Esercitazioni Statistica - prima parte

Esercizi Modelli Probabilistici

1) Considerato un esperimento che consiste nel lanciare equilibrato e casuale la v.c. X che assume valore 1 se tra 0 ed 1 esce la faccia contrassegnata da 5 o 6 e valore 0 per qualunque altra faccia. Determinare:

• L'espressione della funzione di prob. della v.c
• Le sua v.c
• Il 2° e 3° momento ordinario
• La varianza

1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 1 1

P = (2/6) = 1/3

P = 1/3 Q = 2/3

La funzione di probabi. di una v.c. di Bernoulli

f(x) = P(X=x) = π^x(1-π)^1-x

f(x) = P(X=x) = (1/3)^x(2/3)^1-x x=0,1

E(X) = π

E(Xⁿ) = π

E(X) = 1/3

V(X) = (1/3) × (1-1/3) = 1/3 × 2/3 = 2/9

Considerata una moneta per cui la faccia test ha una probabilità doppia della croce, si consideri uno sperimento che consiste nel lanciare aereo la moneta indicate con Y la v.c. v.n. di croci ottenut.

1. Due la punta d'i

2. Punti di riparazione

La variab. Y ha una distrib. binomiale con m=u, misura a

La testo ha proprietà dop. rovia la croce la mese loquante.

e^−(a) = (−a)2

ⁿC_m = (u)₁ (−a)^m−x

π = 0,₁ (1−π₁)

π₁ = 0,5 − ϑ,5

π₁ 0,5 9 = 0,₅

1,5 πu = 0,5

5 < 0,i⁵

Risult. prima Y ~ Binomiale (μ 1/3>)

π(x) = π(X = x) = (u)^m 1⁰ x 1⁰ x 1⁰ x ¹/3 'ⁱ 0 i'_l x 2^u/³)

7. Siano X₁, X₂ variab. consid. tuttá perdite.

Asseramo con distrib. normal. di valore atteso μ = 4 e varianze 36.

1. P (X₁ ≥ 10)
2. P (2X₁ - X₂) ≥ 64
3. Φ(10 - 4/6) = Φ(1) = 0.8413
4. E (2X₁ - X₂) = 2.4 - 4 = μ
5. V (2X₁ - X₂) = 4. 36 + 36 = 4 8 180
6. Quindi: A = Φ (64 - 4/√180) = 1 - Φ (60/√180) = 1 - Φ (4 < 3)/10

8. Considerato un urna contenente 1000 palline di cui 600

bianche e 400 nere e 200 rosse Si calcoli:

1. la moda la mediana il valore atteso e la varianza delle

X = Yk m di palline bianche estratte per un campione di totale

2. la probabilità di estratto un campione di 100 e 100

ripetizione almeno 50 palline bianche

3. la moda la mediana il valore atteso e la varianza delle

X = P la proporzione pallone bianche estratte per un campione

di 100 pallina estratte con x ripelti.

4. la probabilità che estraendo un campione di 150 palline

con ripetizione la proporzione di palline bianche x meniori

o uguale al 55.

Considerata la seguente funzione dei dati campionari:

T = ^∑_i=1mX_i/_m-3 + 2X_m

Si verifica se è nulla di uno stimatore corretto per il parametro μ

E(T) = m + ²/m (M³)μ = ^m/m-3 μ + 2/m

lim m→∞ B(T) = 0 quindi è asintoticamente corretto.

V(T) = (n-3)⁶ σ² + 4σ².

L'errore quadratico medio:

MSE = σ²/m-3 + 4/m² σ² = ^σ2/m-3 + μ^{21 /m3}

Dato una popolazione bernoulliana si estrae un campione di 3 elementi con ripetizioni. E si determini il valore atteso e varianza di τ.

E(T) = ¹/₄ + ²/₄ + ¹/₄ μ = μ τ = μ

V(T) = ¹/₁₆ π (1-π) + 1/16 π(1-π).

5) Date 2 varab. X, Y con f.d congiunta

f(x, y) = 2(1-x)

0 < x < 1 0 < y < 1

Calcolare E(X), E(Y)

Verificare se le v.c sono indip.

_0¹ ∫ 2(1-x)dx = _0¹ ∫ 2(1-x)sdx = 2(1-x) [4 t⁰]= 2(1-x)

f_x(x) = 2(1-x)

2 _0¹ ∫ (1-x) dx = 2_0¹ ∫ dx - _0¹ ∫ x dx = 2{[x¹₀ - [^x2/₂]¹₀]} =

= 2 (1-¹/₂) =

E_x

f_y(y) = 2(1-¹/₂) = 1

ρ_y(y) = 1

0 < y < 1

Il valore atteso di x è

2 _0¹ ∫ x (1-x) dx = 2{_0¹ ∫ x dx - _0¹ ∫ x² dx} = 2{[^x2/₂]¹₀ - [^x3/₃]¹₀} =

= 2 {¹/₂}

= 2 (¹/₆) = ¹/₃

Il valore atteso di y è:

_0¹ ∫ x dx = [^x2/₂]¹₀ = ¹/₂

f_x (x) x f_y (y) = f (x, y)

Per verificare se sono indipendenti

2 (1-x) x 1

f (x, y)

SONO INDIPENDENTI

Dare la seguente F.V. di una V.C. X

F(X):

• 0,25
• 0,75
• X=0
• 0 ≤ X ≤ 1
• X ≥ 2

Calcolare il valore atteso e la varianza della variabile trasformata = −1 + 8X

• Prop. Cum.
• Prop.
• E(x)= 0,75 • 1 = 0,75
• E(x²) = 0,75
• V(x) = 0,75 - 0,375² = 0,5625 = 0,1875
• E() = −1 + 8 (0,1875) = 0,5
• V() = 8² • 0,1875 = 12

Due 2 v.c. discrete X e Y di valore atteso E(X)=2,5 e E(Y)=1,5 e σ² V(X) = 0,5

V(Y)=1,5 Si calcoli un valore atteso e varianza di S = X+Y e della loro differenza D=X-Y

• E(S) = 2,5 + 1,5 = 4
• V(S) = 0,5 + 1,5 = 2
• E(D) = 2,5 - 1,5 = 1
• V(D) = 0,5 + 1,5 = 2

Due variabili discrete X e Y in cui E(X) = 2,5 e E(Y) = 1,5 V(X) = 0,5 e V(Y) = 1,5

Si calcoli il valore atteso e varianza della Somma S = X+Y e della differenza D = X-Y Sapendo che la loro covarianza cov(X,Y) = -0,25

• E(S) = 2,5 + 1,5 = 4
• V(S) = 0,5 + 1,5 + 2 * (-0,25) = 1,5
• E(D) = 2,5 - 1,5 = 1
• V(D) = 0,5 + 1,5 - 2 * (-0,25) = 2,5

4) Considero una V.C X con f.d.

f(x) = u x⁴   0 ≤ x ≤ 1

Se ne determini valore atteso e varianza.

E(X) = ∫₀¹ u x⁵ dx = u ∫₀¹ x⁴ dx = u [ x⁵/5 ]₀¹ = u/5

E(X²) = ∫₀¹ u x⁶ dx = u ∫₀¹ x⁵ dx = u [ x⁶/6 ]₀¹ + u²/3

V(X) = 2u/75

CV = √2/35 / u/5  ≈ 0.2041

6) Considero una V.C X con f.d.

f(x) = u x (1 - x²)    0 ≤ x ≤ 1

Se ne determinino valore atteso e dev.standard.

E(X) = ∫₀¹ u x³ (1 - x²) dx = u ∫₀¹ (x³ - x⁵) dx = u [ x⁴/4 - x⁶/6 ]₀¹ = u [ x/3^5/3 ]

V(X) = 1/3 - 64/225 = 175-64/225 = 111/225

σ_X = √111/15

5) Sulla base dei seguenti valori ottenuti da un campione casuale proveniente da una popolazione normale:

10   12   15   16   16   16   17   20   22

Verificare l'ipotesi H₀: μ = 15 a livello di significatività α = 0,10

 ̄x = 16

 E(x²) = (10² + 12² + 15² + 16² + 16² + 16² + 17² + 20² + 22²) / 9 = 269,22

 S₂ = 269,22 - 16² = 269,22 - 256 = 13,22

 S_c2 = ⁸⁄₇   13,22 = 15,14

La statistica test risulta:

 |^{(̄x - μ₀)}⁄_(√(Sc2/m))| = |^{(√(16 - 15))}⁄_{(√(15,14/8))}| = |¹⁄_1,357| = 0,7269

6) Su un campione casuale di 40 eleverui: provenienti da una popolazione

Nulla in X è elevrui una media pari a 11,2 e una varianza casuale pari a 8.

Verifica l'ipotesi H₀: μ = 10 a livello di significatività α = 0,10

Attraverso il calcolo del p-valore:

 |^{(̄x - μ₀)}⁄_(√(Sc2/m))| = |^{(11,2 - 10)}⁄_(√(8/40))| = |^(1,2)⁄_0,44721| = 2,6833

e il p-valore corrispondente:

2[1 - Φ(t_T)] =

2(1 - Φ(2,6833)) =

2(1 - 0,9963) = 0,0074

Per cui si falsifica H₀ a livello di significatività α = 0,10