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Analisi della differenza tra tensione piana e deformazione piana

Se analizziamo la differenza tra tensione piana e deformazione piana si ha che:

εDP = (σx - σy) / E

εTP = (νσx - σy) / E

In deformazione piana la struttura risulta più rigida di una in tensione piana: E > Eν

Inoltre, una struttura in deformazione piana ha una maggiore contrazione laterale: ν > ν−1

8. Definire la forma matriciale esatta del campo di tensioni σ?

Il campo di tensioni σ si ottiene partendo da quello di deformazioni, definito a partire dal campo di spostamenti nodali come:

ε = ∂u / ∂{s} = ∂([N]{d}) = [∂N]{d} = [B]{d}

Tramite il legame costitutivo del materiale si ottengono le tensioni a partire dalle deformazioni:

{σ} = [E]{ε} = [E][B]{d} = [E][∂N]{d}

Dove:

  • [∂N] = [B], derivata della matrice di forma.
  • [E], matrice di rigidezza del materiale.
  • {d}, vettore degli spostamenti nodali dell'elemento.

9.

Definire la matrice di forma [N]? La matrice di forma [N] contiene al suo interno le funzioni di forma, le quali mettono in relazione il vettore degli spostamenti nodali del singolo elemento con la variazione locale dello spostamento. Si definisce la matrice di forma dell'elemento come: {s} = [N]{d}. Definire il legame costitutivo termo-elastico? Il legame costitutivo termoelastico mette in relazione le tensioni alle deformazioni, comprendendo le deformazioni causate da un campo di temperatura T. Considero un cubo di materiale elementare, isotropo non caricato e staccato dal resto del corpo. Applicando un campo di temperatura ottengo una variazione delle dimensioni del cubo proporzionale al coefficiente di dilatazione termica α: 4(dx) = αT dx 4(dy) = αT dy 4(dz) = αT dz Per ottenere le deformazioni corrispondenti, derivo, ottenendo: αT dx = αTε = x dx αT dyε = αTy dy αT dzε = αTx dz Che possono essereinserite nel vettore che definisce il campo di deformazioni indotte dalla temperatura.
<αT,ε = αT, αT, 0, 0, 0>T
Considero ora un generico campo di tensioni definito come:
<σ> = σ, σ, σ, τ, τ, τ
Al quale è possibile associare le deformazioni: <ε> = [C]<σ>
Considerando contemporaneamente i due campi di deformazione si ottiene che la deformazione complessiva risulta: <ε> = <ε> + σT
Dalla quale posso isolare la deformazione legata al campo di tensioni: <ε> - <ε> = σT
<ε> - <ε>[C]<σ> = T<σ> - <ε>
= [E](<ε>T<σ> - <ε>)
Dove l'espressione [E](<ε> rappresenta il legame costitutivo termo-elastico.

1. Matrice di rigidezza della struttura nel metodo degli elementi finiti, indicare come calcolarla e che relazioni fornisce?
La matrice di rigidezza della struttura nel metodo degli elementi finiti può essere calcolata utilizzando il principio dei lavori virtuali. Essa fornisce le relazioni tra gli sforzi e le deformazioni nella struttura, consentendo di determinare il comportamento strutturale sotto carichi esterni.matrice di rigidezza della struttura mette in relazione il campo di forze esterne con il vettore degli spostamenti nodali, la relazione è la seguente:

{F} = [K]{D}

Dove [K] rappresenta la matrice di rigidezza della struttura. La matrice si ottiene per assemblaggio delle matrici di rigidezza dei singoli elementi. Per un singolo elemento l'espressione della matrice di rigidezza è la seguente:

[K] = [B][E][B]dV

Dove:
  • [B] è la derivata della matrice di forma.
  • [E] è la matrice di rigidezza dell'elemento.
  • dV è l'elemento di volume.
Al fine di calcolare la matrice di rigidezza si perturba il campo di spostamenti nodali secondo tramite il PLV ottengo:

δL + δL = 0σ F

Dove il lavoro virtuale esterno risulta:

T{δd} {F}δL = F 7

mentre quello delle forze interne risulta:

Z T- {δε} {σ}dVδL = σ VZ T-

= ([B]{δd}) ([E][B]{d})dV

Z T T-{δd} = [B] [E][B]{d}dV

Z T T-{δd} {d} = [B] [E][B]dV

Applicando ilPLV ottengo: Z T T T−{δd} {d} {δd} {F }[B] [E][B]dV + = 0Vdal quale ricavo che: Z T{F } {d}= [B] [E][B]dV = [k]{d}Vdove [k] è la matrice di massa dell’elemento.

12. In che condizioni un campo di temperatura genera delle tensioni in un solido?

Un campo di temperatura genera delle tensioni in un solido quando:

  • Il solido é vincolato iperstaticamente.
  • Il campo di temperatura non é uniforme.
  • Il materiale del solido non é omogeneo.

In funzione di come il campo di temperatura influenza quello delle tensioni si definiscono due tipologie di problemi:

  • Problema termostrutturale disaccoppiato, quando il campo di temperatura è indipendente dal campo di tensioni/deformazioni generate dalla temperatura.
  • Problema termostrutturale accoppiato, quando il campo di temperatura dipende dal campo di tensioni/deformazioni generato dalla temperatura.

13. Quali sono le equazioni del problema elastico?

Le equazioni del problema elastico sono 15, vengono

ricavate da imponendo equilibrio, congruenza e legamecostitutivo del materiale.

  • Equilibrio, 3 equazioni:
    • ∂τ / ∂τ∂σ xy xzx + + + V = 0
    • ∂x / ∂y / ∂z
    • ∂σ / ∂τ / ∂τ
    • y yx yz+ + + V = 0y∂y ∂x ∂z
    • z zx zy + + + V = 0z∂z ∂x ∂y
  • Congruenza, 6 equazioni:
    • ∂uε = x∂x
    • ∂vε = y∂y
    • ∂wε = z∂z
    • ∂u∂vγ = xy∂y∂x
    • ∂u∂wγ = xz∂z∂x
    • ∂w∂vγ = zy∂y∂x
  • Legame costitutivo, 6 equazioni:
    • {σ} = [E]{}
    • dove la matrice [E] é una matrice 6X6.

Le 15 equazioni contengono 15 incognite, il problema ammette una soluzione.

14. Definizione di forze nodali

termo-equivalenti? Le forze nodali termo-equivalenti sono le forze esterne che, applicate ai nodi, generano lo stesso campo di spostamenti nodali generati da un campo di temperatura T. La formula che definisce le forze nodali termo-equivalenti per un singolo elemento è la seguente: Z{r } }dV= [B][E]{εT OTV. Per ottenere le forze termo-equivalenti per l'intero sistema, è necessario procedere all'assemblaggio di quelle di ciascun elemento. 15. Costanti ingegneristiche di un materiale isotropo? Le costanti ingegneristiche di un materiale isotropo sono riportate nella seguente tabella: Variabile | Nome | Formula | Campo di variazione --------- | ---- | ------- | ------------------ E | Modulo elastico o modulo di Young | E > 0 | ν | Coefficiente di Poisson | -1 < ν < 0,5 | EG | Modulo di elasticità tangenziale | EG > 0 | EK | Coefficiente di comprimibilità cubica | EK > 0 | 16. Definire un materiale elastico? Un materiale si definisce elastico quando lo stato di tensione in un punto dipende univocamente dallo stato di

deformazione in quel punto. Si possono classificare le varie tipologie di elasticità come:

  • Elasticità Isotropa
  • Anisotropa
  • Infinitesimale Piccoli spostamenti Componenti metallici Materiali compositi
  • Infinitesimale Grandi spostamenti Lamine e molle Asta del saltatore
  • Finita, grandi spostamenti e deformazioni Tamponi e guarnizioni Pneumatici

Si definisce inoltre elasticità lineare i casi di elasticità nei quali ho una proporzionalità tra forze e spostamenti, in elasticità lineare lavoro con piccoli spostamenti e deformazioni e un legame costitutivo lineare (Legge di Hooke).

17. Significato della matrice di rigidezza? - Considero di applicare un cedimento unitario nella direzione del grado di libertà j-esimo pari a D = 1. Il vettore di spostamenti nodali risulta: {D} = {0, ..., D, 0, ..., 0}

Dall'equazione di equilibrio ottengo che le forze che equilibrano il suddetto spostamento nodale sono:

[K] * {D} = {F}

dove [K] è la matrice di rigidezza e {F} è il vettore delle forze.

  K0K KF 2j12 222    ......... ... ...... {F } ===D =1 j  KDK K ... KF ijji1 i2 iji    ......... ... ......   K0K K ... ... KF N jN 1 N 2 N N

Si ha che:

  • La colonna j esima rappresenta il sistema di forze che il sistema applicare per equilibrare uno−spostamento unitario in direzione j esima.
  • L’elemento K rappresenta la forza da applicare in direzione i per sostenere lo spostamento unitario inijdirezione j. In particolare la componente K é nulla per tutte le combinazioni di i e j non afferenti allaijstessa asta.
  • Alla j-esima colonna partecipano solo gli elementi con grado di libertá j-esimo. Le aste sprovviste delgrado di libertá j-esimo
xtuali soluzioni è un aspetto fondamentale nell'analisi dei problemi di meccanica dei solidi. In particolare, la convergenza delle tensioni è di grande importanza per garantire la validità delle soluzioni ottenute. La convergenza delle soluzioni si riferisce alla tendenza delle soluzioni numeriche o approssimate a convergere verso la soluzione esatta del problema quando il numero di elementi o il grado di approssimazione aumenta. In altre parole, a mano a mano che si aumenta la risoluzione del modello, le soluzioni ottenute dovrebbero avvicinarsi sempre di più alla soluzione esatta. La convergenza delle tensioni è particolarmente importante perché le tensioni sono grandezze fisiche che descrivono lo stato di stress all'interno di un solido. Se le tensioni non convergono correttamente, potrebbe significare che il modello utilizzato per l'analisi non è accurato o che sono presenti errori nella discretizzazione del dominio. Per verificare la convergenza delle soluzioni, è possibile utilizzare diversi metodi, come ad esempio il metodo degli elementi finiti. Questo metodo prevede la suddivisione del dominio in elementi finiti e l'approssimazione delle soluzioni all'interno di ciascun elemento utilizzando funzioni di forma. A mano a mano che si aumenta il numero di elementi, è possibile valutare la convergenza delle soluzioni confrontando i risultati ottenuti con quelli attesi. In conclusione, la convergenza delle soluzioni e delle tensioni è un aspetto cruciale nell'analisi dei problemi di meccanica dei solidi. Garantire la corretta convergenza delle soluzioni è fondamentale per ottenere risultati accurati e affidabili.
Dettagli
Publisher
pan_alle_96
A.A. 2019-2020
15 pagine
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-IND/14 Progettazione meccanica e costruzione di macchine
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher pan_alle_96 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Progettazione meccanica assistita e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia o del prof Fogassi Leonardo.