Esercitazioni per l'esame di Trasmissione del calore

CONDIZIONE NON STAZIONARIA IN UN SOLIDO SEMI-INFINITO con Metodo delle Variabile di Similarità

Consideriamo un problema di conduzione termica non stazionario, in particolare un solido semi-infinito delimitato da una superficie di contatto, sulla quale la temperatura è mantenuta a T₀ e il resto del solido vale una certa temperatura iniziale T=0. Si aspetta che vi sia un flusso caldo verso l’interno dell’intero, a valori principali rilevanti le sue condizioni iniziali. In questa trattazione ci occupiamo in particolare del caso bidimensionale: l’unica coordinata che interessa è lo x dello spazio, in quanto con y e z si assume che non vi siano gradienti di temperatura.

L’Eq di Bilancio locale dell’Energia, cioè l’Eq di Fourier, può perciò essere espresso da:

∂²T/∂x² - 1/α ∂T/∂t = 0

dove α = k/ρc è il coefficiente di diffusività termica.

T(x,0) = T₀ | T(x,t) = T₀ per x > 0

Considerando una soluzione di questo tipo, e sostituendo in T(x,t) nell’eq di Fourier e nelle condizioni si ha l’importanza di ridurre alle derivate parziali a una sola derivata ordinaria e indeterminare anche la funzione f:

d²f/dη² + ηdf/dη + (2η)²f(η) = 0

Differenziando otteniamo:

f’(η) = - η/2 Erfc(η) + C2

f(ϑf) = _Tf∫⁰ e^ϑf(m) + E2

dove le costanti di integrazione E1 e E2 si trovano dalla condizione al contorno e valendo:

Lim x→0 T(x) - T₀b_T > 0 superficie finita

Lim x→∞ T(x) = 0 allora E2 = 0

Lim x→0 T(x) - T₀ = 0 superficie finita

x → ∞ allora E1 = -ϑf

Allora la funzione f(ϑf) ed il campo di temperatura T(x, t) si possono scrivere a seconda:

f(ϑf) = e^ϑf(m) - b_T → T(x, t) = T₀ + (T_∞ - T₀) e^{-x/√(2√αt)}

Si noti che, in questo tipo di problema, si ipotizza sempre una velocità nulla per il fluido residuo all'infinito, così che non vi sia alcun movimento. Supponiamo di trovare T(x) ad una distanza finita x dalla superficie fluida, ad un tempo t finito dalla pulsazione termica iniziale.

Quindi, se riscaldiamo una superficie alla distanza x e con un dato impulso di calore, ciò non viene trasmesso all'infinito, ma poiché devono verificarle particolari condizioni di equilibrio, si considera il moto del calore trasmesso verso l'interno del solido. Non deve essere una velocità infinta di propagazione termica perchè una propagazione istantanea del profilo termico nel volume del materiale solido, di massa più o meno distante dalla superficie, causa, dopo t=0, molti e variati altri dislocamenti o distribuzioni della temperatura nel solido.

E questo è un Baco Matematico. Alla stessa conclusione rimanda, ad esempio, l'equazione di trasmissione del calore T(x, t) e quella di Fourier. La velocità di propagazione del profilo termico nello spazio è proporzionale ad (T₁-T₀) trovandosi, dopo un tempo t₀, pari all'impulso termico, sempre più o meno la distanza x, nel solido, dalla superficie fluida iniziale.

(E.g. di Fourier perso sia nel base matematico parziale e nell'eq di tipo parabolico, con valori di propagazione nel tempo di tipo infinito, simili si è assunti dall'eq di Cattaneo e Vermonte, che si sviluppa per velocità, orientatate al moto spaziale, finita).

Indichiamo _QA e _QB le potenze termiche che attraverso le sezioni trasversali di materiale A e B si ha il Bilancio di Energia detto da:

_Qe = _QA - _QB

da _Qi = ∫_L^{1 q} n dt I - ∫_L^{2 q} n dt I - ∫_L^{1 q} s dt I - ∫_L^{2 q} s dt I - _L¹ ∫^L₁ ^j ∙ ∫^L _A. _jdT I. _L² _L¹ ∫^A ∫^d. _j. ∫^T I. cioé _QA= (_L^{2 L}₁ ^A) I. _QB = (_L^{2 A}_L) _B I.

energia _Qi/2 _QA-_QB = [((_L¹. _L² (^L_A) - (_L¹. ^A_L)) ) I - (_EAE_B)T _o I - _EAB

sorge ε ^L_A Potere Termoelettrico Assoluto a Temp. T_o

da cui si vede che se la giunzione E attraversata da corrente elettrica da B verso A, cioè direzione

concorde a n’, è (ε_AB -ε_E) , eroc quindi da E a E’, bilancia potenziali termica Q_E assorbita dalla

triettoria per _EAA e _L δ a fare ∫_E a EA con I. esso _q - più uno effetto senza _I e _ea. Essendo

materiale onofrio nel materiale su cui giunzione. Questo e iore fenomeno chiamato EFFETTO PELTIER.

Nel primo cono, con ε_AB e l II diverse di n’, via verso A, n utilize il funzionalmente di speciali

impinanti energetici per , sfruttato nel Effetto Peltier. Ha l’uso più preferito di difetto | effetto ε

questa per dzīverre i “punti di zero” cioè per mantenere a temperature costante una giunzione

del circuito aperto, visto nell Effetto Seebeck.

ANALISI DI VARIE TIPOLOGIE DI ALETTA

Studiando una le prestazioni termiche dei varie tipologie di alette, determinando la distribuzione di temperatura, determinando la distribuzione di temperatura T(x) e l'efficienza dell'aletta η.

Le tre tipologie di alette che studieremo sono: ALETTE LONGITUDINALI, ALETTE RADIALI e ALETTE A SPILLO.

ALETTE LONGITUDINALI

Le alette longitudinali sono quelle attaccate parallelamente alla superficie del corpo a cui sono collegate per una superficie di perimetro f(x) ed alla superficie dell'aletta e una lunghezza costante della base b. Il lato lungo dell'aletta longitudinale è posizionato sulla direzione del flusso termico. L'obiettivo è quello di minimizzare il peso dell'aletta e quindi massimizzare l'efficienza dell'aletta.

Si può calcolare tale efficienza con l'equazione dell'aletta longitudinale così da valga:

d²θ(x)/dx² = M²θ(x) ≡ 0

η = φ (2) * 2a + 3(b-a) * φ

Negli esempi numerici si dispone che le alette siano in forma uniforme a base quadrata con lunghezza costante b e fattore di forma f(x) = h0 con H(x) = H0 > 0. Nulla farà resistere che il riferimento dell'aletta e quindi non si darà dispendere per da X.

Aletta Rettangolare

Considera ora un'Aletta Longitudinale ottenuta per estrusione da un profilo di forma rettangolare, in questo caso lo spessore s dell'aletta è constante.

d²θ(x)/dx² = M²θ(x) ≡ 0

Tutto questo vale pensando che da 2 cost al costrutto sarà pareiuli, che X_L=0 e X_B=1.

Alette a Spillo Cilindriche

Per un'aletta a spillo cilindrica si ha il raggio r(x) variabile secondo r(x) = r₀ x = r₀ X

L'Eq. al b.d.c. dell'energia adimensionale è nota perciò di:

₁/_X[Θ(x) x dΘ(x)/dx] - hΘ(x) = 0

Ma a soluzione vale a a disp. tra il limite x=> 0 dove x=0 e D, allora la relazione assume a d.a. costante di integrazione C₂.

e si ha funzione della distruzione alla temperature adm.: Θ(X) = I₀ [2M√X] / √X I₁[2M√X]

Si usa la come delle Δlletto triangolare, assi e messo state la cond. di calore in X=0, sociale terminale.

η = 2 I₁ [2M] / M I₀ [2M]

Segue per X=> 0 e η=> 0, apricbindθ(X)