Esercizi matematica finanziaria

6.1

t = (0,1) anni

Azione:

• a. Compro 4 unità
• b. Vendo allo scoperto 4 unità per 12 unità

Si realizza un arbitraggio immediato di 4€

6.2

V(0, x₁) = 146

• x₁ = 150
• t₁ = 90 giorni

V(0, x₂) = 97,27

• x₂ = 50
• t₂ = 180 giorni

V(0, x₃) = 177,3

• x₃ = 200
• t₃ = 360 giorni

V(0, x^*) = 372

x^* / t^* = {x₁, x₂, x₃} / {t₁, t₂, t₃}

Per il teorema di livellamento del prezzo, dovrebbe essere:

V(0, x^*) = V(0, x₁) + V(0, x₂) + V(0, x₃)

In questo caso, abbiamo che V(0, t) > Σ V(0, t_k), quindi è possibile realizzare un arbitraggio.

6.3

V(0, t₁) = 146 V(0, t₂) = 92.8 V(0, t₁, t₂) = -97 t₁ = 150 giorni t₂ = 180 giorni

Per il teorema dei ponti impliciti, dovrebbe essere: N(0, t₁, t₂) = 0,928 n(0, t₁, t₂) = 0,97

• N(0, t₂) = 92.8 / 100 = 0.928
• N(0, t₁) = 146 / 150 = 0,97333

Si possono fare arbitraggi:

Struttura per scadenza

t = 0

N(0, s) = 1 - ks k = 0,082

t* ∈ {0,5; 1; 1,5} anni 0 ≤ s < 1/k

λ(t, s) = 1/(s-t) i(0; 0,5) = [1 / (4 - 0,082 < 0,5)]^-1 = 2 i(0; 1) = [1 / (4 - 0,082)]^-1 = 0,0893246 = 8,93246 / l i(0; 1,5) = [1 / (4 - 0,082 × 1,5)]^-4/3 = 0,094 / l = 9,4 / l

h(t, s) = ln[1 + i(t, s)] ĥ(0; 0,5) = ln[4, 089333] = 0,083728 anni^-1 ĥ(0; 1) = ln[4, 0893246] = 0,085558 anni^-1 ĥ(0; 1,5) = ln[4, 09144] = 0,08746988 anni^-1

N(0,2) = 6,66667 - 8N(0,4)

N(0,2) = 0,81648

27N(0,1) + 3N(0,2) = 45 ≠ 50 → ARBITRAGGIO

6.7 t = {1,2,3} anni

V(0,x₄) = -40

V(0,x₂) = +40

208 → 105 in t₂ V(0,208) = ?

120 = 20N(0,1) + 120N(0,2)

40 = 20N(0,1) + 30N(0,2)

40 = 20[4 - 12N(0,2)] + 30N(0,2)

40 = 240 - 240N(0,2) + 30N(0,2)

N(0,2) = ¹⁸⁰/₂₁₀ = 0,857143

V(0;208) = 105 × 0,857143 - 90

N(0,1) = k1 - 12N(0,2)

N(0,1) = k1 - 12 × 0,857143 = -0,7462857

6.8 V(0,x₁) = 97

V(0,x₂) = 144

V(0,x) = 3 × 97 + 144 - 435

V(0,t₁,t₂) = 150 × 0,98969 = +89,3585

Azione t t₁

1. Acquisto a termine x₄ 0 ⁰ -147,36 +150

2. Vendo a pronti x₂ +144 0 -150

3. Acquisto a pronti x₄ -145,5 +150 0

7.11

t=0

t = t₁, t₂, t₃ {2,4,8}mesi

• x → 3cb W 100 € scad. in t₄ V(0; x) = 98.5
• y → 3cb W 200 scad in t₃ V(0; y) = 190
• z → contratto a termine 150 € in t₂ V(0; t₁, z) = 148

N(0, t₁, t₂) = ¹⁵⁰⁄₁₄₈ = 0.986667

N(0, t₁, t₃) = 1 (0, t₁) = ¹⁄_0.986667 = 0.986667

N(0, t₁, t₃) = ln(1,0868929) = 0.080836 anni^-1

N(0, t₃) = ¹⁹⁰⁄₂₀₀ = 0.95

N(0, t₂, t₃) = ^0.85

N(0, t₁, t₃) = 0.9975

N(0, t₁) = ¹⁄_0.991867

i(0, t₁, t₃) = ¹⁄_0.9975^1⁄3 -1 = 0.026554₄ = 7,065₄

h(0, t₁, t₃) = ln(1,0206554) = 0.08237 anni^-1

• v → 3cb unitario scadenza t₂
• w → rendita immediata posticipata — durata m = 2 — rata quadrimestrale R = 50

N(0, v) = 1 x 0.971867 = 0.971867

W(0, w) = 50 (1,08983) + 50 (4,099927)^2⁄3 = 46.99335

i(0, t₃) = ¹⁄_0.95 -1 = 0,04799972 = 7.999272

7.14

• S₂ = 4.88
• S₃ = 4.94
• S_f = 5.03
• i(0,1) = u_p0.1

i(0,2) = ¹⁄_1.0488^1⁄2 - 1 = 0,0487985 = 4.8795

i(0,3) = ¹⁄_1,049^1⁄3 - 1 = 0.049269 = 4.94269

i(0,4) = ¹⁄_{1.0503^1⁄7⁄13} -1 = 0.050391 = 5.03947

PAG. 18

V(0;x₁) = 99,22 x₁ = 102 t₁ = 120 gg

V(0;x₂) = 128,3 x₂ = 221 t₂ = 270 gg

V(0;x₃) = 291,45 x₃ = 388 t₃ = 450 gg

t₁ = 120 gg = ¹²⁰⁄₃₆₀ = ¹⁄₃ anno

t₂ = 270 gg = ²⁷⁰⁄₃₆₀ = ³⁄₄ anno

t₃ = 450 = ⁵⁄₄ anno

J(0, 100 gg) = ^{102 - 99,22}⁄_99,22 = 0,091668 = 9,1668%.

i_A⁴ = (1 + 0,091668)³ - 1 = 0,15462145 = 15,462145%.

J(0, 221gg) = ^{221 - 128,3}⁄_128,3 = 0,23968 = 23,968%.

i_A⁴ = (1 + 0,23968)^4/3 - 1 = 0,331439 = 33,1439%.

J(0, 450 gg) = ^{388 - 291,45}⁄_291,45 = 0,365588

i_A⁴ = (1 + 0,365588)^4/5 - 1 = 0,283084 = 28,3084%.

PAG. 22

t = 0 N(0;s) = 1-ds sconto commerciale

d = 0,11 anni^-1 t = {1,2,3}

1) Struttura per scadenza dei tassi a pronti:

• i(0;1) = [¹⁄_{1 - 0,11}]¹ - 1 = 0,1235955 = 12,35955%.
• i(0;2) = [¹⁄_{1 - 0,11*2}]^1/2 - 1 = 0,132727 = 13,2727%.
• i(0;3) = [¹⁄_{1 - 0,11*3}]^1/3 - 1 = 0,1428127 = 14,28127%.

2) Struttura per scadenza di S:

S(1,s) = ^d⁄_s ln N(1,s) = -^d⁄_s ln[^d⁄_1-ds] = -^d⁄_1-ds + ^d⁄_1-ds

• S(0,1) = ^0,11⁄_{1 - 0,11} = 0,1235955 anni^-1
• S(0,2) = ^0,11⁄_{1 - 0,11*2} = 0,1410250 anni^-1
• S(0,3) = ^0,11⁄_{1 - 0,11*3} = 0,1641791 anni^-1