Progettazione di macchine

O

)

2

N

l’ingresso:

E quindi anche lo stesso si può fare per

S

2

S = q

O

2 m

q 2

l l’incertezza

8) Analogamente è possibile calcolare di misura, ovvero la deviazione standard

l’uscita l’ingresso,

sia per che per ossia:

S S

q q

O l ∑(m ∗ q + q − q )

2

= I O

N

S

q

O

= m

’,

O

Pertanto se in uscita allo strumento otteniamo il valore q possiamo determinare il ±k ∗ S

’= (q ’-q)/m q con k

corrispondente valore in ingresso q con un incertezza di l

I O

fattore di copertura (1, 2 o 3);

9) Si possono calcolare anche le varianze di m (detta deriva di sensibilità) e di b (detta

deriva di zero) mediante le seguenti relazioni:

2

N ∗ S

S =

2 I

N ∗ ∑ q − ( ∑ q )

I

m 2 2

S ∗ ∑ q

2 2

q I

O

S =

2

b I

N ∗ ∑ q − ( ∑ q )

I

2 2

q

O l’accuratezza

Che permettono di identificare della stima dei valori misurati mediante la

l’incertezza

retta ai minimi quadrati, ovvero di linearità. lOMoAR cPSD| 9679654

Descrivere le principali caratteristiche statiche; riportare schemi e grafici per rendere

più chiare le definizioni

Le principali caratteristiche statiche di uno strumento di misura sono:

l’insieme

1) Campo di misura: è dei valori su cui lo strumento può fare una misura. Per cui

in base al campo di valori di una grandezza che ci interessa misurare andremo a scegliere il

campo di misura dello strumento. 10

In campo dinamico si usa il dB per definire il campo di misura: dB= 20*log (MAX/min).

2) Portata o Fondo Scala: è il più grande valore che lo strumento può misurare, ovvero in

pratica è il limite superiore del campo di misura. Spesso le altre caratteristiche statiche

vengono espressi in termini % della portata (o fondo scala) nella seguente notazione: %fs.

dell’ingresso

3) Risoluzione: indica la più piccola variazione

che lo strumento riesce a rilevare e quindi misurare. Se ad

esempio un voltmetro ha una risoluzione di 0,2V vuol dire che

potrà cogliere variazioni di tensione in ingresso maggiori od

uguali di 0,2V.

4) Sensibilità: è il rapporto tra la variazione della grandezza

in uscita rispetto alla variazione della grandezza in ingresso,

dq

O

S =

ossia in buona sostanza equivale alla pendenza dq

l

all’interno

della curva di taratura in ogni suo punto del

campo di misura. Se la curva di taratura è un segmento di q

O

lin

S =

retta allora lo strumento è lineare e la sensibilità q

l

dell’ingresso.

è costante per ogni valore

5) Soglia: è il più piccolo ingresso misurabile.

6) Ripetibilità: è il grado di

concordanza tra una serie di misure

consecutive della stessa grandezza

in condizioni ambientali equivalenti.

Essa viene espressa come

deviazione standard s del campione

di misure efettuate. lOMoAR cPSD| 9679654

l’incertezza

Si possono inoltre definire di ripetibilità come il doppio (fattore di copertura 2)

±2s,

della deviazione standard ed il campo di ripetibilità come la diferenza tra il valore massimo ed il valore minimo del campione.

l’attitudine

7) Stabilità: è a fornire valori di lettura diferenti tra loro in letture eseguite

indipendentemente sullo stesso misurando in un intervallo di tempo definito.

8) Isteresi: proprietà di fornire valori di lettura diversi in

corrispondenza di una medesima grandezza quando

questa viene fatta variare per valori crescenti e per valori

decrescenti. Le isteresi sono generalmente dovute ad

irreversibilità interne come attriti meccanici i dissipazioni

di energia elettrica o magnetica. Essa è data dalla

diferenza massima tra la curva di carico (fase

sull’asse dell’uscita,

crescente) e quella di scarico (fase decrescente) in genere al 50% del fondo scala.

9) Linearità: è la misura della massima deviazione dei punti di taratura dalla retta

interpolante dei minimi quadrati, ossia: lOMoAR cPSD| 9679654 Pag. 20 N° 01 (Lez. 11)

Descrivere e disegnare alcune curve di taratura che diverse da quelle lineari, per esempio bilineare, parabolica o

sigmoide

1) Curva di taratura bilineare-> se la distribuzione delle coppie ingresso-uscita (q , q )

I O

ottenuta durante la taratura statica si presenta come nel seguente grafico:

Essa non è approssimabile mediante una singola retta ricavata con la tecnica della regressione ai minimi quadrati, ma sono necessarie 2

rette interpolanti diverse nei 2 intervalli consecutivi, ossia:

Si dice dunque che la curva di taratura è bilineare, e si ha complessivamente: un’incertezza di

Tale distribuzione presenta linearità a percentuale della lettura

costante (A).

lOMoAR cPSD| 9679654

2) Curva di taratura parabolica-> se la distribuzione delle coppie ingresso-uscita (q , q )

I O

ottenuta durante la taratura statica si presenta come nel seguente grafico:

lOMoAR cPSD| 9679654

Essa non è approssimabile mediante una retta ricavata con la tecnica della

regressione ai minimi quadrati, ma è necessaria una polinomiale (che nel caso della distribuzione in esame risulta essere una parabolica). Tale

distribuzione presenta un’incertezza di linearità a percentuale del fondo scala (B).

3) Curva di taratura sigmoide-> se la distribuzione delle coppie ingresso-uscita (q , q )

I O

ottenuta durante la taratura statica si presenta come nel seguente grafico:

Essa non è approssimabile interamente mediante una retta ricavata con la tecnica della regressione ai minimi quadrati, ma soltanto

nell’intervallo centrale, ossia:

un’incertezza

Tale distribuzione presenta di linearità combinata A+B. lOMoAR cPSD| 9679654

Pag. 21 N° 01 (Lez. 12)

Riportare l'equazione del modello generale di uno strumento di misura e descrivere

il significato di funzione di risposta in frequenza

- L’equazione del modello generale di uno strumento di misura è

Equazione del modello generale di uno strumento di misura:

un’equazione diferenziale lineare a coefficienti costanti della seguente forma:

d q

n O d q

m I

a + a d q d q

+ b

n-l m-l

O I

n m-l

dt

n-l

dt m

n + ⋯ + a q = + ⋯ + b q

dt dt

n-l o O o I

m-l

b

m n d

n

D =

l’operatore

Sostituendo dunque diferenziale si ottiene:

dt

(a D + a D + ⋯ + a )q = (b D + b D + ⋯ + b )q

n n-l n n-l

n n-l o O n n-l o I

O I i i

Dove i termini q e q sono funzioni del tempo, mentre i termini a e b sono costanti reali dipendenti dalle caratteristiche del sistema in

oggetto.

In definitiva è dunque possibile ricavare la legge che mette in relazione l’uscita con l’ingresso come quest’ultime, detta

rapporto di

Funzione di Trasferimento Operazionale, ossia:

q b D + b D + ⋯ + b

n n-l

n n-l o

O (D) = a D + a D + ⋯ + a

n n-l

n n-l o

q

I l’uscita dell’ingresso

E dunque per ricavare in funzione si usa:

b D + b D + ⋯ + b

n n-l

n n-l o n-l

q = ∗ q

O I

o

a D + a D + ⋯ + a

n-l

n

n

- Funzione di risposta in frequenza: La funzione di risposta in frequenza (od anche detta funzione di trasferimento sinusoidale) di un

sistema avente Funzione di Trasferimento Operazionale:

q b D + b D + ⋯ + b

n n-l

n n-l o

O (D) = a D + a D + ⋯ + a

n n-l

n n-l o

q

I jω,

Si ottiene sostituendo D= ossia:

q

O (jω) q b (jw) + b (jw) + ⋯ + b

I n n-l

n n-l o

= a (jw) + a (jw) + ⋯ + a

n n-l

n n-l o

Che rappresenta in sostanza la risposta del sistema ad un ingresso sinusoidale del tipo:

q = A e

jwt

i i lOMoAR cPSD| 9679654

Da cui:

Dq = d(A e )

jwt

i dq dt i jwt

= i

= jwq → D = jw

i =

dt i

jwA e

La funzione di risposta in frequenza può essere inoltre espressa in termini di ampiezza e fase:

q q

O O

A∠ → (jw) ∠ (jw)

q q

I I

Dove: q

O

A = (jw)

- l’ampiezza

è (o modulo) equivalente al valore assoluto del rapporto tra le

q

l

dell’uscita dell’ingresso;

ampiezze e lOMoAR cPSD| 9679654

q

O O I

= ∠ (jw) = −

- dell’uscita

è la fase equivalente alla diferenza tra la fase e

q l

dell’ingresso.

quella

Pag. 22 N° 06 (Lez. 13)

Descrivere il procedimento per ricavare la funzione di risposta in frequenza di un sensore del I ordine e

riportarne il grafico in termini di ampiezza e fase

Un sensore del I ordine è un sensore che dal punto di vista dinamico può essere descritto dalla seguente equazione diferenziale lineare a

da un’equazione diferenziale in cui i

coefficienti costanti del I ordine, ovvero termini di ordine superiore al I si annullano, ossia:

dq O

a + a q = b q

o I

dt

l o O 0

Dividendo entrambi i membri per a si ottiene: b (1)

o

a dq = q

+ q

l O

a dt

o a

O I

o

Dove: è la

b

o

K = COST

ANTE DI

a

l

a r =

o SENS

a IBILIT

o r

A

STATI

CA è la

COST

ANTE DI

lOMoAR cPSD| 9679654

TEMP O

l’operatore

Volendo dunque sostituire alla (1) i suddetti simboli e sostituire anche

n d

n

D =

diferenziale , si può scrivere:

dt

rDq + q = Kq → q (rD + 1) = Kq

O O I O I il rapporto tra l’uscita e l’ingresso, ossia:

Da cui si ricava la Funzione di Trasferimento Operazionale del sensore del I ordine come

q K

O

G(D) = (D) =

q rD + 1

I

Se il sensore viene sottoposto ad un ingresso canonico sinusoidale si ricava la Funzione di

jω,

Risposta in Frequenza, sostituendo D con per cui:

q K K

O

G(jw) = (jw) = = ∠arctg(−rw) 2 2

I

q jrw + 1 √r w + 1 Volendo infine

rappresentare tale risposta in termini della sua ampiezza adimensionalizzata rispetto a K e della sua fase, in

funzione della frequenza

jω,

adimensionalizzata si ottengono i seguenti grafici: lOMoAR cPSD| 9679654 Nell’intervallo rossa, l’ampiezza vale 1 e

tra lo 0 e la linea

pertanto per qualsiasi valore della frequenza, l’uscita si

dall’ingresso

ottiene a meno della costante di sensibilità

statica K; la fase invece ha un andam