Esercitazioni Meccanica applicata alle macchine

B E B

a = 348.63 m/s (azzurro, verso il

2 ? || AB || EB Perpendicolare a EB

E

basso) ? ω |AB| ω |BE| α BE

22 32 3*

a = 20.95 m/s (bianco, verso il

EBn 2

basso)

a = 354.37 m/s (magenta, verso l’alto)

EBt 2

Per determinare il centro di istantanea rotazione della biella rispetto al telaio occorre prolungare i

segmenti AB e condurre una perpendicolare passante per C, fino a che non si incontrano in P

0

(inoltre possiamo dire che, grazie al teorema di Aronhold Kennedy, il punto P è centro di

0

istantanea rotazione, così come il punto P a sinistra, allineato ad A e C, ottenuto in maniera del

1

tutto analoga a P . Sono centri di rotazione anche i quattro punti del quadrilatero A,B,C e D).

0

Per calcolare le velocità che ci interessano, andiamo a misurare le lunghezze P B, P C e P E, che

0 0 0

risultano essere pari rispettivamente a 0.9849m, 0.7663m, e 0.9823m. Per trovare quindi le

=

B = 8.37165 ;

velocità, conoscendo in partenza la velocità angolare ω , 4 0

3

= ; =

C = 6.518 E = 8.356 .

4 4

0 0

Per calcolare la velocità dei baricentri dell’asta AB basta dividere per 2 le velocità di B. Ottenendo

quindi come risultati rispettivamente 4.1858 m/s.

NB: In tabella vengono riportati i valori approssimati con il corretto numero di cifre significative.

Metodo Poli Metodo Grafico

V =8.37 m/s V =8.38 m/s

B B

V =6.52 m/s V =6.54 m/s

C C

V =8.36 m/s V =8.35 m/s

E E

V =4.19 m/s V =4.19 m/s

G G

N !

= M P = 86.61° ~ 87°,

Per trovare il polo delle accelerazioni K occorre calcolare l’angolo che si

"

O

!

utilizzerà per fare la seguente costruzione (immagine sotto). Una volta eseguita la seguente

= 0.275

costruzione, si trova il punto K (in alto), grazie al quale troveremo il segmento

(misurato sul disegno). Trovato KE possiamo calcolare l’accelerazione:

49 0.275X1621

40 9 0

0

q(

a = KE + ) = + 10.88 = ~336.63 /

V Metodo Polo K Metodo Grafico

a =348.63 m/s a =336.63 m/s

2 2

E E

Parte 2 – Cinematica, metodo analitico

Dopo aver fissato il sistema di riferimento con asse sovrapposto all’asse della coppia prismatica

e origine in A, scrivere le equazioni di chiusura del meccanismo. Scelta come variabile

indipendente l’angolo di rotazione della manovella (positivo in senso antiorario a partire dall’asse

x) ed assegnato il valore = 6° (n è il proprio giorno di nascita), rispondere ai quesiti seguenti.

2

7. Risolvere il problema della posizione e determinare il valore dell’angolo di biella e della

3

coordinata del pistone 4, e confrontarli con quelli ottenuti al punto 2).

8. Risolvere il problema delle velocità e calcolare:

- le velocità dei punti B, C, ed E nella configurazione assegnata;

- le velocità del baricentro dell’asta AB (coincidenti con il punto medio); - le velocità

angolari.

9. Determinare le configurazioni critiche corrispondenti alla variabile dipendente impostata e

rappresentarle graficamente;

10. Discutere la possibilità di configurazioni in forma critica istantanea corrispondenti alla

variabile dipendente impostata;

11. Risolvere il problema delle accelerazioni e calcolare:

- le accelerazioni dei punti B, C, ed E nella configurazione assegnata;

- le accelerazioni del baricentro dell’asta AB (coincidenti con il punto medio); - le

accelerazioni angolari.

12. Confrontare i risultati ottenuti ai punti 9) e 10) con quelli ottenuti ai punti 2) e 3).

Per risolvere il problema delle posizioni, bisogna scrivere l’equazione di chiusura del

manovellismo, quindi risolvere un sistema di due equazioni ad essa associata.

0

+ − =

0 4

0

+ =

0 4

Risolvendo il sistema, risulta 3 = -9.974°~ -10° (e ~190° che però non è accettabile per come si è

scelta la configurazione di questo meccanismo) e AC=0.4424m (in figura, grazie al metodo grafico,

risulta essere 0.44243m).

Per trovare invece la posizione del punto di biella E, misuriamo l’angolo α, (compreso tra BC ed

EB) che risulta essere uguale a 31° (perché è un corpo rigido e non varia nel tempo) e si risolve un

sistema di due equazioni in due incognite, simile al precedente. Con θc che sarebbe l’angolo di

posizione del punto di biella compreso tra i segmenti AC e AE.

)

(

+ =

+

0 c

4 )

(

+ =

+

0 c

4

Dal precedente sistema si ottengono (usando come BE=0.29m, ottenuto grazie al teorema di

θc,

Pitagora applicato al triangolo MEB) due angoli si sceglie quello corrispondente alla

θc

configurazione scelta); si ottengono dunque due valori cercati = 40.82°~ 41° e AE = 0,29m

(che misurando sul grafico, si scopre essere uguale).

Per risolvere il problema delle velocità, si considerano le stesse equazioni dei sistemi precedenti,

ω = 83.7758 rad/s

si derivano rispetto al tempo, sapendo che la velocità angolare è assegnata.

2 = = 4.25307 /

ω

I valori ottenuti sono = 8.50614 rad/s, dalla quale si può ricavare de 4

3

e AC’= -6.51856 m/s (che non a caso coincide con la velocità V , infatti si è derivata la posizione

C

di C rispetto al tempo). V e V si calcolano come si sono sempre calcolate in precedenza.

G B 0

0 0

0

X(

v = + ) = X(−8.14) + (−1.89) =

Per quanto riguarda il punto di biella, si ottiene V l—

l–

~8.36 / . I valori sono stati ottenuti derivando una volta rispetto al tempo le equazioni del

sistema precedentemente scritto per il problema delle posizioni.

Per l’analisi delle posizioni critiche istantanee, conviene scrivere in forma matriciale le equazioni

che descrivono le velocità del problema. Si ottiene così una matrice Jacobiana. Si impone il

determinante nullo per trovare le condizioni critiche in questione.

− sin − sin ′ −1

0 4 0 ˜

∗ = 0

+

cos cos ′ 0

0 4 4

Il determinante della matrice delle incognite, per essere nullo, dovrebbe dare come risultati θ =θ o

3 2

che θ -π =θ (perché ne risulterebbe che le tangenti debbano essere uguali, ciò implica che

2 3

l’angolo debba essere il medesimo).

Analogamente si può scrivere:

−1 − sin ′ − sin

4 4 0 ∗ ′ = 0

+ 0

cos

0 cos ′ 0

4

Il determinante della matrice delle incognite, per essere nullo, dovrebbe dare come risultati

θ =- π/2 o che π/2= θ .

3 3

Per risolvere il problema delle accelerazioni, si considerano le stesse equazioni dei sistemi

precedenti, si derivano rispetto al tempo ancora una volta (partendo da quelle della velocità)

ω = 83.7758 rad/s

sapendo che la velocità angolare è assegnata. I valori ottenuti sono:

2

α =1221.55 rad/s e AC’’= 421.077 m/s (che non a caso coincide con la accelerazione a , infatti

2 2

3 C

si è derivata la velocità di C rispetto al tempo). 0

0 0

0

X(

a = + ) = √204.878 + (−284.609) =

Per quanto riguarda il punto di biella, si ottiene V l—

l–

0

~350.681 / . I valori sono stati ottenuti derivando una volta rispetto al tempo le equazioni del

sistema precedentemente scritto per il problema delle velocità.

Per le velocità e le accelerazioni di G e B, si scrivono le equazioni associate ai punti e si derivano

nel tempo una e due volte rispettivamente per le velocità e per le accelerazioni.

−

à à

˜

= ∗ −

e e ™˜

= = = ∗

0 0

e

e 0 ™ 0 0 0

à à

e e

e˜ ™˜

= = = ∗ = ∗

e 0 ™ 0 0 0 0 0 à

− 350.93 / − −607.81/

e

e˜˜ e˜˜

0 0

= ∗ = = ∗ =

0 0 0 0

0

0 0

q(

a = + ) = 701.84/

› e—

e– à

− 175.46 / − −303.91 /

e

™˜˜ ™˜˜

0 0

= ∗ = = ∗ =

0 0 0 0

0

0 0

q(

a = + ) = 350.92 /

œ ™—

™–

Grafico V =8.38 m/s V =6.54 m/s V =8.35 m/s V =4.19 m/s ω = 83.78 rad/s ω = 8.50 rad/s

B C E G 2 3

Analitico V =8.38 m/s V = 6.52 m/s V = 8.36 m/s V = 4.19 m/s ω =83.78 rad/s ω = 8.51 rad/s

B C E G 2 3

Grafico a =701.84 a = 421.64 a =350.92 a =350.92 α = 0 rad/s α = 1221.96 rad/s

2 2

B C E G 2 3

m/s m/s m/s m/s

2 2 2 2

Analitico a =701.84 a = 421.08 a = 350.68 a = 350.92 α = 0 rad/s α = 1221.55 rad/s

2 2

B C E G 2 3

m/s m/s m/s m/s

2 2 2 2

ΝΒ. Le velocità e le accelerazioni sono riportate in modulo e approssimate con il numero corretto

di cifre significative.

Parte 2 - Statica

Considerando la configurazione studiata nella parte 1, sia applicata allo stantuffo (punto C) una

forza r, caratterizzata da:

• direzione che forma un angolo = (180 + 3)° con l’asse x, misurato in senso antiorario;

• modulo Fr = 10 Nm, dove m è il proprio mese di nascita.

Determinare il momento della coppia motrice agente sulla manovella che permette di

m

equilibrare staticamente il meccanismo applicando i seguenti metodi:

1. metodo grafico;

2. metodo analitico del free body;

3. principio dei lavori (o delle potenze) virtuali;

4. ipotizzando un coefficiente di attrito = 0.2 tra pattino e telaio e che il perno della coppi