Simmetrie di Lie

Introduzione

Simmetrie o Lie

Molte menti matematiche sono state alla ricerca di “modalità” relative all’eseguire equazioni tramite manipolazioni algebriche tra cui Arab, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Ruffini, Abel e Galois. Lui, in uno studio sulle equazioni, crea i gruppi di Galois utili a determinare il grado di Galois in modo da trovare radici elementari.

Sopra, Lie si domanda “è possibile trovare gruppi simili a quelli di Galois per le equazioni differenziali?”

Noi ci occuperemo di ordinamenti al distrutto particolari che in movimenti e simmetria dissolubili vedremo che modo.

Una simmetria è qualcosa che lascia invariato l’oggetto, come rotazione, traslazione etc. Ad esempio, il cerchio ha infinite simmetrie, il triangolo 3 etc. Ma queste sono simmetrie discrete.

Es. Sommare

Definizione di gruppo continuo

Def Un gruppo continuo ad un parametro di trasformazione puntuale (= indifferenti dalla derivata)

(x, t) ⟷ (x’, t’)

Gruppo cioè chiuso rispetto composizione (T_b∘a=T_a∘b)

1 trasformazione identica (o.E.) → ∃φ(t, x, 0)

1 inversa (-o.l.) ∃φ(t, x, ∘a) x =(y(t, x)

Il continuo cioè dato: ∑_a∈Rφ(y(t, x, a)) ⟶ ∃ψ_i, N∈E^o

Funzione ed equazione invarianti

Def Sia F(t, x) funzione e Eq(y(t, x)) = 0 equazione w rispetto t e x.

F si dice invariante → F⟶(t, x, x’) = F(t, x) cioè la funzione per ordinata (t, x’) è costante lungo la traiettoria

Eq si dice invariante → Eq(f(t, x)) = f_i,₀=0 osservata sui punti trasformat (t, x)

Sviluppo in serie di Mac Laurin

Def Data una simmetria (x, t) ⟷ (x’, t’) calcolato lo sviluppo w serie di Mac Laurin rispetto al parametro ∘a nel intorno di ∘a=0, avendo dell’entità

x = φ(t, x, ∘a) + ∘aφ∘|_a=0 + ∘aO(∘a²) x=ψ_1(t, x, ∘a) + ∘aO(∘a²)

∃ψ_N|(t, x, ∘a) =∘a∂ψ_i^a=0(t, x’)

ove M(t, x)=∂φ_i|_a=0 g(t, x)=∂φ

Introduzione

Simmetrie o Lie

Molte menti matematiche sono state alla ricerca di modalità di risolvere equazioni algebriche tramite manipolazioni algebriche: tra cui Arabi, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Ruffini, Abel e Galois che, in un’indaga sulle equazioni, crea i gruppi di Galois utili a determinare le eq di grado 5 in modo da trovare radici elementari.

Sorge l’ e si domanda: “è possibile trovare gruppi simili a quelli di Galois per le eq differenziali?”

Sì. Noi ci occuperemo di ordinare, o sviluppare particolari rel in movime e simmetrie semplici di soluzioni vedremo viste mod.

Una simmetria è qualcosa che lascia invariante l’oggetto come rotazione, traslazione ecc.

Ad es. nello studio ha infinite simmetrie il muscolo ecc ma queste sono simmetrie discrete.

DE: gruppo continuo a un parametro

DE:

Un gruppo continua ad un parametro di trasformazioni puntuali (=indipendenti dalle derivate)

(x,t) <-> (x,t)

Il gruppo cioè chiuso rispetto composizione (T_b;a = T_ab)

Transformazione identica (O,ø = x t) (T µ Ø) T (x t, O) = x = φ (x t, O)

Inversa (-O,) Σ^eφ(x,t,α) x = φ(1, x, α)

Il continuo cioè dato: Σ_k = ψ (1,x,α)

a∈R Σ(t − ψ µ) (t,x,α) = ψ ∈ ^ο

DE: funçione ed Eq

DE:

Sia F(t,x) funçione e Eq (f,) = 0 parametro w t e x.

F, si cui invariante è = F(w,t,x) = F(t,) rispetto alla simmetria cioè la funzione per ogni ramo (f t, x) è costante lungo la trattoria

Eq sia se invarianti e= Eq (f,x) = 0 rispetto alla simmetria

DE: sviluppo della simmetria

DE:

Data una simmetria (,t) → (x,t) facciamo lo sviluppo in serie di McLaurin rispetto al parametro o nell’intorno di o = o, quando equiv intendi

x = φ (t,x,α) + ∂φ/∂α|_{α = 0}._α + o(α²) = x + ψ (t,x,α) + &partial α²

= Σ (µ | ψ (t,x,O))

infer._µ. + ∂φ/∂x|σ.^{φ σ α} o + o(α²)

ψ(y(x),α) = φ ψ (t,x) . α + o(α²)

dove

M(t,): = ψ 1. |_t=0 Ψ(t,) = ψ ψ.

ṫ = t + N(t, x)α

ẋ = x + M(t, x)α

si dice trasformazione infinitesima

Alla frase infinitesima associo il seguente operatore differenziale lineare (operato di Lie)

Γ = N(t, x)∂_t + M(t, x)∂_x

Teorema di Lie

OSS Partendo dalla trasformazione infinitesima (unione) ricostruisco il gruppo di un parametro (no lineare) inerente grazie al seguente teorema

Teorema 1 (Tro. di Lie)

Dato Γ = N(t, x)∂_t + M(t, x)∂_x , Γ ∈ M / e°

dt= t/t , t(0) = t

dα= a(0) = a

dx= M( t, x) , x(0) = x̥

I sostegni dei seguente per Ciuchy cio il L (Gruppo di Lie associato a Ciuchy

ṫ = N(t, x, a)

ẋ =