Crocette esame Matematica finanziaria

 In un’operazione finanziaria di acquisto a termine di un TCN, stipulata al tempo t



e con pagamento del prezzo a termine in T > t il prezzo è fissato in t

 Data una legge di equivalenza finanziaria qualsiasi ed un intervallo temporale [t,

s], indicando δ (t, s) l’intensità istantanea d’interesse e con v (t, s) la funzione



valore, è sempre vero che δ (t, s) = derivata ln v (t, s)

 In un TCN indicizzato, l’importo che verrà rimborsato a scadenza dipende da un

tasso di interesse a pronti futuro

 In un CCT privo di spread, la duration è compresa fra zero e sei mesi

 

Se t < s e v (t, s) è la funzione valore, allora risulta che v (t, s) > 0

 In un mercato perfetto, gli agenti sono massimizzatori di profitto

Al tempo t = 0, l’operazione finanziaria {-100, 79} / {0,1} non è un arbitraggio

non rischioso, ma semplicemente un’operazione finanziaria con rendimento

negativo

 Se un’operazione finanziaria x / t è un arbitraggio non rischioso, posto P = - x ,

0

allora in x tutte le poste sono nulle

 In riferimento a tre scadenza t < T < s, usando il teorema dei prezzi impliciti

possiamo stabilire una relazione fra prezzi a pronti in t e a termine contrattati in t

ma pagabili in T

 In un TTV con spread positivo, il prezzo d’emissione è sopra la pari

 

Se p (0, 1) = 0.94 e p (0, 2) = 0,98 allora il mercato non è perfetto, poiché è

violato il teorema di decrescenza rispetto alla scadenza

 L’intensità di rendimento a scadenza a termine h (0, 1, 10) è la media integrale

dell’intensità di interesse per scadenze in [1, 10]

 In un mercato perfetto tutti gli operatori sono price taker

Al tempo t = 0, l’operazione finanziaria {-100, 32, 33} / {0,1, 2} non è un

arbitraggio non rischioso, ma semplicemente un’operazione finanziaria con

rendimento negativo

 Sapendo che l’operazione finanziaria {x , x } / {0,1} è un arbitraggio non

0 1

rischioso e che x > 0, allora x > 0

0 1

 Sia t < t < t , il teorema dei prezzi impliciti stabilisce una relazione fra prezzi a

0 1 2

pronti contrattati in t e a termine contrattati in t0 e pagabili in t

0 1

 Siano r e r due rendite immediate, posticipate, con rata mensile costante,

1 2

entrambe con durata 12 anni. Sapendo che la rata di r è il doppio della rata di r

1 2



allora le due rendite hanno la stessa duration

 La duration di un TCF, a parità delle altre condizioni, aumenta se aumenta il tasso

cedolare

 In un TTV con spread positivo, il prezzo in un istante intermedio tra la riscossione



di due cedole dipende dal valore nominale, dalla prossima cedola e dalla

struttura per scadenza dei tassi d’interesse

 In un CCT con spread positivo, la duration immediatamente dopo la riscossione



della prima cedola è sempre maggiore di sei mesi

 Se una legge di equivalenza finanziaria v è uniforme V (0, 1) = v (1, 2)

 La proprietà invariantiva afferma che, se l’operazione è equa in t, secondo una

legge di equivalenza finanziaria, allora è equa in qualsiasi altro istante t’

 Un’operazione finanziaria X è equa al tempo t secondo una certa legge



esponenziale, se secondo quella legge il valore totale è nullo

 La proprietà additiva afferma che, se un’operazione finanziaria X è equa in t e Y è

un’altra operazione finanziaria equa in t, allora X + Y è ancora un’operazione

finanziaria equa nello stesso istante t

 La proprietà di scindibilità afferma che, se X è un’operazione finanziaria equa in

t e Y è un operazione finanziaria equa in t allora (X + Y) è un operazione

1 2

finanziaria equa in t (per ogni t).

 .

Conseguenza della scindibilità m (0, t ) = m (0, t ) m (t , t )

2 1 1 2

 

Il Tasso Interno di Rendimento (T.I.R.) è il tasso della legge esponenziale che

rende equa una data operazione finanziaria

 Se un’operazione finanziaria è equa secondo una certa legge esponenziale, il suo

T.I.R. è il tasso annuo di quella legge esponenziale

 Se i è il T.I.R. in base annua di un’operazione finanziaria, allora, secondo quella



legge esponenziale l’operazione è equa

 Data l’operazione finanziaria {-100, 10, 20, -50, 110, 30, 110} / {0,1, 2, 3, 4, 5}

possiamo dire, senza fare nessun tipo di calcolo, che tale operazione potrebbe

avere più di un T.I.R.

 Nell’operazione finanziaria {-2x, x, x, x} / {0, 1, 2, 3}, sapendo che x è un



importo positivo il T.I.R. esiste, è unico e positivo.

 

L’ammortamento di una somma ad un certo tasso annuo composto costante è

un’operazione equa rispetto alla legge esponenziale individuata da quel tasso

 Sia x un importo positivo; il T.I.R. dell’operazione finanziaria {x, 0, x, 0} / {0, 1,

2, 3} non esiste

 Il T.I.R. di un’operazione finanziaria con un’unica variazione di segno nella



successione delle poste esiste ed è unico

 Il T.I.R. dell’operazione finanziaria di acquisto al prezzo P > 0 di una rendita



immediata, posticipata, temporanea e a rata costante cresce al crescere di P

(a parità di R)

 Date le operazioni finanziarie {10, 20, 10, 10} / {1, 2, 3, 4} e {-10, 0, 10, 0} / {0,



1, 2, 3} la loro differenza è una rendita immediata, temporanea e anticipata

 In una rendita differita di due anni, di durata dieci anni, con rata posticipata

l’ultima rata viene pagata in t = 12 anni

 Il valore di una rendita anticipata, immediata e perpetua (rate positive)



secondo una legge esponenziale è finito se il tasso annuo è positivo

 In una rendita immediata con rata annuale anticipata, la prima rata viene pagata

all’inizio del primo anno

 Il valore di una rendita immediata, perpetua, anticipata e a rata costante

unitaria, calcolato secondo una legge esponenziale con tasso annuo positivo è:

1 1−i

=

1+ i i

 Il valore di una rendita perpetua, immediata, anticipata e a rata costante



positiva, calcolato secondo una legge esponenziale con tasso positivo è

positivo e finito

 In una rendita differita di cinque anni e con rata annuale anticipata, la prima



rata viene pagata all’inizio del sesto anno; mentre se la rata è posticipata la

prima rata viene pagata alla fine del sesto anno

 In una rendita di durata quindici anni, immediata, posticipata, e rata annuale

costante positiva, il valore secondo una legge esponenziale di tasso annuo

1+i

¿

1−¿



positivo è ¿

¿

¿

R

 Il valore di una rendita differita di due anni, posticipata e perpetua, con rata



costante secondo una legge esponenziale è finito, se il tasso annuo è positivo

 Il valore di una rendita perpetua (con rate positive) secondo una legge



esponenziale è infinito, se il tasso annuo positivo e la rata è costante

 

L’intensità d’interesse è il rapporto tra tasso periodale d’interesse e la durata

dello scambio

 

L’intensità istantanea d’interesse è il limite dell’intensità d’interesse per la

durata dello scambio che tende a zero

 Nella legge degli interessi composti con tasso annuo d’interesse composto i,

intensità istantanea d’interesse δ, per t < s, il fattore di sconto risulta

−δ (s−t ) −δ(s−t )

o

(t (t

v , s)=(1+i) v , s)=e

 Se X e Y sono due titoli con duration differenti, allora la duration di X + Y è la

somma delle duration dei due titoli

 

La duration di un TCF, a parità delle altre condizioni diminuisce se aumenta il

tasso cedolare, aumenta se aumenta la scadenza, non dipende dal valore facciale

 Investendo 10.000 euro in un BTP con duration dieci anni e 10.000 euro in un

1 1

=(

D × 10)+( ×1)

BOT a un anno la duration del portafoglio è = 5 anni e

ptf 2 2

mezzo

 Se al tempo t = 0 compro un BTP con durata otto anni, TAN = 2% e nominale

1.000 euro e un BTP con durata sei anni, TAN = 3% e nominale 2.000 euro, al

tempo 

t = 2 anni, il portafoglio risultante mi paga un importo di

1000 ×0,02 2000 × 0,03

 )+( ))

40 ×(( 2 2

 In un mercato perfetto, la duration all’emissione di un TTV con spread di 32

punti base su ogni cedola semestrale è maggiore di sei mesi

 In un CCT con nominale 100 euro e spread 22 punti base (0,22%) su ogni cedola,

nell’ipotesi che i tassi futuri non siano mai negativi, l’importo di ciascuna cedola

sarà come minimo 22 centesimi.

 Dato un intervallo [t, T] con t < T, se W è la funzione valore, allora il tasso

(T )−W (t)

W

periodale d’interesse j (t, T) è (t)

W

 Dato un intervallo [t, s], con t < s, se W è la funzione valore, allora l’intensità

d’interesse è il rapporto tra tasso periodale d’interesse ed ampiezza dell’intervallo

temporale m(t , s)

 

Dato un intervallo [t, s] con t < s per m = fattore montante e j =

=1

j(t , s)

tasso periodale d’interesse

 Dato un intervallo [t, 8] con t < 8, dire quali relazione tra fattore di sconto v (t, 8)



e tasso periodale d’interesse j (t, 8) è corretta (t

V ,8)=[1+ j(t ,8)]=1

 

Un contratto interest swap è un contratto che scambia cedole fisse contro

cedole a tasso variabile (tale tasso variabile prende il nome di tasso swap)

 Titolo a Cedola Fissa + contratto swap = Titolo a Tasso Variabile

 Sia dato un titolo con duration cinque anni. Se la struttura per scadenza dei tassi è

piatta, al livello i = 2%, nel caso si avesse un variazione dei tassi di +100 punti

0,01

∆ P=5 × →∆ P=4,9 %

base, allora il prezzo del titolo diminuisce del 1,02

 Gli stock sono importi di denaro

 I flussi indicano le variazioni dello stock

 La semi-elasticità è il rapporto fra un tasso ed un flusso

 La funzione valore W(t) esprime il valore di una posizione finanziaria nel tempo t

 I tassi variabili sono detti indicizzati perché “legati” da un indice. In t non si

0

conosce il tasso che si applicherà in t e in t .

1 2

In t0 si conosce il meccanismo di indicizzazione legale per determinare il tasso

d’inter