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Dimostrazioni
- La duration di un flusso unico (es., uno ZCB) coincide con la scadenza
- Se si moltiplicano tutte le rate per una rata positiva “α”, la duration non cambia:
Dim.
- Duration di un portafoglio:
siano R^A/t = (R_1^A, ..., R_n^A)/(t_1, ..., t_n) R^B/t = (R_1^B, ..., R_n^B)/(t_1, ..., t_n)
due rendite con stessa scadenza
La duration del portafoglio che prevede le flusso di rate:
(R_k^{A+B}, ..., R_n^{A+B})/(t_k, ..., t_n) = (R^A_k + R^B_k, ..., R_n^A + R_n^B)/(t_1, ..., t_k)
è:
Dim.
D(RA+B) = ∑ tk (RkA + RkB) (μ + i(tk))-tk
N(x) = ∑ tk RkA (μ + i(tk))-tk +
∑ tk RkB (μ + i(tk))-tk
Se si moltiplica e si divide il numeratore del 1° addendo per
V(RA) = ∑ RkA (μ + i(tk))-tk
si ha:
∑ tk ⋅ RKA (μ + i(tk))-tk =
= (∑ tk ⋅ RkA (μ + i(tk))-tk)
= D(RA) ⋅ V(RA)
In modo simile, si moltiplica il numeratore del 2° addendo per
V(RB) = ∑ RhB (μ + i(tk))-tk
si ha:
∑ tk ⋅ RKB (μ + i(tk))-tk
Flussi di cassa in 0 e in T:
CASH FLOW IN 0 CASH FLOW IN T Posizione lunga sul forward 0 ST - F0 Vendita allo scoperto del sottostante S0 -ST Deposito somma S0 -S0 S0erT Payoff totale 0 S0erT - F0arbitraggio non rischioso
Sia invece F0 > S0erT
- Vendita del forward che promette la consegna di una unità del sottostante in T al prezzo di consegna F0.
- Acquisto di una unità del sottostante.
- Presa in prestito per il periodo [0,T], al tasso privo di rischio r, della somma necessaria per acquistare una unità del sottostante.
Teoria 1a Parte
-
Determinazione della struttura per scadenza dei tassi di interesse:
Se Ptk è il prezzo unitario di uno ZCB che scade in Tk allora il prezzo unitario di ZCBk è dato da:
v(t, tk) = Ptk/VNk
valore attuale di mercato di un'unità di moneta disponibile in Tk.
In capital compost: tasso di interesse annuo vigente m t per importi con scadenza Tk
- i(t, tk) = v(t, tk) = ( 1/Tk-t)-1
- ( VN/Ptk ) = 1/Tk-t = -1
tasso di interesse a cui concedere un prestito all'emittente da t a tk
- 0.38 100 t=0 t v = 38/100 = 0.38Legge di unicità dei prezzi:
Operazioni finanziarie che generano in ogni istante t lo stesso flusso di entrate e uscite devono avere in ogni istante lo stesso prezzo.
Ipotesi di assenza di arbitraggio non rischiosi
Non è possibile realizzare alcuna strategia finanziaria che non richieda alcun esborso di denaro e garantisca un profitto sicuro (no free-lunch).
PORTAFOGLI IN EQUILIBRIO FINANZIARIO IN t:
Si consideri il portafoglio:
X/t = A/t - L/t = (A1, ..., An - L1, ..., Ln) / (t1, ..., tn)
dove:
- A/t = (A1, ..., An) / (t1, ..., tn) (attivi) An ≥ 0
- L/t = (L1, ..., Ln) / (t1, ..., tn) (passivi) Ln ≥ 0
Il valore attuale del portafoglio x valutato al tasso i è:
VX(i) = VA(i) - VL(i) = ΣAk(1+i)-tk - ΣLk(1+i)-tk
Il portafoglio x è in equilibrio finanziario in t se in tale istante:
VA(i) = VL(i)
TEOREMA DI REDINGTON → DIMOSTRAZIONE
Si consideri il portafoglio precedente X/t.
- La struttura degli attivi/passivi è localmente immunizzata al tasso i se per movimenti piccoli del tasso i, il valore attuale dell'intero portafoglio non diminuisce.
- In termini matematici, la struttura è localmente immunizzata se V ha un minimo locale in "i".
→ due condizioni affinché esista
- V'1 = 0
- V'2 > 0
Si definisce "utilità attesa" associata ad X ea quantità:
E[u(x)] = ∑ u(xi) · Pi
Questo criterio di scelta pone I[X] = E[u(xi)] e di conseguenza:
X ≥ Y ⇒ E[u(x)] ≥ E[u(y)]
Certo Equivalente:
Data una v. de X e una funz. di utilità crescente e invertibile u(x), si definisce certo equivalente di X in base a quella funzione di utilità se:
è l'unico importo certo CEX che l'investitore, caratterizzato dalla funzione di utilità u(x), considera equivalente a X.
Determinazione analitica ⟹ CEX deve soddisfare la condizione:
E[u(CEX)] = E[u(X)]
u(CEX) = E[u(x)] ⟹ CEX = u-1(E[u(x)])
3) BUTTERFLY CALL SPREAD
- Acquisto una call di strike k1
- Vendita di due call di strike k2
- Acquisto di una call di strike k3
con k1 < k2 < k3
- 0 ST ≤ k1
- ST - k1 k1 < ST ≤ k2
- 2k2 - ST - k1 k2 < ST ≤ k3
- 2k2 - k1 - k3 ST > k3
LONG CALL BUTTERFLY SPREAD
LONG BUTTERFLY
Probabilità tot rialzi/ribassi:
Prob(X = j) = ( n j ) pj (1 − p)n−j
= n!/j!(n−j)! . pj(1 − p)n−j
2 metodi per trovare C0E e P0E:
- C0 = e−rT [q2 . CTuu + 2q(1−q) . CTud + (1−q)2 CTdd]
- albero binomiale a 2 stadi
- Procedere a ritroso:
- CTuu = φuu
- CTud = φud
- CTdd = φdd
Per P0:
- P0 = e−rT [q2 . PTuu + 2q(1−q) . PTud + (1−q)2 PTdd]
- Andando a ritroso:
- PTuu = φuu
- PTud = φud
- PTdd = φdd
Per trovare il prezzo della call/put equivalente → Ct − Pt = St − K ⋅ e−r(T−t)
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