Esercitazioni Costruzioni navali 3

Costruzioni Navali 3 Esercitazione n. 1 – C.d.s. Trave appoggiata

1.1 Finalità

Lo scopo di questa esercitazione è quello di studiare le caratteristiche di sollecitazione di una trave

appoggiata agli estremi e soggetta ad un carico distribuito in modo lineare (distribuzione trapezia) su

una porzione della sua lunghezza. Si utilizzano metodi numerici per l’analisi di carico, taglio e

momento flettente verticali.

1.2 Procedura

Si è impostato un foglio di lavoro Excel in modo tale che consenta di calcolare le caratteristiche di

sollecitazione di una trave con lunghezza qualsiasi e caricata con una distribuzione di carico

trapezoidale su una porzione di essa.

Per l’analisi si è deciso di discretizzare la trave in 40 partizioni, le quali coordinate longitudinali si

ripetono due volte nel campo del foglio di lavoro per poter far fronte ad eventuali discontinuità.

Prima di iniziare le procedure ci calcolo, si è effettuato uno studio di equilibrio del sistema trave-

carico per determinare le reazioni vincolari in X=0 e X=L, necessarie come condizioni al contorno

nell’integrazione per trovare il taglio.

Per procedere con il calcolo, è stata impostata una tabella che vede la presenza di quattro colonne:

• Nella prima colonna è riportata la distanza del punto considerato dal punto di inizio della

trave, nella divisione delle quaranta partizioni.

• Nella seconda colonna sono riportati i valori della distribuzione di carico al variare della

posizione longitudinale della trave. Al di fuori della porzione di trave soggetta al carico viene

assegnato automaticamente un valore di carico pari a zero.

• Nella terza colonna si calcola la sollecitazione di taglio verticale come integrazione numerica

(Bezout) del carico. Come valore iniziale del taglio è stata inserita la reazione vincolare

calcolata precedentemente.

• Nella quarta e ultima colonna viene calcolato il momento flettente verticale come integrazione

numerica del taglio. Il valore del momento in X=0 è nullo in quanto la trave è appoggiata.

Infine, sono stati graficati gli andamenti delle sollecitazioni precedentemente calcolate, così da avere

una rappresentazione chiara e immediata per poter valutare eventuali punti critici.

1.3 Dati in ingresso

I dati necessari per il calcolo sono i seguenti:

Elemento Valore u.d.m.

Lunghezza della trave (L) 2,00 [m]

Massa di carico applicato (Q) 3,00 [t]

Posizione iniziale distribuzione di carico (x ) 0,20 [m]

iniz

Posizione finale distribuzione di carico (x ) 1,00 [m]

fin

Coordinata del baricentro del carico (x ) 0,65 [m]

Gq

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Costruzioni Navali 3

1.4 Fasi di calcolo

Le fasi del calcolo per ottenere i risultati finali si susseguono in questo modo:

• Inserimento dei dati di ingresso;

• Calcolo della larghezza dell’intervallo in base alla partizione in 40 intervalli: int.=L/40;

• Calcolo della lunghezza della distribuzione longitudinale del carico: L = x -x ;

q fin iniz

• Calcolo della distanza del baricentro del carico rispetto alla metà della sua porzione di

+

applicazione: ;

̅ = −

2

• I valori massimi e minimi del carico applicato sono stati calcolati andando a risolvere il

sistema tra l’equazione del baricentro del trapezio rettangolo e l’equazione per la

determinazione del carico, individuando le relazioni:

6̅ 6̅

= − , = +

1 2

2 2

• Le reazioni vincolari agli estremi della trave (R e R ) sono state calcolate imponendo

0 L

l’equilibrio alla rotazione e alla traslazione verticale: ∗

∗ + ∗ = 0 → =

+ + = 0 → = − −

0 0

Calcolo del carico:

Il carico presenta discontinuità rispettivamente in x e in x . Per questo motivo, tutti gli intervalli

iniz fin

sono stati ripetuti due volte, in modo tale da poterne analizzare limite destro e limite sinistro. Per

poter riportare il carico in maniera automatica è stata inserita una formula di tipo “SE” con lo scopo

di inserire il valore zero se ci si trova al di fuori della zona del carico, oppure di inserire i valori di

inizio e fine del carico se ci si trova in quei punti, in mezzo viene calcolato il valore in maniera lineare.

Calcolo del taglio:

Il taglio è l’integrale del carico, che avendo andamento lineare produrrà un taglio parabolico.

L’estremo in X=0 avrà come valore di taglio la reazione vincolare precedentemente calcolata, poi si

procederà per integrazione numerica con il metodo di Bezout. Nell’estremo finale, il taglio dovrà

avere un valore pari a -R :

L (0) = , () =

0 −

2 1

Nel mezzo: ( )

() = + + ∗

2 1 2

Calcolo del momento flettente:

Il momento è l’integrale del taglio, che avendo andamento parabolico produrrà un momento cubico.

Agli estremi il momento avrà valore nullo perché la trave è appoggiata. L’integrazione si effettua con

il metodo di Bezout: (0) = 0 , () = 0 −

2 1

Nel mezzo: ( )

() = + + ∗

2 1 2

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Costruzioni Navali 3

1.5 Risultati ottenuti CARICO q(x) [m]

0.0

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

-1.0

-2.0

[t/m] -3.0

q -4.0

-5.0

-6.0 TAGLIO Tv(x)

2.50

2.00

1.50

1.00

[t] 0.50

Tv [m]

0.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

-0.50

-1.00

-1.50 MOMENTO Mv(x)

1.2

1.0

0.8

[t*m] 0.6

Mv 0.4

0.2 [m]

0.0

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

-0.2 Pag. 3/34

Costruzioni Navali 3 CONFRONTO RISULTATI

3.00

2.00

1.00 [m]

[t*m] 0.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

-1.00

,

[t] -2.00

,

[t/m] q(x)

-3.00 Tv (x)

-4.00 Mv (x)

-5.00

-6.00 Pag. 4/34

Costruzioni Navali 3 Esercitazione n. 2 – C.d.s. Pontone

2.1 Finalità

Lo scopo di questa esercitazione è quello di studiare le caratteristiche di sollecitazione di un pontone

parallelepipedo con un peso proprio P e caricato con un peso Q=P/2 distribuito linearmente in coperta

su una porzione di lunghezza. Si utilizzano metodi numerici per l’analisi di carico, taglio e momento

flettente verticali.

2.2 Procedura

È stato sviluppato un foglio di calcolo per calcolare le sollecitazioni del pontone per una qualsiasi

distribuzione continua di carico lineare (trapezoidale) su una porzione della sua lunghezza.

Per l’analisi si è deciso di discretizzare il pontone in 40 partizioni, le quali coordinate longitudinali si

ripetono due volte nel campo del foglio di lavoro per poter far fronte ad eventuali discontinuità.

Il problema è caratterizzato da tre distribuzioni di pesi:

• Peso proprio del pontone;

• Carico in coperta;

• Spinta idrostatica.

Per analizzare le varie caratteristiche di sollecitazione della trave in oggetto, è stato necessario

suddividere il foglio di lavoro in diverse aree, una in cui si calcolano le caratteristiche dei carichi

appena citati, un’altra in cui si caratterizzano sulla lunghezza del pontone, calcolando poi le

sollecitazioni. Una volta trovate le caratteristiche dei carichi (massa totale, posizione del baricentro,

carico iniziale e carico finale), si è creata una tabella che vede otto colonne:

• Nella prima colonna è riportata la distanza del punto considerato dal punto di inizio del

pontone, nella divisione delle quaranta partizioni.

• Nelle successive tre colonne sono riportati i valori delle distribuzioni dei carichi, assunti

negativi, al variare della posizione longitudinale del pontone. Rispettivamente relative al peso

del pontone stesso, al carico in coperta e alla somma dei due.

• Nella quinta colonna viene riportata la distribuzione di spinta.

• Nella sesta colonna viene riportato il carico residuo.

• Le ultime due colonne riportano i valori calcolati di taglio e momento flettente, ottenuti

integrando numericamente rispettivamente il carico residuo ed il taglio stesso. Taglio e

momento flettente saranno nulli agli estremi in quanto il pontone non è vincolato.

Infine, sono stati graficati gli elementi sopra citati, così da visualizzarne l’andamento.

2.3 Dati in ingresso

Come input è necessario conoscere le caratteristiche del pontone e quelle del carico in coperta, in

particolare: Pag. 5/34

Costruzioni Navali 3

Pontone: Elemento Valore u.d.m.

Lunghezza (L) 200 [m]

Peso (P) - 6000 [t]

Carico: Elemento Valore u.d.m.

Peso (Q) - 3000 [t]

Punto iniziale carico (x ) 70 [m]

iniz

Punto finale carico (x ) 180 [m]

fin

Coordinata baricentro (X ) 130 [m]

Gq

2.4 Fasi di calcolo

Pontone:

• Si identificano i punti di inizio e fine del peso del pontone, pari a x=0 e x=L;

• Si trova la coordinata longitudinale del baricentro. Essendo il pontone parallelepipedo sarà a

metà lunghezza;

• La lunghezza della distribuzione di spinta sarà uguale alla lunghezza del pontone stesso;

• Volendo definire il carico associato al peso del pontone come trapezoidale, in questo caso, per

via delle caratteristiche geometriche del pontone, il carico sarà rettangolare con valori uguali

alle estremità, pari a: 6̅ 6̅

= − = −30 , = + = −30

1 2

2 2

Carico in coperta:

In questo caso il carico è veramente di forma trapezoidale, per cui si tratta allo stesso modo del

pontone con la sola differenza che il termine è diverso da zero.

̅

+

•

Si trova come: ;

̅ ̅ = −

2

• Si trova la lunghezza della distribuzione del peso come: L = x -x ;

q fin iniz

• Si trovano i carichi all’inizio e alla fine della distribuzione con le stesse formule del pontone:

6̅ 6̅

= − = −19,84 , = + = −34,71

1 2

2 2

Spinta:

• Si calcola la forza di spinta, uguale e contraria alla sommatoria dei carichi:

= −( + ) = 9000

• I punti di inizio e di fine della distribuzione di spinta coincidono con quelli del pontone, così

come la lunghezza della distribuzione;

• La coordinata longitudinale del baricentro della distribuzione di spinta sarà data da:

∗ + ∗

= = 110

−

• Ora, sempre con le stesse formule, si trovano i pesi alle estremità della distribuzione, pari a:

= 31,5 , = 58,5

1 2

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Costruzioni Navali 3

Carichi:

La distribuzione dei carichi viene studiata singolarmente per ognuno dei casi precedenti, facendone

poi la sommatoria algebrica e trovando il carico residuo.

Taglio:

Il taglio viene definito integrando numericamente la distribuzione di carico residuo. Essendo il carico

lineare, l’andamento del taglio che ne risulta è di tipo quadratico. Alle estremità il taglio è nullo perché

il pontone non è vincolato. (0) = 0 , () = 0 −

2 1

Nel mezzo: ( )

() = + + ∗

2 1 2

Momento flettente:

Il momento è l’integrale del taglio, che avendo andamento parabolico produrrà un momento cubico.

Agli estremi il momento avrà valore nullo perché il pontone non è vincolato. L’integrazione si effettua

con il metodo di Bezout: (0) = 0 , () = 0 −

2 1

Nel mezzo: ( )

() = + + ∗

2 1 2

2.5 Risultati ottenuti

Nel modello utilizzato si ipotizza la condizione di autoequilibrio delle forze esterne, in quanto il

pontone risulta libero da vincoli. Per questo motivo i grafici di taglio e momento flettente alle

estremità devono essere nulli.

DISTRIBUZIONE DI PESI E SPINTE

80 w(x) S(x) q(x) res.

60

40

20

[t/m] [m]

0 0 50 100 150 200 250

-20

-40

-60

-80 Pag. 7/34

Costruzioni Navali 3 TAGLIO VERTICALE Tv(x)

600

400

200

[t] [m]

Tv(x) 0 0 50 100 150 200 250

-200

-400

-600 MOMENTO VERTICALE Mv(x)

25000

20000

[t*m] 15000

Mv(x) 10000

5000

0 0 50 100 150 200 250

[m]

CONFRONTO RISULTATI

600 25000

Tv(x) [t] q(x) res. Mv(x)

400 20000

200 15000

[t] [t*m]

, 0

[t/m] 10000

-200 5000

-400

-600 0

0 50 100 150 200 250

[m]

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Costruzioni Navali 3 Esercitazione n. 3 – Calcoli sezione maestra

3.1 Finalità

Lo scopo di questa esercitazione è quello di calcolare l’area trasversale, la posizione verticale del

baricentro ed il momento d’inerzia rispetto all’asse orizzontale baricentrico di una sezione di una

nave cisterna a struttura mista. Poi si vuole calcolare il peso di una trancia di nave che comprenda

tre ossature comuni ed una rinforzata.

3.2 Procedura

È stato impostato un foglio di calcolo Excel dividendolo in due parti: nella prima si calcolano le

grandezze degli elementi longitudinali continui e collaboranti alla robustezza flessionale, nella

seconda si calcolano le caratteristiche degli elementi trasversali e degli ulteriori elementi

longitudinali.

Si parte analizzando i disegni della nave forniti. Per ogni elemento longitudinale sono stati definiti

l’area ed il momento statico così da calcolare la coordinata verticale del baricentro della sezione. Poi

sono stati calcolati i momenti d’inerzia, così da poter definire quello totale con i giusti trasporti.

Per ogni elemento trasversale sono stati calcolati i volumi, moltiplicati poi per la densità dell’acciaio

è stato ricavato il peso totale.

3.3 Dati in ingresso

Per questa esercitazione è necessario possedere:

• una serie di disegni delle sezioni trasversali della nave in questione, tra cui almeno un disegno

di una sezione comune e uno di una sezione rinforzata;

• bulbari;

• dimensioni della nave: L=104,7 m, B=6,5 m, T=6,5 m;

• intervallo di ossatura: s=0,68 m.

3.4 Fasi di calcolo

Elementi longitudinali:

• Si inseriscono i dati di ingresso, come il numero di elementi, base e altezza dell’elemento e

quota del baricentro del singolo elemento. Per alcuni elementi, in particolare i profili a bulbo,

non è necessario inserire base e altezza in quanto si prende l’area direttamente dal bulbario;

• Si calcola l’area trasversale dell’elemento: ;

= ∗ ℎ

• Si calcola il momento statico dell’elemento rispetto alla base della sezione: ;

= ∗

∑

•

Si trova la quota del baricentro totale della sezione considerata: ;

=

∑

1

• 3

Si calcola il momento d’inerzia proprio dell’elemento i-esimo: ;

= ∗ ℎ

−

12

• 2

Si calcola l’elemento di trasporto per l’elemento i-esimo rispetto all’asse y: ;

= ∗

−

• Si calcola il momento d’inerzia totale della sezione riferito all’asse y: ;

∑

= +

0 − −

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Costruzioni Navali 3

• Si calcola il momento d’inerzia totale della sezione rispetto all’asse baricentrico togliendo

2

l’elemento di trasporto dell’intera sezione: = − ∗

− 0

Calcolo del peso della trancia di nave:

Questo calcolo è stato effettuato dividendo quattro gruppi di elementi: elementi longitudinali

contribuenti e continui, ossatura comune, ossatura rinforzata, elementi longitudinali non collaboranti

o non continui.

Per il primo caso si pren