (b)

d_r = 0