Esercizi di Matematica finanziaria

Esercizio 1

S = 10.000, E viene mantenuto per t = 1 anno e 9 mesi. Si determinino l'importo a scadenza in ciascuna delle seguenti ipotesi.

1. tasso prevalente di interesse J = 2%.
2. tasso annuo di interesse composto J_c = 2%.
3. tasso annuo di interesse semplice i_s = 2%.
4. intensità istantanea di interesse continua δ = 0,02 anni⁻¹.

Si decuplicano tutte: tasso mensile per triplicare l'importo investito nei casi (b) e (d).

J = 10.000t = 1 anno + 9 mesi = 12/12 + 9/12 = 21/12 = 1,75

1. J = 2%M = 10.000 (1 + 0,02)^1,75 = 10.200
2. J_c = 2%M = 10.000 (1 + 0,02)^1,75 = 10.352,62
3. i_s = 2%M = 10.000 (1 + 0,02) ^1,75 = 10.350
4. δ = 0,02 anni⁻¹M = 10.000e^{0,02 * 1,75} = 10.356,19

Caso b30.000 = 10.000 * e^{0,02 * t}ln 3 = 0,02 * tt = ln 3 / 0,02

Caso d30.000 = 10.000 * (1 + 0,02)^tlog 3 = t * log 1,02t = log 3 / log 1,02 = 55,632 anni⁻¹

Esercizio 2

Si considerano 2 BOT, entrambi con nominale 1.000 € con scadenza 3 e 6 mesi. Se i tassi sono rispettivamente 8% e 9% annuo, e ipotizzando i tassi interni di rendimento nei due tassi, la determinazione dell'operazione finanziaria assume equiripartita di svincolo tra i titoli, si voglia determinare il rendimento annuo composto u, che minimize M e il valore parlato V, un mese dopo l'acquisto.

1° BOT

-995

• 3/12

2° BOT

-980

• 6/12

1° BOT + 2° BOT

+1.985

• 9/12

1° BOT → w(t) = -995 + 1.000 (4+i)^-3/12 = 0

• 995 = 1.000 (4+i)^-3/12
• (3/12) ³(4+i) = [4+i] ^3/12
• [4+i] = [995/1] ^-4 = i

(0,995) ^-1 = i → i* = 0,02025 = 2,025%

2° BOT → w(t) = -980 + 1.000 (4+i)^-6/12 = 0

• 980 = 1.000 (4+i)^-6/12
• (0,99) ^-2 = i → i* = 0,02030 = 2,03%

  Sistema e divido tutto per 4=0 [mette in ordin]

  Risultato

  u ² + V - 1.985 = 0

  b + V² - 4ac

  • ^{-1 +} √(ua)^(1,985)

  oppure ...

  p = 2,5 (1 + i(0,01))^-1 + 2,5 (1 + i(0,2))^-2 + 102,5 (1 + i(0,3))^-3

  = 9,5 (1 + 0,02522642)^-1 + 9,5 (1 + 0,020067)^-2 + 102 (1 + 0,025168)^-3

  = 2,462250116 + 2,40270523 + 85,13437515

  = 99,99937583

  = Circa 100€

  Esercizio 4

  Nel mercato sono questi:

  • TVN a 1 anno a prezzo 99 e nominale 100
  • TVN a 2 anni con prezzo 97,5 e nominale 100

  Si determinini il numero (di pezzi) P e il numero N di un portafoglio composto da 50 TVN a 1 anno e 50 TVN a 2 anni.

  Si assuma di voler comprare ulteriori _n2 TVN a 2 anni e di voler scegliere il numero _n1 dei TVN a 2 anni, in modo che la durata del portafoglio diventi 1 anno e 3 mesi.

  Determinare _n2 e il prezzo P' del nuovo portafoglio.

  P = (50·99) + (50·97,5) = 9.825 €

  D = _{(50·99·1) + (50·97,5·2)}/^9.825 = 6.950 + 9.750 / 9.825 = 1,496 anni

  D' = 1,₂₅

  _{(99·50·1) + (97,5·n2·2)}/^{(99·50) + (97,5·n₂)} = 1,25

  6.950 + 195_n2 / 6.950 + 97,5_n2 = 1,25

  (6.950 + 195_n2) = 1,25 (6.950 + 97,5_n2)

  6.950 + 195_n2 = 6.187,50 + 121,875_n2

  6.950 - 6.187,50 = 121,875_n2 - 195_n2

  + 1.237,50 = + 73,125_n2

  n₂ = _1.237,50/^73,125 = 16,9234

  P' = (99·50) + (97,5·16,9234) = 6,600 €

  Esercizio 3

  Si considerano le due posizioni finanziarie x = {-100, 0, 105} Euro e y = {50, -54, 0} Euro, entrambe sullo scadenziario t = {0, 1/2, 1} rispettivamente. Si calcoli il tasso interno di rendimento di entrambe e della loro differenza z = x - y, esprimendo i tassi in forma percentuale su base annua.

  • _i^*x => W(0) = -100 + 105 (1+ i)₁ = 0
  • -100 = 105·(1 + i)^-1
  • ¹⁰⁰/₁₀₅ = (1 + i)^-1

  _i^*x = 0,05 = 5%!

  • _i^*y => W(0) = 50 - 54·(1 + i)^-6/12 = 0
  • 50 = 54·(1 + i)^-6/12
  • ⁵⁰/₅₄ = (1 + i)^-6/12

  _i^*y = 0,0404 = 6,04%!

  z = x - y

  • -100 0 105 0
  • 50 -54 0
  • -150 51 105 / {0, 6/12, 1}?
  • _i^*z => W(0) = -150 + 54·(1 + i)^-6/12 + 105·(1 + i)^-1 = 0
  • Risolvere
  • +105v² + 54v -150 = 0

  Soluzionev = (d + i)^-6/12

  0,9670985 = (1 + i)^-6/12

  (0,9670985)² = (1 + i)

  • +105v² + 54v - 150 = 0
  • -54 + ^{(51)(2 + (4)(105)(-150)}/_2·105
  • -54 + 2561,3210 = 0,9670985

  _i^*z = 0,0408077 = 6,08%!

  Esame del 06/09/2021

  Una famiglia investe 50.000 € in un conto deposito. Rinnova l'investimento di anno in anno per il primo anno al 9,1% e per gli anni successivi al tasso annuo del 3%. Si determina dopo quanti anni l'interesse complessivo eguaglia l'importo aggiunto: 5.000 €.

  In riferimento al periodo cost t si calcoli:

  1. Il tasso reale delle 4 interessi _iac.
  2. Il tasso annuo di interesse composto _iac.
  3. Il tasso annuo di interesse equivale _ir.
  4. Il tasso annuo equivalente di interesse composto.

  2,65374%

  S = 50.000

  i_a = 9,1%i_c = 3%

  M¹ = 50.000 (4,0.02)^t = 51.000

  Dopo 1 anno → I = 1.000

  T = 9,5564 + 1 = 3,554

  I = 51.000 - 50.000= 1.000 (M - S)

  M = 55.000

  log_e 55 / S₁

  J = I / S

  = 5.000 / 50.000 = 0,10 = 10%

  t = 3,554

  T = 9,5564 + 1 = 3,554

  J = I / S

  = 5.000 / 50.000 = 0,10 = 10%

  i_cc ==>

  i_c ==>

  = 55.000 / 50.000 (1 + j)^t

  i = 0,028730552 - 2,973052%

  i_s ==>

  i_s ==>

  = 55.000 / 50.000 (i_s + i_s)^t

  (55/50) - 1 = 3,554 + 1 = 2,837374%

  i = 0,028374 - 2,837374%

  D_cct = 3/12

  D_med = ^{4 + 0,0246954}/_0,0246954 = ⁸/_{(4 + 0,0246954)} = 4,3718

  4,3718 / 2 = 2,1850 mm

  D_bt = ^{82,2402 + 2,1280 - 78,8487}/_100,1289 = 3,6751

  D_p = ^{60 - 3,6751 + 60 - 3/12 + 20 - 1}/₁₀₀ = 1,7704 mm

  D_cct = 3/12

  D_pst = 1/AMD

  D_bt = 3,6751

  Esercizio 5

  Si consideri CT con montante 100, anzianità 9 mesi, prossima cedola 2 euro e prezzo di periodo. Supponendo che i (0,3 mesi) = 2/9 i ed i(0,9 mesi) = 3/2 i nel P e nel D, supponiamo P e D alternativi.

  Vendo montante V = 100.000 euro in un portafoglio composto da questo CT e da un TVN di anzianità 9 mesi, si determini la quantità V_CT e l'altra in maniera equivalente nel CT e nel TVN, in modo che la duration del portafoglio sia di 7 mesi.

  C(CT) = (100 + 2) . (4 + 0,02)^-3/12

  = 101,41663

  D_CT = ³/₁₂ = 0,25

  V = 100.000V_CT = αV_TVN = β

  α + β = 100.000

  ^{0,25 . (100.000 - β) + 9/₁₂ β = 58.333,33}

  25.000 - 0,25 β + ⁹/₁₂ β = 58.333,33

  ⁹/₁₂ β - 0,25 β = 58.333,33 - 25.000

  0,5 β = 33.333,33

  β = 66.666,66

  α = 100.000 - 66.666,66α = 33.333,33