Esercizi d'esame svolti di Algebra

Si calcola la soluzione generale che soddisfa le singole congruenze:

= + + = 28 ⋅ 4 + 35 ⋅ 2 + 20 ⋅ 2 = 222 ≡ 82 140

1 1 2 2 3 3

Tutte le soluzioni saranno del tipo:

̅ = 82 + 140ℎ

) = (()) ()

Per capire se sia massimale dobbiamo vedere se è irriducibile:

(0̅) 1̅

=

(1̅) 3̅

=

(2̅) 4̅

=

(3̅) 3̅

=

(4̅) 6̅

=

(5̅) 5̅

=

(6̅) 6̅

=

⇒ ()

è irriducibile quindi è massimale.

) ℤ []/

Poiché è massimale, è un campo. L’ordine di un campo equivale alla potenza di un

7

primo: (()) 3

|ℤ []/| = 7 = 7 = 343

7 ℤ []/

Essendo un campo, è un dominio di integrità e quindi è privo di divisori dello zero.

7

) 1̅ 6̅ 6̅}

2 3

{ |

ℤ []/ = ̅̅̅ + ̅̅̅

+ ̅̅̅

+ = − − = +

7 0 1 2 .

̅() = () + (()) ∈ [̅ ]/(()) ⇔ ((), ()) = 1

In generale è invertibile

4̅, 1̅)

3

( + + + = 1

̅

+4 + ammette inverso.

⇒ 4̅ 4̅

+ + ℤ []/ + +

L’inverso di è quell’elemento di che, moltiplicato per , restituisce

7

1̅ + come risultato:

4̅ 1̅

2

( (

+ + ) ⋅ ̅̅̅ + ̅̅̅

+ ̅̅̅

+ ) = +

0 1 2

4̅̅ 4̅̅ 4̅̅ 1̅

2 2 3

+ + + ̅ + ̅ + ̅ + = +

0 1 2 0 1 2

6̅ 6̅

3

= +

Si sostituisce :

4̅̅ 4̅̅ 4̅̅ (6̅ 6̅) 1̅

2 2

+ + + ̅ + ̅ + ̅ ⋅ + + = +

0 1 2 0 1 2

4̅̅ 4̅̅ 4̅̅ 6̅̅ 6̅̅ 1̅

2 2

+ + + ̅ + ̅ + + + = +

0 1 2 0 1 2 2

Si raccoglie:

(4̅̅ 6̅̅ 4̅̅ 6̅̅ 4̅̅ 1̅

2

(̅ ) (̅ )

+ ) + + + + + + = +

0 2 0 1 2 1 2

̅ , ̅ , ̅

Per trovare tali per cui l’equazione sia verificata, impostiamo un sistema:

0 1 2 −4̅̅ 3̅̅ −4̅̅ 3̅̅

4̅̅ 0̅ ̅ = = ̅ = =

̅ + = 1 2 2 1 2 2

1 2 5̅̅ ̅̅̅̅̅ 3̅̅

4̅̅ 6̅̅ 0̅ 6̅̅ 0̅

{ ⇒ { ⇒ { ⇒

̅ = −11 =

̅ + + = ̅ + + = 0 2 2

0 1 2 0 2 2 5̅̅

4̅̅ 6̅̅ 1̅ 4̅̅ 6̅̅ 1̅ 6̅̅ 1̅

+ = + = + =

0 2 0 2 2 2

6̅

̅ =

1 6̅

⇒{ ̅ =

0

4̅̅ 1̅ 2̅

= ⇒ ̅ =

2 2

2̅ 1̅ 6̅ 6̅ 2̅ 2

⇒ + + + + + .

L’inverso di è

) −1

⇔ ∀, ∈ ∈ .

è sgp. di ̅ ̅

̅ ̅

1 1 2 2

=( ), = ( )

̅ ̅

0̅ 0̅

1 2

̅ −̅ ̅ −̅

1 2 2 2 2

−1

= ⋅( )=( )

0̅ 0̅

det ̅ ̅

2 2

̅ ̅ ̅ ̅

̅ −̅

̅ ̅ −̅ + ̅

1 1 1 2 1 2 1 2

2 2

−1

= ( )( )=( )∈

̅ ̅

0̅

0̅ 0̅

̅

̅

2

1 1 2

⇒ .

è sgp. di

) ̅, ̅

̅, ∈ ℤ

Per determinare la cardinalità di dobbiamo capire quali valori possono assumere 16

̅̅ 1̅

=

tali che .

̅ ̅

̅̅̅

0̅ 15

può assumere tutti i valori da a (16 valori).

̅̅ ̅

1̅ 0̅

= ⇔ ̅, ≠ ⇔ (, 16) = (, 16) = 1

4 4 3

|(ℤ )| )

= (16) = (2 = 2 − 2 = 8

16 5̅, ̅

̅̅̅ ̅

1̅, 3̅, 7̅, 9̅, ̅

̅̅̅, ̅

̅̅̅,

)

(ℤ 11 13 15 ̅

Gli elementi di sono (saranno i possibili valori di e ).

16

̅ ̅

1̅ 1̅ 1̅

̅ = ⇒ ≡ 16 ⇔ =

3̅̅ ̅

3̅ 1̅ ̅̅

̅̅

̅ = ⇒ ≡ 16 ⇔ = 11

5̅ 5̅̅ ̅

1̅ ̅̅

̅̅

̅ = ⇒ ≡ 16 ⇔ = 13

7̅̅ ̅

7̅ 1̅ 7̅

̅ = ⇒ ≡ 16 ⇔ =

9̅̅ ̅

9̅ 1̅ 9̅

̅ = ⇒ ≡ 16 ⇔ =

3̅̅ ̅

̅̅

̅̅ 1̅ 3̅

̅ = 11 ⇒ ≡ 16 ⇔ =

3̅̅ ̅ 5̅

̅̅

̅̅ 1̅

̅ = 13 ⇒ ≡ 16 ⇔ =

̅̅

̅̅ 3̅̅ ̅ ̅̅

̅̅

1̅

̅ = 15 ⇒ ≡ 16 ⇔ = 15 ̅̅

8 ⋅ 8

Quindi ci sono combinazioni possibili di .

|| = 16 ⋅ 8 ⋅ 8 = 1024

) ,

Per affermare che sia sgp. normale di bisogna dimostrare che:

−1

∀, ∈ ∈

1. è sottogruppo: −1

∀ ∈ , ∀ ∈ ∈

2. è normale:

̅ ̅

1̅ 1̅ ̅

(̅

1 2

=( ), ( ) )

= , = ̅

0̅

0̅ 1̅ 0̅ ̅

1

1 −̅ −̅

1̅ 1̅

−1 2 2

⋅( )=( )

= 0̅ 1̅ 0̅ 1̅

det ̅ −̅ −̅ ̅

1̅ 1̅ 1̅ +

−1 1 2 2 1

( )( )=( )∈

= 0̅ 1̅ 0̅ 1̅ 0̅ 1̅

1 1

̅ −̅ (̅ −̅ (̅ −̅

(

−1 ) ) )

= ⋅ = ⋅ =

̅̅

̅̅

0̅ 0̅ 0̅

det ̅ ̅ ̅

̅ (̅ ̅̅ ̅

(1̅

̅ −̅ ̅ 0̅

− ̅

( (̅

−1 1 1

) ) ) )( )

= = =

̅

̅

̅ 0̅

0̅ 1̅ 0̅ ̅

0 ̅ ̅

̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅

2

+ ̅ − ̅ −

1 1

=( )∈

̅̅

̅̅

⇒ è sgp. normale.

)

Dobbiamo innanzitutto dimostrare che è un omomorfismo di gruppi. Dato che entrambi i

gruppi sono moltiplicativi:

∀, ∈ ( ⋅ ) = () ⋅ ()

̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ +

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

=( ), = ( )⇒⋅ =( )

̅ ̅ ̅ ̅

0̅ 0̅ 0̅

1 2 1 2

̅ ̅

( ⋅ ) = = () ⋅ ()

1 2

⇒ è un omomorfismo. È suriettivo?

5̅, ̅̅

̅̅}

{1̅, 3̅, 7̅, 9̅, ̅

̅̅̅, ̅

̅̅̅,

)

(ℤ = 11 13 15

16 ) ).

∀ ∈ (ℤ ∃ ∈ () = ? ⇒ = (ℤ

tale che Si, quindi è un epimorfismo

16 16

̅

1̅ ̅ ̅̅̅̅

1̅} 0̅

1

{ | )}

ker = ∈ () = 1 = = {( 15

con che varia da a .

)

(ℤ 1

0̅ 1̅

16

||

⇒ = ⇒ = 16

/

Il gruppo quoziente è:

{ |

/ = ∈ }

Per il teorema di omomorfismo:

)

/ ≅ ⇒ / ≅ (ℤ

16 )

16 / ≅ (ℤ

non è primo quindi non è campo.

16

,

Inoltre, abbiamo detto che è sgp. (normale) di quindi per il teorema di Lagrange:

|| 1024

|/| = = = 64

|| 16

) ) ) { |

(ℤ ∈ (ℤ (ℤ = < > = ∈ ℤ}.

non è ciclico poiché non esiste tale che

16 16 16

) , , ∈ ℤ, , ≡ ≡ ,

Siano si dice che è congruo a modulo ovvero oppure se

( − ) − = ⋅ ∈ ℤ

divide o, equivalentemente, se .

∈ ℤ

La classe di equivalenza di sarà:

[] { | { |

= ∈ ℤ ≡ } = ∈ ℤ − = }

Inoltre: []

∀ ∈ ℤ = []

0 − 1. []

Dove è il resto della divisione di per e va da ad Per questo motivo viene anche

detta classe di resto. Di conseguenza, l’insieme quoziente sarà:

{0̅, 1̅, ̅̅̅̅̅̅̅

{[] | [1], [ }

ℤ/≡ = ℤ = ∈ ℤ} = {[0], … , − 1]} = … , − 1

ℤ .

è detto anche insieme delle classi di resto modulo

ℤ

La cardinalità di è:

|ℤ | =

)

~ è una relazione di equivalenza se rispetta le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva:

∀(, ) ∈ ℤ × ℤ (, )~(, ):

1. (, )~(, ) ⇔ + = + VERO

(,

∀(, ), ) ∈ ℤ × ℤ (, )~(, ) (, )~(, ):

2. se allora

(, )~(, ) ⇔ + = +

(, )~(, ) ⇔ + = + VERO

(,

∀(, ), ), (, ) ∈ ℤ × ℤ (, )~(, ) (, )~(, ) (, )~(, ):

3. se e allora

(, )~(, ) ⇔ + = +

(, )~(, ) ⇔ + = +

Sommando membro a membro:

+ + + = + + + ⇒ (, )~(, )

~ 1, 2 ⇔ + 2 = + 1 ⇔ = − 1

(, ( )

)

[(1, {(, {( |

2)] = ) ∈ ℤ × ℤ | = − 1} = − 1, ) ∈ ℤ}

) 1̅

3

() = + ∈ ℤ []

5

(0̅) 1̅

=

(1̅) 2̅

=

(2̅) 4̅

=

(3̅) 3̅

= ̅

̅̅̅

(4̅) 0̅ 4̅)/()

= 65 = ⇒ ( −

1̅ 4̅

3

+ −

4̅ 4̅ 1̅

3 2 2

− + +

4̅ 1̅

2 +