Esercizi d'esame di Meccanica delle terre

ESERCIZI - Meccanica delle Terre

• Calcolare lo stato tensionale efficace a z = 15 m (verticale e orizzontale), diagrammarlo sul piano degli invarianti e diagrammare andamento u e h.

⌠(m) _{u = 0 γ1 = 20 kN/m³}

Sabbia

⌠(m) _z1

Limo argilloso

┏━━↑ _z ↑━━┓

_{u = 200 kPa}

┗━━→ _j →━━━┛

ψ' = 24°; OCR = 1.5

i = ^Δh/_L = ⁵/₁₁ = 0,45

Sul fondo è presente la condizione al contorno u = 200 kPa, che influenzerà il valore della pressione alla profondità che mi interessa.

Con le considerazioni di equilibrio trovo la tens. vert. tot

1. σ_v(z = 15 m) = γ₁z₁ + γ₂(z - z₁) = 20 * 7 + 18 * (15 - 7) = 284 kPa

∴ cambio strato arrivo u (z = 7 m) = γ_w (7 - 3) = 40 kPa

per cui facendo una proporzione:

u (z=15 m) = u (z = 7 m) + ^{200 - U (z = 7 m)}/_{18 - 7 m} (15 - 7) m = 156,4 kPa

da cui la tensione eff. verticale: σ'v (z = 15 m) = 284 - 156,4 = 128 kPa

Trovo il coeff. di spinta a riposo

ko = (1 - sinφ) OCR^sinφ = 0,69 ≈ 0,7

da cui σ'h = ko σ'v = 0,7 · 128 = 89,6 kPa

Poiché σ'v = σ'1 e σ'h = σ'3

p' = σ'1 + 2σ'3 = 102,4 kPa

............3.......................

q = 0,5 · σ'h = 38,4 kPa

Per diagrammare le quote piezometriche, sia z = 0 a z = 18 m:

hz (z = 7 m) = 3 + u/δwr = 11 + 40/10 = 15 m (con i nella sabbia)

hz (z = 18 m) = 0 + 200/δwr = 20 m

Avendo un carico maggiore sul fondo, il moto di filtrazione è

diretto verso l'alto

(grafici u e hz assento alla traccia)

• Calcolare il [cedimento del terreno] per t = 18 mesi

p = 80 kPa

E_ed = 25 MPa

K = 2 · 10^-10 m/s

H = 15 m

w(t)

w_f

w

imperm.

Ho un problema di consolidazione standard nel caso di mezzo elastico, per cui ε_z = Δσ_z/E_ed

Dalla teoria, ho che il rapporto tra cedimento corrente e quello finale è pari al grado di consolidazione medio:

w(t) / w_f = U(t)

il cedimento finale è:

w_f = (u₀·H) / E_ed = (80·15) / 25000 = 0,048 m

Cr = (K·E_ed) / γ_w = (2·10^-10 · 25000 / 10 = 5 · 10^-7 m²/s (grado cons. primaria))

t (18 mesi) = 18 mesi · 30 gg · 24 h · 3600 s = 46656000 s

Il fattore tempo è T = (Cr·t) / H² = (5·10^-7·t) / 15² = 0,103 ≈ 0,1

Dal grafico U–T, trovo che a T calcolato corrisponde un U = 35% = 0,35

e quindi w (t = 18 mesi) = w_f · U(t = 18 mesi) = 0,048 m · 0,35 = 0,0168 m

Calcolare il valore S della spinta che produce il collasso

Line deduco che siamo in condizioni limite passive

_u = 0

γ = 20 KN/m³

c' = 0

ψ' = 34°

Nella condizione limite passive uso la formula di Rankine per la tensione effettiva principale massima

e' = 0

δ p = Ze1 + _γ p + δ'_γ K_p dove K_p = ^{1 + senψ'}/_{1 - senψ'} = 3,537

Svolgo i calcoli in tabella (ho un solo strato)

Le spinte sulle parete sono dovute all'azione delle tens. totali, per cui le disegniamo in funzione della profondità

• Calcolare la [massima forza Sp] applicabile alla parete

γ = 20 kN/m³

Kp = 4.5

Dalla richiesta capisco che sono in condizioni limite passive (sping a contrario attivo)

c'=0

per cui con Rankine: σ'_p = 2c' √Kp + σ'_v ∙ Kp

Svolgo i calcoli in tabella:

Diagrammo le tensioni totali in condizioni passive essendo le spinte dovute a quest'ultime

• Calcolare la velocità di filtrazione nel secondo strato (limo argilloso)

u = 0

K_s = 10^-5 m/s

Sabbie

Limo arg.

K_La = 10^-3 m/s

B 150 kPa

Calcolo la velocità di filtraz. con la legge di Darcy:

v = -Ki = -K_La Δh_AB/L_AB

dove L = AB = 3,5 m

devo trovare la differenza di carico tra i punti A e B

Trovo le pressioni interstiziali:

u (z = 5 m) = γ_w (z-dw) = 10 (5-1,5) = 35 kPa

u (z = 14,5 m) = 150 kPa (dato)

per cui h (3 = 3,5 m) = 3,5 m + 35/10 = 13 m (con mille sabb.)

h_B - h_A = 2 m

quindi v = -10^-3 * 2 m/3,5 m = -2,1 * 10^-10 m/s

il vettore velocità di filtrazione è diretto verso il basso

Calcolare il carico limite Q_lim

γ = 20 kN/m³ (sabbia)

c' = 0; φ' = 33°

La pianta è assimilata a una striscia indefinita (NO coeff. di forma), per cui la formula trinomia è:

q_lim = q'_lim = N_q δ'_VB + N_c c' + N_γ γ B / 2

Mi trovo nel caso in cui d_w < B: le w influenzano l'operato

γ = γ d_w + (γ - γ_w) (B - d_w) / B = 14,28 kN/m³

δ'_VB = γ D_f = 20 * 1,5 = 30 kPa = δ'_VB

Calcolo i coefficienti di carico limite: (N_c superfluo)

N_q = k_p e^{π tan φ'} = (1 + tan(33)) / (1 - tan(33))^{π tan(33)} = 26,1

N_γ = 2(N_q + 1) tan φ' = 35,2

q_lim = q'_lim = 26,1 * 30 + 35,2 * 14,28 * 3,5 / 2 = 1663 kPa

da cui Q_lim = q_lim * B = 1663 * 3,5 = 5820,5 kN/m

Calcolare la pressione interstiziale U a quota z = 20 m

p = 150 kPa

C_v = 5 • 10^-6 m²/s

t = 12 mesi

Sono nel caso di problema di consolidaz. con contorno permeabile sul fondo

Assumo un contorno filtrato imp. per cui H_f = 15 m e z_p = 10 m

U (z = 20 m) = U_st + ū (z = 20 m)

dove U_st = γ_w (z - dw)^o = 10 • 20 = 200 kPa

Conoscendo C_v e sia t = 12 mesi = 31 536 000 s = 3,1 • 10⁷ s, posso calcolare il fattore T = _{Cv t}/^H_f2 = 0,6912 ≈ 0,7

e sia Z = z_p/H_f = 10 m/15 m = 0,67

Dalla soluz. dell'eq. me trovato U (Z,T) = 0.8

Poi è definito come U (z,t) = U₀ - ū (z,t)/U₀

me trovato ū (z,t) = ū (20 m, 3,1 • 10⁷ s) = ū₀ (1 - U)

= 150 (1 - 0,8) = 30 kPa

e quindi U (z = 20 m) = 200 + 30 = 230 kPa