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Control and Actuating Devices for Mechanical Systems

Prof. Edoardo Sabbioni

CONTROL STRATEGY

MANIPULATED

NON MANIPULATED

OBSERVABLE

NON OBSERVABLE

  • Manipulated: I can control them
  • Non manipulated: Unknown or unwanted input of my system
  • Observable: All the variables I can measure
  • Non observable: Non measurables

FEEDFORWARD CONTROL (FFC)

TARGET INPUTS

CONTROL BASED ON A MODEL → DEMAND → ACTUATOR → TORQUE FORCES → SYSTEM → RESPONSE

mẍ + rẋ + kx = βc + βd + βrnd

  • βc: Control forces
  • βd: Deterministic forces
  • βrnd: Random forces

TARGET X ≡ Xr (reference)

The model is this one of the equation of motion

I don't add βrnd because it's unknown

βc = βc(t) = m̂ẍr + r̂ẋr + k̂xr - βd

We substitute this into our equation of motion

mẍ + rẋ + kx = m̂ẍr + r̂ẋr + k̂xr - βd + βd + βrnd

Under the hyp. of

m=m̂

r=r̂

k=k̂

and βrnd negligible

⇨ X ≡ Xr

FEEDBACK CONTROL (FBC)

TARGET

INPUTS

mẍ + rẋ + νx = βc + βsens

Now I don't consider it just for simplicity, it does not add anything

Now

βc = βc(x, ẋ)

βc = νp(Xr− x) + νd (Ẋr− ẋ)   for example

mẍ + rẋ + νx = βsens + νp (Xr− x) + νd (Ẋr− ẋ)

mẍ + (r + νd)ẋ + (ν + νp)x = βsens + νp Xr + νd ẋr

X(t) = XM(t) + Xp, rand(t) + Xp, R(t)

  • Homogeneous Solution

Xh = A1 eλ1t + A2 eλ2t

λ1,2 = -α ± iω = −r/ 2m± √((r/2m)2 − ν/m)

λ1,2 = −(r + νd)/2m ± √((r + νd)/2m)2 − ν + νp/m

r, ν are now affected by the presence of the control system

LINEAR

  • ASYMPTOTIC STABILITY
  • UNSTABLE
  • STABLE

NON LINEAR

  • ASYMPTOTIC STABILITY
  • UNSTABLE
  • ? WE CAN'T SAY ANYTHING

STABILITY

  1. EQ. OF MOTION

mẍ + tẋ + kx = β(x,ẋ)

NON LINEAR TERM

  1. WORKING CONDITIONS

X = X₀ → ẋ = Ẍ = 0

STATIC EQUILIBRIUM CONDITION

kX₀ = β(X₀,0)

WE MAY HAVE MORE THAN 1 SOLUTION

  • 1
  • 2
  • 3

3 STATIC EQ. POSITIONS:

  1. STABLE
  2. INDIFFERENT
  3. UNSTABLE
  1. LINEARIZATION

∫(x,ẋ) ≈ ∫(X₀,Ẋ₀) + ∂∫/∂x|ₓ₀ (x-X₀) + ∂∫/∂ẋ|ₓ₀ (ẋ-Ẋ₀)

ADDITIONAL STIFFNESS

-Kₑ

ADDITIONAL DAMPER

-Tₑ

so ∂fx/∂y = ∂fy/∂x

so {kxy = ∂fx/∂y kyx = ∂fy/∂x

kxy = kyx in [k] = [ kxx kxy ] [ kyx kyy ]

[k] is symmetric

  • Conservative force fields: ∮ δ x δs = 0 and ∂fx/∂y = ∂fy/∂x (kxy = kyx)
  • Non conservative force fields: ∮ δ x δs ≠ 0 → ∂fx/∂y ≠ ∂fy/∂x → kxy ≠ kyx

When we consider a work cycle, energy is introduced i.e. friction forces

Y

x

[k] ∮ δ x δs ∂fx/∂y ; ∂fy/∂x kxy kyx Conservative symm. = 0 = Non conservative Non symm. ≠ 0 ≠

2 dofs stability

2 dofs: x, y

Y

x

F(x, y)

fx(x, y)

fy(x, y)

Force field:

  • Conservative
    • Gravitational
    • Elastic
  • Non conservative
    • Aerodynamic
    • Friction
  • det(N) > 0 , Vxx or Vyy < 0

δ < 0

Δ = VxxVyy - VxyVyx > 0

  • det(N) > 0 so Vxx and Vyy must have the same sign, but at least one must be negative because [N] is not definite positive
    • Vxx < 0
    • Vyy < 0

β = ( Vxx + Vyy/2)2 - Δ > 0

|√β| > |δ|

λ1,22 = -γ ± √β = < α1

                                        &nsbp;α2 both positive

λ1,2 = ±√α1 = ±α1

λ3,4 = ±√α2 = ±α2

STATIC INSTABILITY

NON CONSERVATIVE FORCE FIELD

  • Aerodynamic Forces
  • Friction Forces
  • Tires-road contact

∂Py/∂y + ∂Px/∂x -> V̅xy ≠ V̅yx

λ1,22 = -δ ± √β

β = ( Vxx + Vyy/2 )2 - det(N) = ( Vxx - Vyy/2 )2 + VxyVyx

β ≥ 0 since Vxy ≠ Vyx

β > 0

λ1,22 = -δ = √β

Both real

det(N) < 0 -> |√β| > |δ|

λ1,22 = <-α1

                                                        &nsbp;  &nsbp;+α2

λ1,2 = ±iω2

λ3,4 = ±α

STATIC INSTABILITY

4) Stability

Ẑ(t) = Ẑ₀ eλt (λ2[M]+λ[R₁+R₂]+[K]) Ẑ₀ eλt = 0

As before, we have solutions only if the matrix within brackets is not singular. Here the equation is of 4th order and not bi-quadratic, so it's very difficult to solve. Luckily we can use this state-space formulation

5) State-Space

{ [M]ẍ + [R]ẋ + [K]Ẑ = 0

Ẑ = ẏ } → X = {ẏ Ẑ} state space vector

[M] [0] [R₃] [K] {ẋ} = {0}

[0] [I] ẋ + [T₃] [0] X = {0} [E₁,E₂]

[E₁]ẋ + [E₂]Ẑ = 0

Ẋ = -[E₁]-1[E₂]Ẑ X = -[A]X

[A] = [ -[M]-1[R] -[M]-1[K] ]

[ [I] [0] ]

  • Solution
  • Ẋ-[A]Ẑ = 0
  • Ẑ = X0eλt (λ[I]-[A])X0eλt=0

det(λ[I]-[A])=0 → eigenvalues ([A])

  • If all eig(A) have Re(λi) < 0 → system is stable
Dettagli
Publisher
giagia.512
A.A. 2016-2017
109 pagine
5 download
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-IND/13 Meccanica applicata alle macchine
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher giagia.512 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controlli e azionamenti e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Sabbioni Edoardo.