Analisi matematica

LIUC Scuola di Ingegneria Gestionale

Terza Prova Parziale di Analisi Matematica 17 Marzo 2023

VERSIONE A - Soluzione

Cognome

Nome

Numero di matricola

Istruzioni:

SEGNARE immediatamente NOME e COGNOME sul testo dell’esame (negli

appositi spazi) e sui FOGLI PROTOCOLLO.

L’esame dura 25 minuti e si compone di due parti. Ad ogni esercizio è assegnato

un punteggio.

La parte di QUIZ vale 8 punti (1 punto a domanda) ed è da svolgersi diret-

tamente sul testo dell’esame, barrando con una croce la risposta che si

ritiene ESATTA.

La parte di Esercizi vale invece 24 punti, 6 punti ad esercizio. Gli esercizi vanno

svolti sul foglio protocollo avendo cura di riportare TUTTI i PASSAGGI

effettuati per arrivare al risultato finale.

Alla fine dell’esame dovrete consegnare sia il testo dell’esame che i fogli proto-

collo dove avete svolto gli esercizi. LA BRUTTA COPIA NON deve essere

consegnata.

Regole di comportamento:

NON è consentito l’uso della calcolatrice, è vietato l’uso di ogni altro strumento

elettronico. I telefoni cellulari devono essere spenti e non accessibili. Non è con-

sentito l’uso di appunti o altro materiale. È vietato copiare, ogni tentativo

o comportamento sospetto sarà sanzionato con il ritiro dell’esame

e la bocciatura immediata. Ulteriori sanzioni disciplinari potranno

essere comminate. 1

Parte 1: QUIZ - 8 punti - da svolgere direttamente sul testo dell’esame.

Barrare con una crocetta la risposta ESATTA.

+∞

Z 1

1. L’integrale generalizzato dx è:

α

x

0

≥

(a) convergente per α 1;

(b) convergente per α > 1;

(c) convergente per α < 1;

∀α ∈

(X) divergente R.

+∞

Z 1 ≥

dx converge a 0 se α < 1 e converge a +∞ se a 1, pertanto non

Soluzione: α

x

0

esistono valori di α per cui converge. +∞

X

{a } → |a |

2. Sia : una successione. Se diverge, allora:

N R

n n

n=0

+∞

X a diverge;

(a) n

n=0

+∞

X

(b) a converge;

n

n=0 +∞

X a ;

(X) non si può concludere nulla su n

n=0

+∞

X

(d) a è irregolare.

n

n=0 +∞

X |a |

Soluzione: il criterio di convergenza assoluta garantisce che se converge, allora

n

n=0

+∞ +∞

X X |a |

anche a converge, ma non permette di concludere nulla nel caso in cui

n n

n=0 n=0

diverge. +∞

1 1

X −

3. La serie telescopica è una serie:

2 2

n (n + 1)

n=1

(X) convergente a 1;

(b) convergente a 2;

(c) divergente;

(d) irregolare. 2

+∞

X −a

Soluzione: Una serie telescopica (a ) è sempre convergente e ha come somma

n n+1

n=1

1

− −

lim a a = lim 1 = 1.

1 n+1 2

(n + 1)

n→+∞ n→+∞

4. Se g e g sono due primitive di f (x) allora:

1 2 ∀x ∈

(a) g (x) = g (x) R;

1 2

−g ∀x ∈

(b) g (x) = (x) R;

1 2

∃c ∈

(X) tale che g (x) = g (x) + c;

R 1 2

∃c ∈ −g

(d) tale che g (x) = (x) + c.

R 1 2

Soluzione: Per definizione di primitiva di una funzione f (x).

→

5. Una funzione f : [a, b] è integrabile secondo Riemann se:

R

(a) L’estremo superiore delle somme inferiori di f (x) e l’estremo inferiore delle somme

P

superiori di f (x) al variarare delle partizioni di [a, b] coincidono;

(b) L’integrale inferiore e l’integrale superiore di f (x) su [a, b] coincidono;

n

X − {x }

(c) Esiste finito il limite lim f (t )(x x ) dove sono gli estremi di una

k k k−1 k

n→+∞ k=1

P ∈

partizione e t [x , x ];

k k−1 k

(X) Tutte le precedenti alternative sono corrette. Soluzione: Per definizione.

+∞

R

→ ∀x ∈

6. Sia f : con lim f (x) = 2 e f (x) > 0 allora f (x)dx

R R R, 0

x→+∞

(a) è convergente;

(X) è divergente;

(c) è irregolare;

(d) non ci sono abbastanza informazioni per stabilirne il carattere.

Soluzione: La condizione necessaria di convergenza e la regolarità dell’integrale di

6

funzioni a valori positivi impongono che se lim f (x) = 0, allora l’integrale diverge.

x→+∞

7. Data una funzione Riemann-integrabile su [a, b], allora il volume del solido di rotazione

ottenuto ruotando il grafico di f (x) attorno all’asse x è:

b

Z

(a) V = f (x)dx;

a b

Z 2

(b) V = f (x)dx;

a b

Z

1 2

f (x)dx;

(c) V = π a 3

b

Z 2

f (x)dx.

(X) V = π a

Soluzione: per costruzione geometrica. x

R

8. L’equazione della retta tangente al grafico della funzione F (x) = f (t)dt nel punto

a

x = a è: 0 −

(a) y = f (a) + f (a)(x a);

−

(X) y = f (a)(x a);

0

(c) y = f (a) + f (a)(x);

(d) y = f (a)(x). 0 −

Soluzione: L’equazione della retta tangente è y = F (a) + F (a)(x a), ma dato che

a 0

R −

F (a) = f (t)dt = 0 e F (a) = f (a) si ricava y = f (a)(x a).

a 4