Esercizi di teoria di Fisica matematica

RIDUZIONE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................

È

............................... ..........................................................

n or

.........................................................................................

Domanda 2 Enunciare e dimostrare la formula per il calcolo della potenza di un sistema

di forze applicate a un corpo rigido, spiegando il significato di ogni simbolo utilizzato.

w p a c

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

Domanda 3 Un filo ideale di massa trascurabile e lunghezza è appoggiato su

P Q (1 + ω)R

un profilo semicircolare scabro con diametro orizzontale e con coe!ciente di attrito

AB = 2R

statico nell’estremo coincidente con viene applicata una forza verticale ,

↑f

µ = 1/ω; P B f = e y

nell’estremo viene applicato un contrappeso di massa Determinare la forza

massima

Q 2m. f

necessaria per garantire l’equilibrio (vd Fig. 3). F

e 1 2

f = mg. f = mg. f = mg. f = 2e mg.

2 2e e

117

N 2msec 2mg

! !

2mg

fey 2mF

! !

+1/2/59+

Domanda 4 Siano e due punti distinti di un corpo rigido e siano e , rispetti-

B,

P Q v v

P Q

vamente, le velocità dei due punti, ad un dato istante; quale fra le seguenti a"ermazioni per un

generico atto di moto del corpo è corretta?

sempre

Se l’atto di moto è traslatorio allora sicuramente .

v = v

P Q

Se allora l’atto di moto è sicuramente nullo (il corpo è in istantanea quiete).

v = v = 0

P Q

Se allora l’atto di moto è sicuramente traslatorio.

↔

v = v = 0

P Q

Se l’invariante scalare cinematico è nullo, l’atto di moto è traslatorio.

Domanda 5 Sia il tensore ortogonale che mappa una terna fissa nella

↓ B {e }

Q(t) = , e , e

0 x y z

terna mobile In base alle formule di Poisson, detto il vettore velocità

B {e

= (t), e (t), e (t)}. ω

t 1 2 3

angolare della terna mobile rispetto a quella fissa:

B t è sempre ortogonale a

↗

ė = e ω. ė ω.

3 3 3

8

è sempre ortogonale a è sempre ortogonale a

ω(t) e (t). ė (t) e (t).

3 2 2

Domanda 6 In un piano verticale, un filo omogeneo con peso per unità di lunghezza

AB

↘ ↘

costante è mantenuto teso grazie a una forza applicata in e una

p/(R 3) f = 2p(↑ 3e + e ) A

x y

A

forza applicata in inclinata di un angolo rispetto a (vd. Figura) con orizzontale

f B, ω/3 e e

x x

B Bettey

ed verticale verso l’alto. Determinare la lunghezza del filo.

e 2PC

y fa

↘ ↘

8R. 8 3R. 4 3R. 4R. EEE.BE

Domanda 7 Un sistema è composto da tre corpi rigidi estesi, che si muovono nello spazio,

ciascuno avente due punti distinti fissi. Sulla superficie di ogni corpo è vincolato a muoversi un

corpo puntiforme (ossia di dimensioni trascurabili). I gradi di libertà complessivi del sistema

n

E

sono: y

n = 6. n = 12. n = 3. n = 9.

Domanda 8 Si consideri il seguente sistema di vettori applicati:

 applicato in ↑ ≃

v = 2e + 2e + e P O (0, 1, 2),

 1 x y z 1

applicato in

↑e ↑ ≃ ↑1),

v = + 3e + e P O (1, 0,

2 x y z 2

 applicato in

↑ ↑ ≃

v = 2e + e 3e P O (1, 1, 1).

3 x y z 3

Calcolare , trinomio invariante del sistema

I ↑42. ↑36.

= 42. = 36. = =

I I I I

! !

Catalogo

Simulazione del 28 pratile CCXXX

Fisica Matematica Annerire le caselle per comporre il proprio numero

→↑

0 0 0 0 0 0 di matricola. Durata: 45 minuti. Vietato l’uso di appun-

1 1 1 1 1 1 ti, libri, strumenti elettronici di calcolo e/o comunicazione

(cell, smartphone, . . . ). Le domande con il segno posso-

2 2 2 2 2 2 ↓

no avere una o più risposte corrette. Risposte gravemente

3 3 3 3 3 3 errate possono ottenere punteggi negativi.

4 4 4 4 4 4 Cognome e Nome:

5 5 5 5 5 5 ........................................................

6 6 6 6 6 6

7 7 7 7 7 7 ........................................................

8 8 8 8 8 8

9 9 9 9 9 9

Domanda [teoriadefC] Enunciare il teorema di riduzione dei sistemi di vettori applicati nel

nullo.

caso in cui l’invariante scalare sia w p a c

I

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

Domanda [teoriadimG] Enunciare e dimostrare la formula per il calcolo della potenza di un

sistema di forze applicate a un corpo rigido, spiegando il significato di ogni simbolo utilizzato.

w p a c

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

Domanda [trirandfixA] Si consideri il seguente sistema di vettori applicati:

 applicato in ↑ ↔

v = 2e + 2e + e P O (0, 1, 2),

 1 x y z 1

applicato in

↑e ↑ ↔ ↑1),

v = + 3e + e P O (1, 0,

2 x y z 2

 applicato in

↑ ↑ ↔

v = 2e + e 3e P O (1, 1, 1).

3 x y z 3

Calcolare , trinomio invariante del sistema

I ↑36. ↑42.

= 36. = = 42. =

I I I I

Catalogo

Domanda [poissonmultB] Sia il tensore ortogonale che mappa una terna fissa

↓ B

Q(t) =

0

nella terna mobile In base alle formule di Poisson, detto

{e } B {e

, e , e = (t), e (t), e (t)}. ω

x y z t 1 2 3

il vettore velocità angolare della terna mobile rispetto a quella fissa:

B t

è sempre ortogonale a ↗

ė (t) e (t). ė = e ω.

2 2 3 3

è sempre ortogonale a è sempre ortogonale a

ė ω. ω(t) e (t).

3 3

Domanda [admrigidA] Siano e due punti distinti di un corpo rigido e siano e ,

B,

P Q v v

P Q

rispettivamente, le velocità dei due punti, ad un dato istante; quale fra le seguenti a!ermazioni per

un generico atto di moto del corpo è corretta?

sempre

Se allora l’atto di moto è sicuramente traslatorio.

↘

v = v = 0

P Q

Se l’atto di moto è traslatorio allora sicuramente .

v = v

P Q

Se l’invariante scalare cinematico è nullo, l’atto di moto è traslatorio.

Se allora l’atto di moto è sicuramente nullo (il corpo è in istantanea quiete).

v = v = 0

P Q

Domanda [gdlA] Un sistema è composto da tre corpi rigidi estesi, che si muovono nello spazio,

ciascuno avente due punti distinti fissi. Sulla superficie di ogni corpo è vincolato a muoversi un

corpo puntiforme (ossia di dimensioni trascurabili). I gradi di libertà complessivi del sistema

n

sono: n = 12. n = 3. n = 6. n = 9.

Domanda [threadmubC] Un filo ideale di massa trascurabile e lunghezza è

P Q (1 + ω)R

appoggiato su un profilo semicircolare scabro con diametro orizzontale e con coe"ciente

AB = 2R

di attrito statico nell’estremo coincidente con viene applicata una forza verticale

µ = 1/ω; P B

, nell’estremo viene applicato un contrappeso di massa Determinare la massima

↑f

f = e Q 2m.

y

forza necessaria per garantire l’equilibrio (vd Fig. 3).

f 2 e 1

f = mg. f = mg. f = mg. f = 2e mg.

e 2 2e

Domanda [lcatenariaC] In un piano verticale, un filo omogeneo con peso per unità di

AB

≃ ≃

lunghezza costante è mantenuto teso grazie a una forza applicata

p/(R 3) f = 2p(↑ 3e + e )

x y

A

in e una forza applicata in inclinata di un angolo rispetto a (vd. Figura) con

A f B, ω/3 e e

x x

B

orizzontale ed verticale verso l’alto. Determinare la lunghezza del filo.

e y ≃ ≃

8R. 4R. 8 3R. 4 3R.

Correzione

Simulazione del 26 pratile CCXXXI RF

Fisica Matematica Annerire le caselle per comporre il proprio numero

→↑

0 0 0 0 0 0 di matricola. Durata: 60 minuti. Vietato l’uso di appun-

1 1 1 1 1 1 ti, libri, strumenti elettronici di calcolo e/o comunicazione

(cell, smartphone, . . . ). Le domande con il segno posso-

2 2 2 2 2 2 ↓

no avere una o più risposte corrette. Risposte gravemente

3 3 3 3 3 3 errate possono ottenere punteggi negativi.

4 4 4 4 4 4 Cognome e Nome:

5 5 5 5 5 5 ........................................................

6 6 6 6 6 6

7 7 7 7 7 7 ........................................................

8 8 8 8 8 8

9 9 9 9 9 9

Domanda 1 Enunciare il teorema di riduzione dei sistemi di vettori applicati nel caso in cui

nullo.

l’invariante scalare sia w p a c

I

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

R2extaestea

Domanda 2 Si consideri il seguente sistema di vettori applicati: ITTIHETTI

 applicato in

↑ ↑ ↔

v = e + 3e e P O (1, 1, 0),

 1 x y z 1

applicato in

↑ ↑ ↔ ↑1),

v = 2e 2e + e P O (0, 1, NITTI

2 x y z 2

 applicato in

↑e ↑ ↔

v = + e + e P O (1, 2, 2).

3 x y z 3

Calcolare il valore del trinomio invariante .

I

↑9. ↑5.

= = 9. = = 1.

I I I I

Domanda