Esercizi di Calcolo muri e fondazioni in ca

T

 = 

t F

h

in cui T è la forza resistente agente sul piano di posa della fondazione e F sono le forze orizzontali agenti sul muro. Nella

h

verifica a breve termine, tutti i carichi sono carichi totali.

La forza resistente T è fornita dall'adesione c integrata sulla base del muro:

a

=  = = kN / m

T c B 35 2,5 87,5



Le forze orizzontali F agenti sul muro sono date da:

h

- spinta dell'acqua nella fessura, a tergo del muro;

- spinta attiva, a tergo del muro.

Con riferimento alla nomenclatura riportata nello schema tali forze sono:

A

0 z W

1 3

Sw Wt

35 B

Sa

1

Sa

2 C

55 O

W

2

1

=  =

Sw 35 3,5 61,25 kN / m

2

=  =

Sa 35 1 35 kN / m

1 1

= − 1 =

(55 35) 10 kN / m

Sa

2 2

 =Sw + + = kN / m

F Sa Sa 106,25

h 1 2

Il coefficiente di sicurezza allo scorrimento sul piano di posa diventa:

T 87,5

=

 = 

= 0,82 1,3



t F 106,25

h

Il coefficiente di sicurezza è inferiore a 1,3, come richiesto dal D.M. del 1988. Il muro non è pertanto verificato allo

scorrimento sul piano di posa.

Per la verifica a ribaltamento si valutano i momenti ribaltanti e stabilizzanti rispetto al punto O.

Forza braccio Momento stabilizzante Momento ribaltante

[kN/m] [m] [kN·m/m] [kN·m/m]

Sw=61,25 1+1/3·3,5=2,17 132,71

Sa =35 1/2·1=0,5 17,50

1

Sa =10 1/3·1=0,33 3,33

2

W =2·(0,5·10+3·20)=130 0,5+1/2·2=1,5 195,00

t

W =0,5·3,5·25=43,75 1/2·0,5=0,25 10,94

1

W =2,5·1·25=62,5 1/2·2,5=1,25 78,13

2 284,07 153,54

Il coefficiente di sicurezza al ribaltamento diventa:

M

 284,07

= s = = 

1,85 1,5

r 153,54

M r

Il coefficiente di sicurezza è maggiore di 1,5, come richiesto dal D.M. del 1988. Il muro è pertanto verificato al

ribaltamento.

ESERCIZIO 2 (18 gennaio 2005)

Si esegua la verifica a traslazione sul piano di posa del muro di sostegno riportato in figura. Si esegua la verifica con

riferimento alle condizioni di breve termine, tenendo conto del riempimento con acqua di eventuali fessure che si

potrebbero formare sulla superficie.

q=90 kPa ARGILLA:

= 3

20 kN/m

c = 55 kPa

u

INTERFACCIA TERRENO-

ARGILLA FONDAZIONE:

=c =30 kPa



cls cls:

= 3

25 kN/m

ACQUA:

= 3

10 kN/m

A breve termine lo sforzo orizzontale totale riferito alle condizioni di spinta attiva è dato da:

 

= − kPa

2c

h v u

Il valore dello sforzo verticale totale è espresso da:

 

=  +

z q kPa

v  dell’unità

in cui è il peso di volume dell'argilla.

Lo sforzo orizzontale diventa:

 

=  + − =  + −  =  −

z q 2c 20 z 90 2 55 20 z 20 kPa

h u

Lo sforzo orizzontale nel terreno non può essere negativo; ne segue che per profondità z≤1 m si forma una fessura.

Se la fessura si riempie d'acqua la sua profondità aumenta fintantoché lo sforzo orizzontale eguaglia la pressione

dell'acqua e coincide con la condizione di spinta attiva, come ben rappresentato nel piano di Mohr:



c

u 

   

  

= z = z+q

= z= -2c

h w v

h w v u

La profondità z della fessura vale:

w

  

=  + − = 

z q 2c z

h w

w u w

 − = 

20 z 20 10 z

w w

=

z 2 m

w

La verifica a traslazione è definita dal rapporto:

T

 = 

t F

h

in cui T è la forza resistente agente sul piano di posa della fondazione e Fh sono le forze orizzontali agenti sul muro. Nella

verifica a breve termine, tutti i carichi sono carichi totali.

La forza resistente T è fornita dall'adesione c integrata sulla base del muro:

a

=  =  =

T c B 30 3 90 kN / m



Le forze orizzontali F agenti sul muro sono date da:

h

- spinta dell'acqua nella fessura e spinta attiva, a tergo del muro;

- spinta dell'acqua, a valle del muro.

Con riferimento alla nomenclatura riportata in figura tali forze sono:

= kPa

u 0

A 

=  =  = kPa

u z 10 2 20

w

B w

 =  − =  − = 0

kPa

20 z 20 20 4 20 60 A

hC C

= kPa

u 0 Sw

D 1



=  =  = kPa

u z 10 1,5 15

w

E E 20 0

D

Sa B Sw 2

15

60 C E

1

=  =

2

20 2 40 kN / m

Sw

1 2

1

= +  =

Sa (20 60) 2 80 kN / m

2 1

=  =

2

15 1,5 16,88 kN / m

Sw

2 2

 =Sw + =

F Sa - Sw 88,75

h 1 2

Il coefficiente di sicurezza allo scorrimento sul piano di posa diventa:

T 90

=

 = = 

1,01 1,2



t F 88,75

h

Il coefficiente di sicurezza è inferiore a 1,3, come richiesto dal D.M. 11 marzo 1988. il muro non è pertanto verificato allo

scorrimento sul piano di posa.

ESERCIZIO 2 (1 settembre 2005)

Con riferimento allo schema di figura si eseguano le verifiche di stabilità dell’opera di sostegno alla traslazione sul piano

di posa e al ribaltamento. Si consideri la sabbia ovunque completamente satura (S=1) e, per la valutazione della spinta

passiva a valle dell’opera, con resistenza nulla. OPERA DI

1 2 SOSTEGNO:

= 3

25 kN/m

1 ACQUA:

= 3

10 kN/m

2 2

1 INTERFACCIA

SABBIA:

= OPERA-TERRENO

3

20 kN/m Parete verticale:

c’= 0 kPa =

’=30°

Per eseguire le verifiche di stabilità dell’opera di sostegno si assume che il terreno raggiunga le condizioni di rottura per

spinta attiva, a tergo del muro, e per spinta passiva a valle.

z w

Si valuta innanzitutto la distribuzione degli sforzi verticali totali. Definite z e w le coordinate verticali, positive verso il

basso, a tergo dell’opera e a valle dell’opera, come riportato in figura, gli sforzi verticali totali sono dati da:

 

= = [kPa]

z 20z

v

  

= + = + [kPa]

1 w 10 20w

v w

e valgono: 0 10



v 

v

60 30

Per il calcolo delle pressioni interstiziali si nota che tra monte e valle non vi è alcuna differenza di carico idraulico; la

distribuzione delle pressioni interstiziali è pertanto di tipo idrostatico ed è data da:



= − = −

u (z 1) 10z 10 [kPa]

w



= =

u w 20w [kPa]

w

I valori delle pressioni interstiziali sono: -10 U

p

10 10

u u

20 20

20 20

U

b

Per effetto della risalita capillare nella sabbia completamente satura, le pressioni interstiziali sopra la falda a tergo

dell’opera sono negative. Sul paramento inclinato del muro agiscono pressioni interstiziali positive, ortogonali al

paramento stesso, di risultante U pari a:

p

1

= 

U 10 =

2 2 [kN / m]

5

p 2

e componenti orizzontale U e verticale U pari a 5 kN/m.

h v

Alla base dell’opera agisce una spinta idraulica U pari:

b

=  = [kN / m]

U 20 3 60

b

Gli sforzi verticali efficaci sono dati da:

 

= −

' u

v

v

e valgono: 10 0

' '

v v

10

40

I valori degli sforzi orizzontali a tergo del muro si riferiscono alle condizioni di spinta attiva e sono dati da:

  

= −2c' = [kPa]

' k ' k k '

h a v a a v

in cui: 

   

' 30 1

= − = − =

2 2

k tg 45 tg 45

   

a    

2 2 3

I valori degli sforzi orizzontali a valle del muro si riferiscono alle condizioni di spinta passiva in un terreno a resistenza

nulla. Essi sono dati da:

  

= +2c' = [kPa]

' k ' k k '

h p v p p v

in cui: 

   

' 0

= − = − =

2 2

k tg 45 tg 45 1

   

p    

2 2

Gli sforzi orizzontali totali sono dati da:

 

= +u

'

h h

I valori degli sforzi orizzontali efficaci e totali sono riportati in figura:

10/ -20/3

0 10

' 

' 

h h

h h

10 40/

40/ 30

Gli sforzi orizzontali totali a tergo del muro non possono essere negativi, perciò si crea una fessura fintantochè si ha:

 

     

= +u = +u =  − − + − 

' k ' k z (z 1) (z 1) 0

h w w

h a v a

Da cui si ricava che la profondità z della fessura vale 0,5 m. Gli sforzi orizzontali totali e tutte le forze risultanti sono:

f 0 W

2

W

1 U

p 10

S

a S

p1 S

p2

40/ 30

o

W

3

U

b

Per eseguire le verifiche a traslazione sul piano di posa e a ribaltamento si calcolano i valori delle forze e dei loro bracci

rispetto al polo O. Nella tabella che segue le forze sono state considerate positive se rivolte verso il basso o verso monte; i

momenti sono positivi se stabilizzanti.

F [kN/m] F [kN/m] Braccio [m] M [kNm/m]

v h 1 5 375

( ) = + 1 =

=  = b 2

W 25 1 3 75

1 1 2

2 2

1 ( ) 2 4 200

=  = =  =

W 25 1 2 50 b 2

2 2

2 3

3 3

1

=  =

( )

=  = b 2 1

W 25 1 2 50 50

3 3 2

1 1 5

= 1 =

= b

U 5

v v 3

3 3

1 3

=  =

= −60 b 3

U -90

b b 2 2

 

  1 1 5

1 100 1 125 =  − =

= −   − = −

    625

b 3

S 3 −

a a

2 3 2 3 3 2 6

 

  18

1 4 20

= + 1 =

= b 1

U 5

h h 3

3 3

1 1

= 1 =

= 1 = b

S 10 10 5

p1 p1 2 2

1 1

1 ( ) = 1 = 10

=  − 1 = b

S 30 10 10 p 2

p 2 3

2 3 3

La verifica al ribaltamento è data da:

275,8

M = = 

 = 2,2 1,5

st

rib M 124,7

rib

La verifica a traslazione sul piano di posa è data da:

( ) ( )



 

+ + + − 

F' tg W W W U U tg 69,3

T = = = 

 = = v 1 2 3 v b 4,2 1,3

( )

 +

+



t F S - U S 16,7

S

F p 2

p1

h a h

h

  l’ipotesi

In cui si è assunto = per che la superficie di scivolamento si colloca nel terreno.

L’opera risulta verificata