Appunti e prove d'esame risolte di Robotica industriale

Indice

Premessa

I Elementi di cinematica dei robot

1. Metodi per la rappresentazione dell’orientazione
   1. Matrice di rotazione - coseni direttori
   2. Espressione di R per rotazioni attorno agli assi coordinati
      1. Rotazione attorno a x
      2. Rotazione attorno a y
      3. Rotazione attorno a z
   3. Cambio di coordinate tra due terne con la stessa origine
   4. Proprietà della matrice di rotazione
      1. Ortogonalità di R
      2. Inversa di R
      3. Derivata temporale di una matrice di rotazione
   5. Rotazione di un vettore
   6. Composizione di rotazioni successive
      1. Composizione in terna corrente
      2. Composizione in terna fissa
   7. Un altro modo di vedere la composizione in terna fissa
   8. Rotazione attorno ad un asse arbitrario
   9. La rappresentazione asse-angolo
   10. Angoli di Eulero
   11. Quaternione unitario
       1. Composizione di rotazioni - prodotto di quaternioni
       2. Dimostrazione della formula del prodotto dei quaternioni
       3. Dai quaternione alla rappresentazione asse-angolo
2. Il metodo di Denavit-Hartenberg
   1. Trasformazione tra terne con origini distinte
   2. Coordinate omogenee
   3. Trasformazioni omogenee
   4. Inversa di una matrice di trasformazione omogenea
   5. Composizione di rototraslazioni successive
   6. Il metodo di D-H per catene cinematiche aperte semplice
   7. Applicazione del metodo di D-H ad un robot antropomorfo
   8. Polso sferico (roll-pitch-roll)
   9. Robot antropomorfo con polso sferico
3. Il problema della cinematica inversa
   1. Cinematica diretta e cinematica inversa
   2. Alcuni esempi di robot planari
   3. Polso sferico (roll-pitch-roll)
   4. Inversione cinematica di robot a 6 DOF con polso sferico
      1. Angoli di Eulero ZYZ e polso sferico

Cinematica differenziale, statica e dinamica dei robot

4 Cinematica differenziale

• 4.1 Velocità della terna utensile nello spazio operativo
• 4.2 Jacobiano analitico
• 4.3 Velocità della terna utensile - twist screw o screw di velocità
• 4.4 Jacobiano geometrico
• 4.5 Calcolo dello jacobiano geometrico
• 4.5.1 Calcolo dello jacobiano: giunto rotolide
• 4.5.2 Calcolo dello jacobiano: giunto prismatico
• 4.6 Relazione tra _T e _A
• 4.6.1 Velocità angolare e angoli di Eulero
• 4.6.2 Calcolo di _T a partire da _A
• 4.7 Singolarità
• 4.8 Disaccoppiamento singolarità
• 4.8.1 Singolarità di struttura del manipolatore antropomorfo
• 4.8.2 Singolarità di polso

5 Statica e dualità cinetostatica

• 5.1 Dualità cinetostatica
• 5.1.1 Cosa succede in R³
• 5.1.2 Cosa succede in R⁶

6 Algoritmi per l'inversione della cinematica differenziale

• 6.1 Schema di inversione basato su J^-1
• 6.2 Algoritmo con pseudoinversa di J
• 6.3 Algoritmi con criteri aggiuntivi e gestione di priorità
• 6.3.1 Proiettori nel nullo di J
• 6.3.2 Soddisfacimento di vincoli aggiuntivi
• 6.3.3 Possibili criteri aggiuntivi
• 6.4 Algoritmo con gestione delle singolarità (pseudoinversa smorzata)
• 6.5 Algoritmi CLIK
• 6.5.1 Algoritmo CLIK con jacobiano analitico
• 6.5.2 Algoritmo CLIK con jacobiano geometrico
• 6.5.2.1 Errore di orientazione e velocità angolare
• 6.5.2.2 Errore di posizione ed errore di posa
• 6.5.2.3 Controllo
• 6.5.3 Trasposta dello jacobiano analitico
• 6.5.3.1 Dimostrazione di stabilità
• 6.5.3.2 Interpretazione fisica dell'algoritmo con trasposta di _A

Angoli di Eulero:

Tale metodo permette di scomporre la rotazione finale in una composizione di tre rotazioni elementari, rispetto agli assi coordinati specificate in terna fissa o in terna mobile. Anche questa è una rappresentazione ridondante.

Così angoli di Eulero ZYZ in terna conviene:

R_eul = R_z(φ) R_y(θ) R_z(ψ)

Il problema può anche essere invertito e ridurre quindi gli angoli di Eulero data R.

Quaternione unitario:

La rappresentazione asse-angolo presenta un problema di ambiguità in quanto nello stesso orientazione rotativa di due turni corrispondono due rappresentazioni (R,θ) e (-R,-θ).

Il quaternione risolve il problema in quanto alle due rappresentazioni di prima corrisponde lo stesso quaternione.

Q=[η,Ξ] con η = cos ^θ⁄₂ ed Ξ = R ⋅ sin ^θ⁄₂

Valore dell'asse di rotazione

Vale la proprietà:

[η Ξ^T][η Ξ] = 1

Due rotazioni successive Q₁ e Q₂ (in quest'ordine) danno luogo al quaternione Q₁Q₂

Jacobiano Geometrico

J esprime la relazione tra la velocità della terna utensile e la velocità nello spazio dei giunti.

Jp è lo stesso per entrambi i Jacobiani

= J˙_o

Calcolo Jacobiano (Geometrico)

Il calcolo del Jacobiano si effettua considerando il contributo della velocità di ogni singolo giunto al moto dell'organo terminale, considerando tutti gli altri giunti bloccati e sommando insieme tutti i contributi.

• Giunto Rotatorio
  • R_zi-1∧(P_n-O_n-1)
  • R_zi-1
• Giunto Prismatico
  • k_i
  • 0

Singolarità Cinematiche

Ci sono singolarità sotto configurazioni in cui lo Jacobiano perde rango, cioè le righe o le colonne del Jacobiano non sono più tutte linearmente indipendenti.

In corrispondenza delle singolarità si possono verificare:

• Il manipolatore perde mobilità in certe direzioni.
• Esistono infinite soluzioni al problema cinematico inverso.
• Vicino alle singolarità, per far eseguire all'organo terminale spostamenti di velocità finiti, i giunti devono muoversi con velocità grandi.

Teoria Esame

1) Cosa sono le "singolarità" cinediche:

Le singolarità sono configurazioni del manipolatore tali che lo Jacobiano può ranko.

In corrispondenza delle singolarità si verificano alcune circostanze interessanti e potenzialmente pericolose, quali:

• Il manipolatore perde mobilità in alcune direzioni, cioè perde la capacità di far eseguire all'organo terminale alcuni screw di velocità.
• Possono esistere infinite soluzioni al problema cinetico inverso
• In prossimità delle singolarità per far eseguire all'organo terminale screw di velocità finiti, i giunti devono muoversi con velocità molto grandi.

2) Dire se un manipolatore ridondante può avere singolarità:

Un manipolatore ridondante può avere singolarità in quanto, avendo m>6 o m>3 (nel piano), ci sono delle velocità di giunto _j che non producono alcun movimento dell'organo terminale.

Tali velocità di giunto sono quelle che appartengono al nucleo di _j:

∀ _j ∈ N(_j) ⇒ _Jθ = 0

Queste velocità producono i cosiddetti automoti.