Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Torri Gabriele

Questi appunti contengono tutti gli argomenti necessari per sostenere la prova orale di Elementi di Matematica. Gli insiemi numerici - R insieme dei reali, loro operazioni e proprietà, Intervalli in R, Insiemi limitati e illimitati in R, massimo, minimo, estremo superiore e estremo inferiore di un insieme in R (Programma base). - Sottoinsiemi di R (spazio metrico): intorno di un punto, punti di accumulazione (Programma base) - C insieme dei numeri complessi (Programma avanzato). 2 – Le funzioni reali in una variabile reale - Concetto: Definizione, rappresentazione cartesiana e grafico (Programma base) - Proprietà: Monotonia, Concavità/convessità (Programma base) - Funzioni elementari: affine, quadratica, valore assoluto, proporzionalità inversa, esponenziale, logaritmo seno, coseno. (Programma base) - Successioni (Programma base) - Funzioni elementari: segno, parte intera, Dirichelet (Programma avanzato) - Operazioni con le funzioni: Somma, prodotto, rapporto, combinazione lineare (Programma base) - Composizione di funzioni e funzione inversa (Programma base) - Funzioni limitate, massimo, minimo di una funzione: definizioni (Programma base) 3 – Limiti di una funzione reale - Definizione e rappresentazione grafica (Programma base) - Verifica del limite (Programma avanzato) - Proprietà dei limiti: Teorema di unicità del limite, Teorema del confronto (Programma base) - Limiti di funzioni elementari: xn,ax,lnx - Algebra dei limiti, Forme di indecisione, numero di Nepero (Programma base) 4 – Funzioni continue (tutto Programma base) - Definizione e proprietà - Continuità di funzioni elementari e della loro somma, prodotto, rapporto e composta - Teoremi di Weierstrass, Darboux e degli zeri - Discontinuità eliminabili e non eliminabili 5 – Concetto di derivata - Definizione e interpretazione geometrica, derivabilità e continuità, Punti di non derivabilità (Programma base) - Calcolo di derivate: derivate delle funzioni elementari (Programma base) - Formule per la derivazione, Teorema di de l’Hospital (Programma base) - Funzione derivata, Derivabilità in un intervallo aperto, Teoremi di monotonia, Teorema di Fermat, Teoremi di Rolle e Lagrange (Programma base) - Derivate di ordine n, relazione fra f ''(x) e concavità/convessità (Programma base) - Classificazione dei punti stazionari: determinazione di massimi e minimi locali e dei punti di flesso a tangente orizzontale (Programma base) 6 – Differenziabilità e formula di Taylor (tutto Programma base) - Definizione di differenziale e interpretazione geometrica, Teorema su derivabilità e differenziabilità  Formula di Taylor 7 – Studio di funzione (tutto Programma base) - Determinazione di alcune caratteristiche di funzioni date: campo di esistenza, segno, asintoti (non obliqui), monotonia, estremi relativi. 8 – Integrale indefinito - Definizione e proprietà (Programma base) - Calcolo di integrali indefiniti: integrali immediati, integrazione di razionali fratte (Programma base) - Integrazione per sostituzione e per parti (Programma avanzato) 9 – Integrale definito - Definizione e proprietà (Programma base) - Funzione integrale: definizione e proprietà, Teorema fondamentale del calcolo integrale (Programma base) - Calcolo di semplici aree (Programma base) - Integrale generalizzato (Programma avanzato) 10 – Funzioni a più variabili (tutto Programma base) - Funzione reale di n variabili reali: definizione di grafico in Rn+1 e definizione di curva di livello. - Funzioni reali di 2 variabili reali: grafico in R3 e curve di livello in R2 - Forme quadratiche: matrice associata, segno e teorema relativo. - Limiti e continuità (solo definizioni) - Derivate direzionali (solo definizione), derivate parziali: definizione e calcolo. - Differenziabilità: definizione

Appunti con formule di matematica finanziaria. Argomenti: - nozioni elementari - regimi finanziari (capitalizzazione semplice e composta, sconto commerciale) - equivalenza finanziaria - operazioni finanziarie complesse - le rendite - costituzione capitale e ammortamenti - valutazione progetti - matematica attuariale