Studio di funzioni - Esercizi svolti di Analisi matematica 1

Analisi Matematica

Studio completo di funzione

Esercizi del capitolo 27

Punti da svolgere per lo studio di una funzione

• Dominio

• Eventuali simmetrie (pari o dispari) e periodicità

• Intersezione con gli assi cartesiani

• Studio del segno: stabiliamo gli intervalli in cui essa è positiva, ponendo f(x)>0 e trovando, di

conseguenza, anche gli intervalli in cui è negativa.

• Limiti agli estremi del dominio per la ricerca degli asintoti. Classifichiamo inoltre gli eventuali punti

di discontinuità.

• Derivata prima e suo dominio.

o Segno e zeri della derivata prima per stabilire gli intervalli di monotonia, per cercare gli

eventuali punti di massimo o di minimo relativo e di flesso orizzontale e i punti di non

derivabilità (flessi verticali, cuspidi e punti angolosi).

• La derivata seconda e il suo dominio

o Dallo studio del segno della derivata seconda determiniamo gli intervalli in cui il grafico è

concavo o convesso, cerchiamo dunque i punti di flesso a tangente obliqua ed

eventualmente l'equazione della tangente inflessionale.

Dominio

2

1 + ≠ 0

2

≠ −1∀ ∈

Questo denominatore non è mai nullo, qualunque sia il valore reale attribuito alla variabile x.

La funzione razionale fratta è definita in tutto R.

=

Simmetrie 2

(−) = − = ()

2

1 +

La funzione è pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

Intersezioni con gli assi

2

=−

∩ : { →∩ = ∅

2

1 +

=0

2 = −2

= − {

∩ : { → → (0; −2)

2

1 +

= 0

=0

La funzione interseca l'asse delle ordinate in A.

Studio del segno

2

− >0

2

1 +

Essendo il denominatore sempre positivo e il numeratore sempre negativo, la funzione è negativa

nel suo dominio e mai nulla.

Limiti 2

lim − =0

2

1 +

→−∞ 2

lim − =0

2

1 +

→+∞

L’asse delle ascisse è asintoto orizzontale per la funzione.

= 0

Non cerchiamo asintoto obliquo in presenza di asintoto orizzontale.

Derivata prima

2

=− 2

1 +

2(−2)

′ = − 2 2

(1 )

+

4

′ = 2 2

(1 )

+

Segno e zeri della derivata prima

Il segno della derivata prima dipende solo dal numeratore perchè il denominatore è sempre positivo.

e è decrescente

′ < 0 < 0 ()

e è crescente

′ > 0 > 0 ()

ha minimo assoluto in x=0

′ = 0 = 0 ()

La funzione ha un minimo assoluto nel punto di coordinate : (0,-2)

Derivata seconda

4

′ = 2 2

(1 )

+ 2 2 2

) )

4(1 + − 4 ⋅ 2(1 + ⋅ 2

′′

= 2 4

(1 )

+

2 )

4(1 + − 4 ⋅ 2 ⋅ 2

′′

= 2 3

(1 )

+

2 2

4 + 4 − 16

′′

= 2 3

(1 )

+

2

4 − 12

′′

= 2 3

(1 )

+

Segno e zeri della derivata seconda

Anche per la derivata seconda il segno dipende solo dal numeratore

2

4 − 12 ≥ 0

4

2

≤ 12

1

2

≤ 3

√3 √3

− ≤≤

3 3

La derivata seconda ha due zeri è come riportato nel quadro dei segni, il grafico presenta due punti

di flesso

Per la simmetria della funzione, si ha:

3

√3

= (± ,− )

3 2

Grafico

Dominio

2

≠ 0

≠0

Questo denominatore è sempre positivo tranne nello zero dove la funzione non è definita

(−∞; (0;

= 0) ∪ +∞)

Simmetrie

− − 1

(−) = ≠ ()

2

−1

−() = − ≠ (−)

2

La funzione non ha simmetrie

Intersezioni con gli assi

−1

=−

∩ : { 2

=0

−1=0

∩ : {

=0

=1

∩ : {

=0

Il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse in (1;0)

−1

=

∩ : { →∩ = ∅

2

=0

x=0 non appartiene al dominio, l'intersezione con l'asse delle ordinate è vuota.

Studio del segno

−1 >0

2

Essendo il denominatore sempre positivo il segno dipende solo dal numeratore:

se

() > 0 > 1

se

() < 0 < 1

se

() = 0 = 1

Ricerca degli asintoti ai limiti del dominio

−1 -

lim = 0

2