Esercizi d’esame Fisica matematica

Esercitazione: ricapitolazione

Quesito 1. A un disco omogeneo di raggio R si pratica un foro di raggio R/2 tangente internamente il bordo del disco. La lamina così ottenuta ha massa M. Alla lamina viene poi saldato un elemento di massa C nel punto di tangenza. In figura è rappresentato il corpo assieme al riferimento {O', ξ_i'} a esso solidale.

Il riferimento fisso {O, ξ_i} ha asse 3 verticale ascendente. Il corpo si muove rispetto al riferimento fisso {O, ξ_i} mantenendo l’asse 3 solidale parallelo all’omologo asse 3 fisso e punto O' sull’asse 2 fisso. Posto OŌ′ = ξ₂' è indicata con φ l’anomalia individuata dagli assi 2 fisso e solidale, il moto è descritto dalle coordinate lagrangiane q e φ. La sollecitazione attiva agente sul corpo è costituita dal peso. I vincoli sono perfetti.

Determinare quanto segue:

1. coordinate del centro di massa relative al riferimento {O', ξ_i'};
2. matrice d’inerzia rispetto al riferimento {O, ξ_i};
3. matrice d’inerzia rispetto al riferimento {O', ξ_i}' ottenuto ruotando {O', ξ_i'} di π/3 in verso antiorario attorno a all’asse 1;
4. equazioni parametriche della base e della rulletta in termini delle funzioni q(t) e φ(t);
5. componenti del momento angolare G_G relative al riferimento solidale {G, ξ_i}' in termini delle coordinate lagrangiane;
6. energia cinetica in termini delle coordinate lagrangiane;
7. caratterizzazione della somma e del momento totale della sollecitazione vincolare;
8. (no Ing. Civile e Industriale, Latina) si usino le equazioni cardinali e la caratterizzazione del vincolo per determinare le equazioni pure del moto;

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9. (no Ing. Aerospaziale) si usino le equazioni di Lagrange per determinare le equazioni pure del moto;

10. somma e momento totale della sollecitazione vincolare.

Alcune risposte: 1. _G = (17/12)R_c². 2. I_O,11 = (125/24)MR², I_O,22 = (5/16)MR², I_O,33 = (235/48)MR². 4. c₁ = (−q_i) cos θ_y, c₂ = (q_j) sin φ_i, c₁ = (q) cos ϕ. 5. I_c = (127/144)MR²r_g². 6. T = (705/288)MR²φ² + Mγ² − (17/6)MRψ̇ sin φ. 7. T̅: = 0, M_G = (17/12)R^f cos θ_g. 8. 2Mϑ̅ − (17/6)MR(i̇ sin φ + i̇ϕ² cos φ) = 0 = (127/144)MR² + (289/72)MR²φ² − (289/72)MR²sin φ cos φ = 0.

Quesito 2. A una lamina quadrata omogenea di lato 4R si pratica un foro di raggio R tangente internamente uno dei lati dalla lamina nel suo punto medio. La lamina così ottenuta ha massa M. In figura è rappresentato il corpo assieme al riferimento {O,ȇ_₁}, è ad esso solidale.

Il riferimento fisso {O,ȇ__i} ha asse 2 verticale ascendente. Il corpo si muove rispetto al riferimento fisso {O,ȇ__i} mantenendo il centro di massa G sull'asse fisso 1 e il piano 2-3 del riferimento solidale {G,ξ_i} costantemente parallelo al piano 2-3 fisso. Posto OG̅ = g_i e indicata con φ l'anomalia individuata dagli assi 2 del riferimento del centro di massa e quello omologo del riferimento solidale {G,ξ_i}, il moto è descritto dalle coordinate lagrangiane θ e ϕ.

La sollecitazione attiva agente sul corpo è costituita dal peso e dalla forza elastica f̅ = −kOG̅, con k > 0, di centro O e applicata a G. I vincoli sono perfetti.

Determinare quanto segue:

1. coordinate del centro di massa relative al riferimento {O,ȇ__i};
2. matrice d'inerzia rispetto al riferimento {O,ȇ__i};
3. matrice d'inerzia rispetto al riferimento {O̅,ȇ_i} ottenuto ruotando {O,ȇ__i} di π/3 in verso antiorario attorno all'asse 1;

esercitazione.tex – 17 Dicembre 2020

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La sollecitazione attiva agente sul corpo è costituita dal peso e dalla forza elastica agente sul vertice B del cono di costante k > 0 e centro C tale che OC̅̅̅ = h e_z. I vincoli sono perfetti.

Determinare quanto segue:

1. coordinate del centro di massa relative al riferimento solidale {O, e_xi};
2. matrice d’inerzia rispetto al riferimento solidale {O, e_xi};
3. caratterizzazione della somma e del momento totale della sollecitazione vincolare;
4. componenti del momento angolare relative al riferimento solidale {O, e_xi} in termini delle coordinate lagrangiane;
5. energia cinetica in termini delle coordinate lagrangiane;
6. (no Ing. Civile e Industriale, Latina) si usi la seconda equazione cardinale e la caratterizzazione del vincolo per determinare le equazioni pure del moto;
7. (no Ing. Aerospaziale) si usino le equazioni di Lagrange per determinare le equazioni pure del moto;
8. somma e momento totale della sollecitazione vincolare.

Alcune risposte: 1. OG̅ = (1/8)L e_z⁴+(1/2)Re_z²; 2. T_0,x, = (23/20)mR²+(1/10)m h², I_0,zz = (3/20)mR² + (1/10)m h², I_0,xx = (13/10)M R². 4. M_0,x = 0, N_0,x1 cos ϑ - N_0,z sin ϑ = 0. 5. L₀ = [(23/20)mR² + (1/10)n m h²]cos e_z² - [(3/20)mR² + (1/10)m h²]sin ϑ e_z + [(13/10)M R²] e_z.

esercitazione.tex – 17 Dicembre 2020

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Quesito 2

Coordinate del centro di massa relative al riferimento {O',e₁',e₂'}

σ= M / 16R²-πR²

m_P = σ16R² = M / 16R² = 16 M / 16-π

m_F = σπR² = M / 16R² πR² = πM / 16-π

z̄ = ( -π / 16-π ) e₂'

m_t z̄ = [16M / 16-π] [-π / 16-π] e₂' = [32 - πM / 16-π] e₂'

Matrice d'inerzia rispetto al riferimento {O',e₁',e₂'}

I'_0',12 = I'_0',13 = I'_0',23 = 0 perché il riferimento è principale d'inerzia

I'_0',22 = 1/4 m^P(L1)² = 16/64 M 16R² = 256 MR² / 192 - 12π

I'_0',22 = 1/4 m^F(L2)² = 1/4 π M R² = π/64 M R²

I'_0',22 = I_0',22 + I_0',22 = 256 - 3π / 192 - 12π M R²

I'_0',33 = 1/2 m^P(L2)² + M^F(L2)² = 256/192 M + 64MR² = 102 4 MR² / 192 - 12π

I'_0',33 = 1/4 m^F(R²) + π(M^F)(R²) = 5πM R² / 64-4π

I'Q = 1024 -75π / 192-12π MR²

I'_0',11 = I'_0',22 +I'_0',33 = 640-9π / 96-6π MR²

I'₀ =

• (640-9π / 96-6π MR²)
• (256-3π / 192-12π MR²)
• (1024-15π / 192-12π MR²)

∇V(c) = 0 => { -ψ̇ c₁ sin φ - φ̇ c₂ cos φ = 0 -u̇L c₁ ψ̇ ψ̇ + φ̇ c₂ sin φ - φ̇ c₂ sin φ + ψ̇ c₂ sin φ φ̇ - φ̇ c₂ sin φ ψ̇ = 0

{ c₁ = +4 L cos φ c₂ = -4 L cos φ sin φ

x = oᵀ + Γ¹ x˙

c = {(-uL sin φ) (-φ c₁ cos φ) uL sin φ (0) (0) (-uL cos φ)

(0) (uL cos φ) = uL sin φ (-uL cos φ)

c = L cos φ c = - L sin (^1⁄2)ψ

5) CARATTERIZZAZIONE DELLO SOMMA E DEL MOMENTO TOTALE DELLA SOLLECIZIONE VINCOLORE

O = ∫ dl = ∻ ˙ψ(-uL sin φ) - φ c₁ cos φ uL sin φ (0) (0) (ufiL cos φ = c²) - (5/8)uL(5/8)sin φ (uL) e² cos φ = e uL e² (5/8)sin φ

= {uL⁻ e⁻ε (∁) ΨΣ }{(φ̇²c₁u² - ψ̇c₂ sinφ(sp) + 1/3 ψ̇ c₂ ψ̇ cos φ - 3/8 ψ̇ c₍p = 5/8}

= [uL² φ (sin φ - ψ̇(c₁φ sin φ)) ∻ ψ̇(5/5ψ̇ sin φ) φ u - 3/8 ψ̇ c₂ sin φ

6) ENERGIA CINETICA

T₁ = 1/2 M∥∇∧∇L^2 + T within cm

\| ∇∧∠ \| = 8 1/3 1/2 ψ̇³ mψ̇ φ̇² - φ̇ cmπ) + 12 1/8 1/2 ψ̇² cos n² φ ψ̇ μ = 5/5 120 1/5 φ̇² 127 c e ∙͡ ) set φ̇'s ≑ 0 matrix -))/ = 150/25 πψ̇ ψ _cm ψ̇ u₂ψ̇ + 141/8 = 25 ψ̇

(8/3). (1 cm os³ +

\| ∇∧∠ \| = 5 1/3 3 L ∠ m φ̇² m ∙̡ L\{ φ˙c₂ (ψ̇) =

^T_c = M (ψ̇²) ψ 1.6 M −u˙c₂ (cfl²) ψ - ∙c(3 0 m²) e−)₂ ε = 19/8 2 − 57

T = 25 m - 71(8ψ)

bσᵧ = 5/8 ψ̇²mψ̇ + yφ̇ ψ̇ + 6mψ = ψ = ψ̄ 16L ψ̇ cos φ ∈²

8) SI USANO LE EQUAZIONI CARDINARI E LA CARATTERIZZAZIONE DEL VINCOLO PER DETERMINARE LE EQUAZIONI PURE DEL MOTO

PRIMA EQUAZIONE CARDINIALE

M ∡ᵧψ̇ = - μP e² ψ̇

M. Ŵ cos φ̇

= {σ uL φ̇ - e‹ˉˉeˉ Pixabay ψ̇ - φ̇c e console (c₁ φ ette ūψ̇ cfi) ψ− ≤ 1/³

(−3/8)ψ fθ smψ-mΩ2ψ̇φ + sin(ψ dθˉ) - φμ̇ e co ≠

momentum su̇ψ

= 3/8ψK/cd/m(φ²c₁/h√j)l¹φ̇² − φφ dυ + f v²

- (5/2)ψ̇ - 3K(ψ̇) u