Esercizi svolti di Geometria lineare e analitica

Esercizi su aree e volumi

A = (2, 1, -1)   B = (0, 2, 1)   C = (2, 3, 2)   D (1, 0, -3)

u = AB v = AC w = AD

Trovar l'area del parallelogrammo formato da u e v

Trovar l'area del parallelepipedo formato da u, v, w

S = || u ∧ v ||

u = AB = B - A = (0, 2, 1) - (2, 1, -1) = (-2, 1, 2) v = AC = C - A = (2, 3, 2) - (2, 1, -1) = (0, 2, 3)

u ∧ v =   i j k -2 1 2 0 2 3 = | 1 2 -2 2 | = -i + 6j - 4k = (-1, 6, -4)

S = || u ∧ v || = √((-1)² + (6)² + (-4)²) = √(1 + 36 + 16) = √53

S₁ = | u ∧ v ∧ w |

w = AD = D - A = (1, 0, -3) - (2, 1, -1) = (-1, -1, -2)

u ∧ v ∧ w = -2 1 2 0 2 3 -1 -1 -2 = 8 - 3 + 4 - 6 = 3 > 0 => ( u, v, w )

e una BASE positiva o destrorsa

Trovare l'equazione del piano

Dato A (1, -2, 3), B (0, 1, 4), C (2, 3, 1). Trovare il piano passante per A, B e C.

Considero un generico punto P del con P(x, y, z). Allora considero i vettori AP͞ AB͞ AC͞

AP͞ = P - A = (x - 1, y + 2, z - 3) AB͞ = B - A = (-1, 3, 1) AC͞ = C - A = (1, -1, -2)

A, B e C devono essere complanari, quindi anche i vettori AP͞, AC͞ AB͞ devono esserlo.

AP͞, AB͞, AC͞ sono complanari ↔ AP͞ (AB͞ ∧ AC͞) = 0

    | x-1 y+2 z-3 | AP͞ . (AB͞ ∧ AC͞) = | -1 3 1 | = 0     | 1 -1 -2 |

-6(x-1) + (z-3) + (y+2) - 3(z-3) + (x-1) - 2(y+2) = 0

∈: -5 (x-1) - (y+2) - 2 (z-3) = 0 E.q Cartesian del piano

Con (1,-2,3) ∈ α e n͞ = ( -5, -1, -2) ∈ α

Trovare la equazioni parametricha e cartesiana del piano α passante per A (1, 1, 1 ), parallelo ai vettori V͞(2,-1,1) e W͞(1,0,1),

Considero il generico punto P(x,y,z) e leleba le coordinate di AP͞:

AP͞ = P - A = (x-1, y-1, z-1)

P ∈ α ↔ AP͞ V͞ W͞ sono complanari ↔ AP͞ . (V͞ ∧ W͞) = 0

E₃

Trova il piano che contiene A (2,0,3), B (-1,3,0), C (1,1,0).

AB = B - A = (-3,3,0) =

AC = C - A = (-1,1,-3) = V

AP = P - A = (x - 2, y, z - 3)

| X - 2 Y Z - 3 |

| -3 3 0 | = 0 => π: x + y - z = 0

| -1 1 -3 |

Trova le componenti ortogonali di su V

|

| = ⋅ V = (-3,3,0) ⋅ (-1,1,-3)

|_||V||

3 + 3 = ₆

√41

√41

Trova il vettore componente di su V si trova con la formula:

u_v = ( ⋅ V) V = ⁶ (-1,1,-3) = (-⁶,⁶,-¹⁸)

||V||²

41 41 41

COMPONENTI ORTOGONALI DI SU V

Trovare l'eq della retta

Dato

• Trovare le eq cartesiane e parametriche della retta passante per A (1, 1, 2) e parallela a v (1, 1, 1).
• Le eq parametriche della retta sono del tipo:

• X = X₀ + t ξ
• Y = Y₀ + m ξ , ξ ∈ ℝ
• Z = Z₀ + n ξ

Dove P₀(X₀, Y₀, Z₀) è un punto appartenente alla retta e n¯ (l, m, n) è un vettore parallelo alla retta e anche detto vettore direttore.

Abbiamo tutti i dati, quindi basta sostituirli:

• X = 1 + ξ
• Y = 1 - t , t ∈ ℝ,
• Z = 2 + ξ

Per ottenere le eq cartesiane basta isolare ξ

• ξ = X - 1
• ξ = 1 - Y
• ξ = Z - 2

Adesso basta prendere due equazioni e metterle a sistema:

• X - 1 = 1 - Y
• X - 1 = Z - 2

v :

• X + Y - 2 = 0 (eq cartesiane)
• X - Z + 1 = 0

Posizione reciproca di due rette nello spazio

1)

Verificare che v e s sono sghembe.

v: { x - y + 2z = 0     2x - y - 1 = 0     x + 1 = 0     z = 0

s: { x + y = 0     z = 0

In questo caso si crea il sistema con le 2 delle rette:

Σ: { x - y + 2z = 0     2x - y - 1 = 0     x + 1 = 0     z = 0

A = &Left; start&Left;bracketing &matrix; 1 &sep; -1 &sep; 1 &sep; 0 \\ 2 &sep; -1 &sep; 0 &sep; -1 \\ 1 &sep; 1 &sep; 0 &sep; 0 \\ 0 &sep; 0 &sep; 1 &sep; 0 &Right; end&Right;bracketing &matrix; &Right;

|A’| = &Left; start&Left;bracketing &matrix; 1 &sep; -1 &sep; 0 \\ 2 &sep; -1 &sep; -1 \\ 1 &sep; 1 &sep; 0 &Right; end&Right;bracketing &matrix; = (-1) = -2 ≠ 0 ⇒ rg (A’) = 3 ⇒ v, s sono sghembe

2)

Verificare che v e s sono complanari e trovare il piano che le contiene.

v: { x = 1 - ε     y = 2 + ε     z = ε

s: { x = 6     y = 1 - ε     z = -1 + ε

Per vedere se sono complanari si può utilizzare il metodo del sistema oppure prendere i vettori diretti e intestare che il vettore che parte da v, finisce in s, è applicare la complanarità.

P₁ ∈ v &Leftrightarrow P₁ (4, 0, 0) P₂ ∈ s &Leftrightarrow P₂ (0, 1, -1)

n₁ = (1, 2, 1) , n₂ = (7, -1, 1) P₁P₂ = P₂ - P₁ = (-1, 1, -1)

v ed s sono complanari ⟺ n₁, n₂, P₁P₂ sono complanari ⟺ &Psub;1P₂ ∧ n₁ ∧ n₂ = 0

retta passanti per un punto parallela a due piani

Determina l'equazione della retta passante per P(3, 4, 5) e parallela ai piani

• α: 2x + 3y - 5z + 7 = 0
• β: 5x - y + 8z - 3 = 0

Il problema si risolve dando che i piani α, β essendo paralleli a retta, intersecandosi formano una retta a sua volta parallela alla retta; perciò è sufficiente che due piani formino una retta.

Sistema:

• 2x + 3y - 5z + 7 = 0
• 5x - y + 8z - 3 = 0

A = ^{[2 3 -5]} _{[5 -1 8]}

rg(A*^{5 8 3}_-3) = rg(A) = 2

α ∩ β = s

s con s ∥ r

Adesso basta ricavare s e sostituir m in r di uno delle generici messi al punto P

5(λ, μ, n) = ^{[3 -5]}_{-7 8} = 19; m = -⁴¹/₅; n = ^{2 3}_{3 -1} = -17;

v:

• x = 3 + 19ε
• y = 4 - 41ε
• z = 5 - 17ε

ε = ^{x - 3}/₁₉