Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Nucci Maria Clara

Appunti di meccanica razionale sui seguenti argomenti trattati: Elementi di meccanica newtoniana, Meccanica lagrangiana, Meccanica hamiltoniana, Stabilità dei moti, Elementi di teoria delle equazioni differenziali. basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Nucci. Scarica il file in formato PDF!

Equazioni differenziali ordinarie: Gruppi continui di trasformazioni del piano. Trasformazione infinitesima. Operatore di Lie. Teorema di Lie. Funzioni invarianti. Equazioni invarianti. Esempio delle rotazioni: funzioni invarianti ed equazioni invarianti. Problema inverso: calcolo delle funzioni invarianti per una simmetria. Equazioni differenziali. Prolungamento dell’operatore di Lie. Simmetrie di Lie delle equazioni differenziali. Equazione determinante. Equazioni differenziali del primo ordine. Dimostrazione del legame tra fattore integrante e simmetrie. Simmetrie di Lie delle equazioni differenziali del secondo ordine. Equazione determinante. Numero massimale di simmetrie per le equazioni di ordine n. Esempio dell’equazione della particella libera unidimensionale: calcolo delle sue simmetrie di Lie. Equazioni del secondo ordine che ammettono una simmetria: come si riduce l’equazione del secondo ordine ad un’equazione del primo ordine con gli invarianti differenziali. Caso delle traslazioni nel tempo, caso delle traslazioni nello spazio. Problema inverso: equazioni del secondo ordine che ammettono una simmetria. Algebra di Lie. Commutatore. Propriet`a dell’algebra di Lie. Definizione di gruppo abeliano e non abeliano, di gruppo transitivo e intransitivo. Algebre risolvibili. Ideali. Trasformazione di ogni operatore nell’operatore delle traslazioni. Trasformazione di ogni operatore nell’operatore di una traslazione. Risoluzione delle equazioni del secondo ordine che ammettono due simmetrie: l’importanza degli ideali. Classificazione delle algebre bidimensionali sul piano reale. Gli operatori canonici e le corrispondenti equazioni del II ordine che le ammettono. Equazioni del secondo ordine linearizzabili: loro linearizzazione. L’ultimo moltiplicatore di Jacobi come generalizzazione del moltiplicatore di Eulero e sua equazione differenziale. Legame tra i moltiplicatori di Jacobi e gli integrali primi, altre propriet`a e loro legame con le simmetrie di Lie. Calcolo delle simmetrie di Lie dell’oscillatore armonico e di un’equazione del secondo ordine linearizzabile. Cenni ai principi variazionali. Equazioni di Eulero-Lagrange. Esempio della particella libera. Simmetrie di Noether. Teorema di Noether. Legame tra moltiplicatore di Jacobi e Lagrangiana. Numero massimale di simmetrie di Noether. Equazioni differenziali alle derivate parziali: Introduzione alle simmetrie delle equazioni alle derivate parziali (PDE). Prolungamento dell’operatore di Lie. Caso di PDE del I ordine in 2 variabili indipendenti. Esempio di PDE del I ordine quasi lineari e lineari. Simmetrie di PDE del II ordine. Calcolo delle simmetrie del Laplaciano in 2 variabili. Simmetrie di Lie dell’equazione delle onde, del calore, dell’equazione di Schroedinger lineare e non lineare, dell’equazione di Burgers, dell’equazione di Korteweg-de Vries (KdV). Uso delle simmetrie per le equazioni alle derivate parziali. Superficie invariante. Esempio delle soluzioni per simmetrie dell’equazione del calore e della Schroedinger lineare. Simmetrie della equazione di Burgers e sue soluzioni invarianti. Simmetrie della equazione di KdV e sue soluzioni invarianti. La soluzione solitonica.