Esercizi con svolgimento di Meccanica delle vibrazioni con testi

15/12/2022

T = ₁/₂ k_{eq2 1}/₆ b₂ + ₁/₆ k_eq3 c₂ + ₁/₆ k_eq4 b₃ + ₁/₆ k_eq5 c₃ + ₁/₆ k_eq6 + ₁/₆ k_eq7 = ...

k_eq = ₁₅₇/₁₂₀ k

T = ₁/₂ I_α ω_α² + ₁/₂ I_c ω_c²

U = ...

L_ϕ = d/dt (∂L/∂ϕ̇) - ∂L/∂ϕ ... = 0

L_θ = d/dt (∂L/∂θ̇) - ∂L/∂θ ... = 0

L_ψ = d/dt (∂L/∂ψ̇) - ∂L/∂ψ ... = 0

L_x = d/dt (∂L/∂ẋ) - ∂L/∂x = M_c ẋ + 2kx + 2k b_c φ = 0

[M] = [_Id 0 0 0 0] [₅₃₃/_5k rd² 4krd_b 0]

T = 1/2 m v_C² + 1/2 J₁ w₁² + 1/2 J₂ w²

T = 1/2 (ma + M₂) c² + 1/2 2

U = -1/2 k (084-x)² + 1/2 k * 084² + 1/2 k (084 + 2Rpθ)² - 1/2 k(Rpθ + y₃)² - 1/2 ky₂²

U = - 1/2 k (084² + 20084) + 1/2 k 084² + 1/2 k (084² + 4Rpθ084* + 4Rp² in²) - 1/2 k(Rpθ² + y₃² + 2Rpθy₃) - 1/2 ky₂²

F₂ = Id dx/dt + kx - 1k08x - 1kθRpθ - 1ky₃ - 2kxy₂

c₁ = d/dt (J₁ dx/dt) -> mx + kx + k08y₃ + kθ

c₃ = d/dt (J₂ dy/dt) -> M (y₃ + 2kR08θ + kRθ)² + 2kRθy₃ + kRy

c_B = d/dt (m dx/dt) -> mx + kR y + ky

MU = [ I_o 0 0 0 ]

[ 1084 + 2k0868 k08 2kR08 k ]

kk = [ 00 2k 0 ]

[ 2kR08 0 0 6kR² 0 ]

[ 0 0 ]

T = T_A + T_B + T_C + T_D

U = ...

L = T - U = ...

d/dt (∂L/∂ψ̇) - ∂L/∂ψ = 0

d/dt (∂L/∂ϕ̇) - ∂L/∂ϕ = 0

d/dt (∂L/∂θ̇) - ∂L/∂θ = 0

M = | I_θ 0 0 0 | | 0 I_ψ 0 0 | | 0 0 I_ϕ 0 | | 0 0 0 I_ρ |

| sk² 2kt2ϑ 0 0 | | 2ktϑ kϑ1kϑ kϕ1kϕ 0 | | 0 kϕ1kϕ1 4kOB 0 | | 0 0 3kOCt 10kt² |

13/12/2023

M_z + H_Am = 12 kgk = 60 N/ma = 20 cmAO = OC = OBOE = 20DF = 36/12DE = 9

I_xx = \(\frac{1}{12}\) M B² + M (AD)²; 4 mA²I_da = \(\frac{1}{12}\) M DE² + M/5 (2a)²; 13 mA²

T = \(\frac{1}{2}\) k (3θ B² + 3y² - 2y B) = keq \(\frac{y}{2}\) k

U = \(\frac{1}{2}\) m [ẋ² k + ẏ² - 2x ̇y ̇] + \(\frac{1}{2}\) k (x + ObF)² = \(\frac{1}{2}\) k 0bF y²

\(\frac{\delta}{\delta t}\) \(\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}}\) - \(\frac{\partial L}{\partial θ}\) = 0 → Ia θ ̈ + k 0² B + 3 k θ ̇ B ̇ + k θ B_̇ x + k θ BQ = 0

\(\frac{\delta}{\delta t}\) \(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\) - \(\frac{\partial L}{\partial x}\) = 0 → 2.2 θ ̈ + kx + δx + k 0ẏ y = 0

\(\frac{\delta}{\delta t}\) \(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\) - \(\frac{\partial L}{\partial y}\) = 0 → Idy ̈ + ka 0β̇ + kcx + kθ0y

\(\mathbb{AM} = \begin{bmatrix} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & I_{da} \end{bmatrix} a\)\(k x = \begin{bmatrix} 3/6｛x＜d＞3kUθB^{2} - kɑB & 0 \\ 2k \\ 0 \end{bmatrix}\)

Meccanica delle vibrazioni A.A.2014-2015

PROVA AL CALCOLATORE 25-05-2015

Si consideri il sistema rappresentato in figura in cui i punti fissi O₁, O₂ e O₃ rappresentano punti fissi centro di rotazione dei relativi corpi; si consideri inoltre rotolamento in assenza di strisciamento delle funi sui dischi. Tutti i dischi e la massa che trasla hanno stessa massa m_d mentre l’asta AC ha massa pari a 3/4^* m_d e l'asta O₃D ha massa pari 2/3^* m_d.

• O₂C=a
• O₃B=3a
• O₁B=2a
• A_C=4a
• M_AC=3m
• m_Ag=2m_d
• R_AG_GI_O D_IS_CH_I = a

Date le seguenti grandezze:

• k=1.5 N/cm
• a=20 cm
• m_d=3 kg

1. Si valutino i gradi di libertà e si calcolino le frequenze naturali ed i modi di vibrare ortonormalizzati.
2. Si calcoli lo spostamento verticale della massa a seguito dell’applicazione di una forzante F di modulo pari a 50 N che agisce in direzione verticale sull’estremità A dell’asta con una frequenza 6 Hz.
3. Si esegua il plot del grafico che rappresenta lo spostamento di cui al punto precedente con una frequenza di forzante che varia da 0 a 8 Hz.

Si assumano valori accettabili per tutte le grandezze necessarie non specificate dal testo.

[ISTRUZIONI GENERALI]

1. Inzialmente è necessario creare la cartella che ha come nome le proprie iniziali seguite dalla matricola es: Francesco Casolini matr. 077407
2. Aprire matlab e dal menu file scegliere: “set path” e tramite “browse” puntare alla cartella creata per farla diventare corrente.
3. Aprire l’editor di file .m per scrivere il programma ed iniziarlo con il commento (preceduto da %) “Prova di Meccanica delle vibrazioni del GG/MM/AAAA Nome e Cognome matricola“. Il file deve avere un nome breve (anche uguale al file nome della cartella).
4. Sviluppare il programma man mano per esercizio con CONTROLLO SANDA LA CORRETTA RESTRIZIONE PRIMA DELLA CONSEGNA
5. Prima di abbandonare il terminale fare una stampa del listato sulla stampante virtuale “Microsoft XPS Document Writer“.