Elettrotecnica - Esercizi

ESERCIZI

Risolvere la rete trovando tutte le matrici

Matrice di incidenza:

• [1 0 0 0] I₁
• [-1 1 0 0] I₂
• [0 -1 1 0] I₃
• [0 0 -1 1] I₄
• [0 0 0 -1] I₅

AᵣI = 0

Matrice di taglio fondamentale:

• z₁: [I₁ I₂ I₃ -I₄]
• z₃: [-I₅ I₂ -I₃ I₄]

Q Iₘ = 0

Matrice di maglia fondamentale:

• [1 1 0 0] V₁
• [1 0 1 0] V₂
• [0 1 0 1] V₃
• [-1 0 0 1] V₄

B Vₘ = 0

• [-1 -1] V₁
• [-1 1] V₅

• z₁ [I₁ I₂ I₃ -I₄]
• z₃ [0 -1 -1 1]

Qᵃᵀ Vₐ = Vc

LKC con I albero

• I₁ = I₂ + I₃ - I₄
• I₅ = I₂ + I₃ - I₄

• [I₂ I₅] [1 -1 1] [I₂ I₃ I₄]

Iₐ = BCᵣIₜ

E₂

N = 4

L = 6

RC = 6

RC

L_KC = N - 1 = 3

A_L I = 0

V₂ = R₁ I₁

V₃ = R₂ I₂

V₅ = R₅ I₅

L_KK^-L(-1-1) = 6 - 3 = 3

V_N3 - V_N2 + V_N6 = 0

V₅ - V₆ - V₄ = 0

Matrice di incidenza

I₁ I₂ I₃ I₄ I₅ I₆

Matrice di taglio fondamentale

Z_ξ1 { R₁, R₂, R₃} → I₁ + i₂ - I₃ = 0

Q I* = 0

V₃ + V₄ + V₂ = 0

V₃ + V₆ - V₂ = 0

V₅ - V₆ - V₄ = 0

V_C = Q^-1 V_A

V₁ = [ 1 0 -1 ] V₂

L_KK con I soluzione

I₂ = I₃ - I₁

I₆ = I₅

I_C = [ I₃ I₄ I₆ ] [ -1 0 1 ]

LKC:

I₁ = m₁ - m₂

I₂ = m₂ - m₃

I₃ = m₁ - m₃

I₄ = m₂

I₅ = m₃

RC:

V₁ = R₁ m₁

V₂ = R₂ (m₁ - m₂)

V₃ = R₃ (m₂ - m₃)

V₄ = R₄ m₂

V₅ = R₅ m₃

LKT:

k₁: V₁ + V₄ - V₂ = 0

k₂: V₂ + V₃ - V₄ = 0

k₃: V₁ - V₅ = 0

A₂: R₂ m₁ - R₂ m₂ - R₃ m₂ - R₄ m₂ + R₄ m₃ = 0

A₃: R₄ m₂ - R₅ m₃ = 0

A₂: 6.3 - 4 m₂ - 4 m₂ - 7 m₂ + 7 m₃ = 0

A₃: 7 m₂ - 7 m₃ = 0

A₂: 15 m₂ = 12 + 7 m₃ → m₂ = 0.8 + 0.5 m₃

A₃: 5.6 + 3.5 m₃ - 7 m₃ = 0 → 5.6 - 10.5 m₃ = 0 → m₃ = 0.53

m₂ = 1.07

m₃ = 0.53

I₄ = 0.5 A

V₄ = R₄ I₄ = 3.6 V

Es. 1.12

E = 220 V R₁ = 10 Ω R₂ = 0,1 kΩ R₃ = 25 Ω R₄ = 2 kΩ

R_S = R₂ + R₃ = 2,5 kΩ R_S = 2500 / 125 = 20 Ω

Req = R₁ + R_S = 30 Ω

i_cc = E / Req → i_cc = 220 / 30 = 7,3 A

i = 100 / 125 = 5,84 A → i_cc = -i₂ = -5,84 A

Es. 1.13

J = 1 A R₁ = 10 Ω R₂ = 10 Ω R₃ = 15 Ω R₄ = 5 Ω R₅ = 30 Ω R₆ = 25 Ω

R₇ = R₃ + R₅ = 45 Ω R₈ = R₄ + R₆ = 30 Ω V_R8 = V₀

R₈ // R₇ = 18 Ω V_R9 = V₀

i₉ = J (R₁ / (R₁ + R₉)) = 10 / 28 = 0,357

V₀ = - (R₉ * i₉) = -6,426 V

Es. 1.14

E = 10 V R₁ = 10 Ω R₂ = 1 Ω R₃ = 100 Ω

P_R1 = ? P_R2 = ? P_R3 = ?

P_R3 = 0

P_R2 = E² / R₂ = 100 / 1 = 10 A

Es. 2.9

R₁ R₂

E₁

E₁ = 10 VE₂ = 20 V

R₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 Ω

i_c = ?

P_E1 = E₁ i_E1

i_E2 = -i_c = -^E₂/_Req = ^-20/_{R3+ (R1/R2)} = ^-10/₁₄ = -1,43 A

i₁ = i_E1 = i_E2•^R₂/_{R1+ R2} = 1,14 A

i"_E1 = ^E₁/_Req = ¹⁰/_R1+(R2||R3) = ¹⁰/_11,67 = 0,86 A

i"₁ = i_E1•^R₂/_R2+R3 = 0,533

i = i' + i" = 0,86 A

P_E1 = E₁•i_E1 = 10 (-1,144 + 0,86) = -2,86 W

Es 3.7 (Thevenin)

J₁ = 2 mA

J₂ = 1 mA

R₁ = R₂ = 2 kΩ

R₃ = R₅ = 10 kΩ

R₄ = 3 kΩ

P_R5 = ? = R₅ i_S²

R_eq = R₁ + R₄ + R₃ + R₂ = 17 kΩ

(I)

E'₀ = V_J2 = R_eq J₂ = -12 V

R_eq = R₂ + R₃ = 12 kΩ

(II)

E''₀ = V_J1 = R_eq J₁ = 10 V

R_eq = R₁ + R₄ = 5 kΩ

E₀ = E'₀ + E''₀ = -12 V + 10 V = -2 V

i_S = - i_E = 0.07 mA

i_E = ^E₀/_R = ^E₀/_{Req + R5} = -0.07

P_R5 = R₅ i_S² = 49 μW

Esercizio 5.7

(a) matrice _G a 2 capi di 2^-1 = 2^-1

G₁₁ = ^i₁/_V1 V₂ = 0 = ¹/_Rin

G₁₂ = ^i₁/_V2 V₁ = 0 = ^V₁/_Rin V₂ = 0

G₂₁ = ^i₂/_V1 V₂ = 0 = ^αV₁/_Rout

G₂₂ = ^i₂/_V2 V₁ = 0 = ^V₂/_Rout

(b) guadagno di tensione A_V = V_U / V_S

V_in = V_S ^R_in/_{Rin + RS} V_O = V_U ^R_U/_{Rout + RU}

(c) R_in e R_out per un A_V e massimo, R_in → ∞ R_out → 0

Esercizio 5.8 (Calcola i potenziali nei nodi A e B)

J = 3A R₁ = 4 Ω R₂ = 10 Ω

α = 4

V_A = -V_I → V_A - V_B = α V_I → V_B = (1+α) V_A

Uso potenziali nodali

^V_A/_R1 = J

^V_B/_R2 = 0

V_A = ^J/_{¹/R1 + ^(1+α)/R2} = 4V

V_B = (1+α) V_A = 20 V