Meccanica II - esercizi

Esercizi di meccanica II

Beatrice Meucci

Esercizi di meccanica II

Beatrice Meucci

Esercizi del corso di Meccanica II, tenuto dal professor Enrico Ciulli presso l’Università di Pisa, facoltà di Ingegneria Biomedica. Nei seguenti appunti sono riportati sia esercizi svolti a lezione sia esercizi tratti dai testi d’esame, tutti spiegati e risolti nel dettaglio.

Il testo di riferimento del corso è “Elementi di Meccanica”, del professor Enrico Ciulli (Edizioni “PLUS - Pisa University Press”).

Argomenti trattati

Gli argomenti trattati sono i seguenti:

• Vibrazioni: equazioni di D’Alembert; urti elastici e completamente anelastici; isolamento delle vibrazioni; limitazione della forza trasmessa ad una struttura; condizione di risonanza.
• Oscillazioni libere e forzate di un sistema a 2 gradi di libertà: sistemi di masse e molle collegate insieme; equazioni differenziali che descrivono il moto dei vari corpi; corpi che oscillano sotto l’azione di una forza; corpi che oscillano liberamente.
• Dinamica: manovellismo di spinta; equazioni fondamentali della dinamica delle macchine; momenti d’inerzia; equazioni di bilancio energetico; applicazione delle equazioni di equilibrio di D’Alembert al manovellismo di spinta; principio di sovrapposizione degli effetti; sistemi di masse e molle collegate tra loro; analisi delle condizioni di equilibrio di un sistema di corpi, e di ogni singolo corpo; rendimento di una macchina; rendimento di una macchina nel moto retrogrado.
• Lubrificazione: equazioni di equilibrio; equazione di Reynolds; lubrificazione idrodinamica (varie formule); moto di Poiseuille; lubrificazione idrostatica; formula di Barus; lubrificazione elastoidrodinamica; cuscinetti idrostatici (di spinta e portanti).
• Trasmissioni meccaniche: ruote dentate; rapporto di trasmissione; ruote dentate cilindriche a denti diritti; angolo di pressione; passo e modulo; contatto tra denti; condizioni di non interferenza; rendimento istantaneo e rendimento medio; ruote elicoidali e ruote coniche.
• Rotismi: rotismi ordinari; rotismi epicicloidali; formula di Willis; meccanismo centrato (punteria, piattello, camma); giunti (giunto di Cardano); trasmissione del moto con organi flessibili (puleggia condotta e puleggia motrice); pretensionamento; momento motore e momento resistente.
• Freni: freni a nastro ordinari; freni a nastro differenziali; momento frenante; carrucola ad asse fisso e ad asse mobile con attrito nella coppia rotoidale; rendimento di una macchina in assenza e in presenza di attrito.

Esercizio dal compito del 21/06/2006 sulle vibrazioni

1) Si abbiano due masse m₁ e m₂ uguali, collegate al telaio con una molla (3k) e tra loro con un’altra molla (2k); siano libere di oscillare in un piano orizzontale senza attrito.

• 1) Si scrivano le equazioni di D’Alembert di equilibrio per il sistema.
• 2) Si ricavino le espressioni delle pulsazioni naturali del sistema.
• 3) Si ricavino le espressioni della legge del moto delle due masse.
• 4) Si ricavino le espressioni della legge del moto delle due masse nel caso specifico in cui agli istanti iniziali la massa centrale sia spostata verso dx di una quantità A, la massa esterna sia spostata verso dx di una quantità 2A, e siano entrambe le masse ferme.
• 5) Si spieghi cosa sono i modi principali di oscillazione del sistema e cosa comporta la condizione di ortogonalità dei modi stessi.

m₁ = m₂ = m

Equazioni di D’Alembert di equilibrio

1) Posizione di assi di riferimento x₁ e x₂ con origine nelle posizioni di equilibrio a riposo delle masse m₁ e m₂ (m₁ = m₂ = m).

Scrivo le equazioni di equilibrio:

Massa m₁

-m x₁'' - 3k x₁ - 2k(x₁ - x₂) = 0

Massa m₂

-m x₂'' - 2k(x₂ - x₁) = 0

Cioè:

m x₁'' + 3k x₁ + 2k(x₁ - x₂) = 0

m x₂'' + 2k(x₂ - x₁) = 0

Pulsazioni naturali del sistema

2) Rispettando le espressioni delle condizioni imposte del sistema

m x₁'' + 3k x₁ + 2k(x₁ - x₂) = 0

m x₂'' + 2k(x₂ - x₁) = 0

m x₁'' + 5k x₁ - 2k x₂ = 0

m x₂'' + 2k x₂ - 2k x₁ = 0

Obiettivo il sistema:

m₁ x₁ + 5k x₁ - 2k x₂ = 0

m₂ x₂ - 2k x₁ + 2k x₂ = 0

In assenza del tipo:

Si può scrivere che x₁ e x₂ e mezzo tutto nel seguente modo.

Quindi, avrò...

X₁ = A cos(wt + q)

X₂ = B cos(wt + q)

X₁ = A cos(wt + q)

X₁ = -w² A cos(wt + q)

X₂ = B cos(wt + q)

X₂ = -w² B cos(wt + q)

-m₁ w² A cos(wt + q) + 5k A cos(wt + q) - 2k B cos(wt + q) = 0

-m₂ w² B cos(wt + q) - 2k A cos(wt + q) + 2k B cos(wt + q) = 0

Pongo cos(wt + q) = 1 ... per semplicità

-m₁ w² A + 5k A - 2k B = 0

-m₂ w² B - 2k A + 2k B = 0

A(5k - m₁ w²) - 2k B = 0

-2k A + B(2k - m₂ w²) = 0

Adesso impongo uguali a zero il determinante della matrice dei coefficienti

det ((5k - m₁ w²