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Sviluppo in serie di soli seni
k=1 bk sen kπx/L dove bk = 2/L ∫0L f(x) sen kπx/L dx
Sviluppo in serie di soli coseni
k=1 ak cos kπx/L dove ak = 2/L ∫0L f(x) cos kπx/L dx
Esempio 1
Sviluppare in serie di Fourier ai soli seni la funzione, esaminarne la convergenza e fare il grafico
f(x) = { x per 0 ≤ x < π/4
π/2 - x per π/4 ≤ x < 3π/2
0 per 3π/2 ≤ x < π
La funzione è discontinua e quindi la convergenza non sarà totale:
bk = 2/π ∫0π f(x) sen kx dx = 2/π ∫0π/4 x sen kx dx + 2/π ∫π/43π/2 (π/2 - x) sen kx dx =
= [ - x cos kx/k + sen kx/k2 ]0π/4 - 2/π [ - x cos kx/k + sen kx/k2 + π/k cos kx ]π/43π/2 =
= - cos kπ/2k + 2/k2π2 - 2 sen 3kπ/k2π2 - cos 3kπ/2k
Quindi:
k=1 [ - cos kπ/2k + 2 sen kπ/k2π2 - 2 sen 3kπ/k2π2 - cos 3kπ/2k ] sen kx = {
f(x) 0 ≤ x < π/4, π/2 - x, x= π/4
π/2 x = 3π/2
Esempio 2
Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier di soli seni della funzione:
f(x) =
- 0 per 0 ≤ x ≤ π/2
- cos x per π/2 < x ≤ π
- 0 per π < x ≤ 3π/2
- cos x per 3π/2 < x ≤ 2π
La funzione è continua in [0, 2π] quindi la convergenza dello sviluppo
bk = 2/π ∫02π f(x) sen kx/L dx =
1/π ∫0π (cos(x) sen (k(x))...) =
∫0π/2 + ∫π3π/2 =
quindi Σ
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