Statistica: esercitazioni varie

X X̄)

i

i=1 ¿ ¿¿

√

(regr )∗

error standard dell'intercett a =error std

√ 317,1 2

( ) √ 2

(28,827 )

1 11 1

¿ ¿ ¿¿

√

+ + =22,619*0,6267=14,1753

=22,619* =22,619* =22,619* 0,09+0,3027=

11 2745,2018 11 2745,2018

calcola l’errore standard del coefficiente angolare b(stim) applicando la seguente notazione:

√ n 22,619

∑ 2

( ( − ) =

err std del coeff. angolare =error std regr)/ X X̄ =

√

i 2745,2018

i=1

22,619 =0,4317 16

52,3947

Egli calcola l’intervallo di confidenza al 95% per i due regressori ad un livello di significatività α=0,05. Egli sa che la v.c.

error standard si distribuisce come una “t di Student” con n-2 gradi di libertà (11-2=9) e pertanto il t-critico, risultante

dalle Tavole, è pari a 2,262 in quanto la distribuzione è bilatera con α/2=0,025.

per l’intercetta troverà i due estremi e cioè: a(stim)+/- t :* s (Error standard dell’intercetta)

α/2, n-2 a(stim)

95,70375-(2,262 *14,173) ; 95,70375+(2,262 *14,173) ovvero [63,6444;127,763]

L’intervallo di confidenza sarà: I.C. [64; 128]

per il coefficiente di angolare troverà i due estremi e cioè: b(stim)+/- t :* s (Error standard del coefficiente

α/2, n-2 b(stim)

angolare)

4,0847-(2,262 *0,4317) ; 4,0847+(2,262 * 0,4317) sostituendo si avrà: [3,108 ; 5,061]

L’intervallo di confidenza sarà: I.C. [3; 5]

Egli calcola l’intervallo di confidenza al 99% per i due regressori ad un livello di significatività α=0,01. Egli sa che la v.c.

error standard si distribuisce come una “t di Student” con n-2 gradi di libertà (11-2=9) e pertanto il t-critico, risultante

dalle Tavole, è pari a 3,106 in quanto la distribuzione è bilatera con α/2=0,005.

per l’intercetta troverà:

95,70375-(3,106 *14,173) ; 95,70375+(3,106 *14,173) ovvero [51,68;139,72]

L’intervallo di confidenza sarà: I.C. [52; 140]

per il coefficiente di angolare troverà:

4,0847-(3,106 *0,4317) ; 4,0847+(3,106 * 0,4317) sostituendo si avrà: [2,74 ; 5,426]

L’intervallo di confidenza sarà: I.C. [2,7; 5,4]

Riporta l’output di controllo con Excel dove trova conferma con i dati calcolati manualmente e indicati dalle frecce:

OUTPUT RIEPILOGO

Statistica della regressione

R multiplo 0,953233

R al quadrato 0,908653

R al quadrato

corretto 0,898503

Errore standard 22,61929

Osservazioni 11

ANALISI VARIANZA gdl SQ MQ F Significatività F

Regressione 1 45804,12 45804,12 89,52545 5,66E-06

Residuo 9 4604,691 511,6324

Totale 10 50408,81

Errore Valore di Superiore

Coefficienti standard Stat t significatività Inferiore 95% 95%

Intercetta 95,70244 14,19121 6,743783 8,42E-05 63,5997 127,8052

Variabile X 1 4,084747 0,43171 9,461789 5,66E-06 3,108151 5,061342

17

PROVA TIPO N.5

ESERCIZIO 1. Il Responsabile del Laboratorio di un Ospedale vuole svolgere un’analisi sulla difettosità di

una provetta. Egli rileva i dati sulle provette difettose nei primi sette mesi del 2012: (13- 18- 14- 16- 27-

21- 33) e vuole:

a) costruire classi equi ampie di ampiezza 5 a partire da 10 fino 35;

b) calcolare l’indice di asimmetria di Fisher prendendo a riferimento il momento terzo;

c) calcolare l’indice di curtosi di Pearson e il relativo scostamento

ESERCIZIO 2. Il Responsabile della Qualità della Serex SpA vuole svolgere un’indagine probabilistica sul

processo meccanico di un impianto a ciclo continuo che presenta malfunzionamenti. Individua i seguenti

Eventi e le relative probabilità:

E il processo subisce un’interruzione di 1 ora nei tre turni; P(E)=0,58

F la potenza dei motori discende; P(F)=0,67

G il processo si blocca; P(G)=0,5

E∩F con probabilità P(E∩F)=0,48

FlG con probabilità P(FlG)=0,8

e vuole:

a) calcolare le probabilità condizionate P(ElF), P(FlE), P(GlF);

b) individuare se gli eventi a due a due sono incompatibili e se sono indipendenti

ESERCIZIO 3 . Il Responsabile della Qualità della Ancor SpA vuole studiare il diametro in cm dei tubi di

polietilene ad alta resistenza. Egli ipotizza di utilizzare due stimatori intervallo di confidenza al 95% e al

2

99% e conoscendo le varianze campionarie di due campioni di tubi tra loro uguali e pari a 9 cm. ed un

errore in valore assoluto non superiore a 0,1 cm vuole:

a) calcolare le due relative numerosità campionarie.

ESERCIZIO 4. Il Responsabile del Laboratorio analisi di un Ospedale vuole analizzare la relazione

esistente fra la spesa per consumi di liquidi di contrasto e la spesa totale delle risonanze magnetiche su

un campione di 11 pazienti applicando il modello di regressione lineare semplice Y=a+bX, sulla base dei

seguenti dati:

(X 11,5 12,7 15,9 17,8 19,1 21,5 31,9 33,1 40,9 50,9 61,8

)

(Y 127,5 131,9 140,8 160,4 179,7 210,5 222,7 272,4 280,9 302,1 319,1

) 18

e vuole svolgere un’analisi inferenziale effettuando : a) la verifica di ipotesi sul coefficiente angolare e

sull’intercetta.

Durata della prova: 120 minuti

SOLUZIONE PROVA 5:

Esercizio 1. Per risolvere il punto a) costruisce le classi ed imposta la tabella propedeutica per il calcolo della

media “in frequenza assoluta” seguente:

v.c.classe(x i n(freq ass) x *n

i

)

12,5 2 25

17,5 2 35

22,5 1 22,5

27,5 1 27,5

32,5 1 32,5

Totale 7 142,5

Media= 20,357143

Per risolvere il punto b) e c) costruisce la tabella propedeutica che riporta di seguito:

≠ ¿

0 ^

^ ^ b

H : b =0 vs H : { b 0 95,70735

k k

0 1

n(freq = = =6,75

t ^

α/2;n-2 14,1753

)

s( b

ass) (x (x 0

x -xmedia) -xmedia) 2

61,734696 [(-7,857143) ]*2/7*6,2445

4

[(-7,857143) ]*2/7*6,2445 =-

3 3

12,5 2 -7,857143 12 0,569 =0,716

4

8,1632661 [(-2,857143) ]*2/7*6,2445 =- [(-2,857143) ]*2/7*6,2445

3 4

3

17,5 2 -2,857143 22 0,0274 =0,013

4

4,5918361 [(2,142857) ]*1/7*6,2445 [(2,142857) ]*1/7*6,2445

3 4

22,5 1 2,142857 22 =0,0058 =0,00198

3 4

51,020406 [(7,142857) ]*1/7*6,2445 [(7,142857) ]*1/7*6,2445

3 4

27,5 1 7,142857 12 =0,2138 =0,2446

3 4

147,44897 [(12,142857) ]*1/7*6,2445

4

32,5 1 12,142857 [(12,142857) ]*1/7*6,2445 =1,05

3 3

61 =2,043

4

7 10,714285 272,95918 0,6732 3,0186

06

Media aritm 20,357143

Devianza=272,9591

806 S.q.m. o Deviazione standard=6,2445

Varianza=38,994168

66

Quindi l’indice di asimmetria di Fisher è pari a 0,6732 evidenziando una distribuzione dei dati suddivisi in classi obliqua

a destra o con asimmetria positiva.

L’indice di curtosi è pari a 3,0186. Lo scostamento è pari a: =3,0186-3=0,186

−3

S =I

SCO CURT

Egli sa che lo scostamento da tre (che è il valore della curtosi di una Normale) dell’indice di curtosi di Pearson individua

la forma della distribuzione da un punto di vista del suo appiattimento. Se la curva è mesocurtica l’indice è uguale a 3

e lo scarto è uguale a 0; se è leptocurtica esso è > 3 e lo scarto è maggiore di 0; se è platicurtica esso è <3 e lo

scostamento è minore di 0. Nel caso in questione la curva è leggermente leptocurtica.

Esercizio 2. Per calcolare il punto a) svolge come di seguito:

P(ElF)= P(E∩F)/P(F)=0,48/0,67=0,72

P(FlE)= P(F∩E)/P(F)=0,48/0,58=0,83 per la proprietà commutativa P(E∩F)= P(F∩E)

P(GlF) = P(G∩F)/P(F) poiché conosce la P(FlG)=0,8 allora P(F∩G)/P(G)=0,8 svolgendo ottiene P(F∩G)/0,5=0,8 da cui

P(F∩G)=0,4 19

Anche in questo caso per la proprietà commutativa P(F∩G)= P(G∩F) e quindi è in grado di calcolare la probabilità

ricercata:

P(GlF) = P(G∩F)/P(F)=0,4/0,67=0,597

Per svolgere il punto b) ovvero per individuare se gli Eventi sono a due a due incompatibili svolge il seguente

ragionamento: egli sa che due Eventi sono tra loro incompatibili quando la probabilità intersezione è pari a 0 ovvero

prendendo E ed F egli dovrà verificare che P(E∩F)=0; P(E∩G)=0 e P(F∩G)=0. Poiché nel caso in questione tali

probabilità sono diverse da 0 in quanto P(E∩F)=0,48; P(F∩G)=0,4

egli può affermare che gli Eventi non sono incompatibili.

Per individuare se gli Eventi sono a due a due indipendenti svolge il seguente ragionamento: egli sa che due Eventi

sono tra loro indipendenti quando la probabilità intersezione è pari al prodotto delle probabilità ovvero prendendo E ed

F egli dovrà verificare che P(E∩F)=P(E)*P(F) ed analogamente P(E∩G)= P(E)*P(G).

Egli constata che:

P(E∩F)=P(E)*P(F)= 0,58*0,67=0,3886;

P(F∩G)=P(F)*P(G)= 0,67*0,5=0,335;

poiché nel caso in questione tali probabilità sono diverse da 0 egli può affermare che gli Eventi non sono a due a due

indipendenti.

Esercizio 3. Per risolvere il punto a) egli sa che la formula che restituisce il termine di errore è la seguente:

σ

ε=z √

α/2 n

Da essa attraverso semplici passaggi algebrici si trova n dato da:

2

σ

2

)

n=( z α/2 2 2

x y x*y x

ε

11,5 127,5 1466,25 132,25

12,7 131,9 1675,13 161,29

Sostituendo ai simboli i valori per un

15,9 140,8 2238,72 252,81

intervallo di confidenza al 95% e

quindi con z pari a 1,96 e con una

17,8 160,4 2855,12 316,84

α/2

varianza pari a 9 ottiene:

19,1 179,7 3432,27 364,81

2

σ 1,96*1,96*9

21,5 210,5 4525,75 462,25

2

( ) = ( )

z =3457 arr numero di tubi .

α/2

31,9 222,7 7104,13 1017,61

2 0,1*0,1

ε

33,1 272,4 9016,44 1095,61

40,9 280,9 11488,81 1672,81

Per un intervallo di confidenza al 99% e

quindi con zα/2 pari a 2,576 e con una

50,9 302,1 15376,89 2590,81

varianza pari a 15 ottiene:

61,8 319,1 19720,38 3819,24

2

σ 2,576*2,576*9

317,1 2348 78899,89 11886,33

2

( ) = ( )

z =5972 arr numero di tubi .

α/2

Media(X) 28,82727 Media(Y) 213,4545

2 0,1*0,1

ε

Egli desume, come già osservato precedentemente, che per ottenere una stima più precisa occorre aumentare di molte

unità la numerosità campionaria.

Esercizio 4. Per risolvere il punto a) ovvero per analizzare la verifica di ipotesi per il coefficiente di correlazione e

l’intercetta; dapprima calcola i valori dei regressori stimati

Egli predispone la tabella propedeutica per il calcolo dei regressori con il MMQ:

20

Egli calcola il valore del coefficiente angolare applicando