Paniere di Matematica e statistica

INTEGRALI INDEFINITI E INTEGRAZIONE

85. L'integrale indefinito ∫(x²+√x)/x dx è uguale a ax²/2+2√x +c

86. L'integrale indefinito ∫e^x2+x (2x+1) dx è uguale a e^x2+x+c

87. L'integrale indefinito ∫(3√x²+4√x³) dx è uguale a 3/5 3√x⁵+4/7 4√x⁷+c

88. L'integrale indefinito ∫x ln(x) dx è uguale a ax²/2 (lnx-1/2)+c

89. L'integrale indefinito ∫x sinx dx è uguale a -x cosx+sinx+c

90. L'integrale indefinito ∫x e^-x dx è uguale a -(x+1)e^-x+c

91. L'integrale indefinito ∫x/(x²+x-2) dx è uguale a 1/3 ln|x-1|+2/3 ln|x+2|+c

92. L'integrale indefinito ∫1/(x+2)² dx è uguale a -1/(x+2) +c

93. L'integrale indefinito ∫2/(2x-1) dx è uguale a ln|2x-1|+c

94. L'integrale indefinito ∫√(16-x²) dx è uguale a 8 arcsin(x/4)+x/2 √(16-x²)+c

95. L'integrale indefinito ∫1/√(4-x²) dx è uguale a arcsin(x/2)+c

L'integrale definito da -2 a 2 di |x| è uguale a 4.97.

L'integrale definito da -π/4 a π/4 di tan(x) è uguale a 0.98.

L'integrale definito da -1 a 1 di e-x è uguale a ae-1/e AREE E VOLUMI99.

Il solido ottenuto ruotando il grafico di y=x^2+1, con -1≤x≤1, attorno all'asse x ha volume uguale a 56/15π100.

L'area racchiusa dai grafici di f(x)=ex, g(x)=e-x, la retta x=-1 e la retta x=1 è uguale a 2e+2/e -4101.

L'area racchiusa dalla retta y=x-3, gli assi cartesiani e la retta x=9 è uguale a 45/2 INTEGRALI IMPROPRI102.

L'integrale improprio da 1 a +∞ di (x+2)/(3x^2+2x) diverge a +∞103.

L'integrale improprio da 0 a 1 di sinx/x^(3/2) converge a un valore positivo104.

L'integrale improprio da 1 a +∞ di 1/(x√x) converge a un valore positivo DIFFERENZIALI105.

Il problema di Cauchy y'=yx, y(0)=1 ha soluzione y(x)=ex^2/2106.

L'equazione differenziale y'=e-yx ha soluzione y(x)=ln(x^2/2 +c),

c∈R107. Il problema di Cauchy y'=y2x2, y(0)=1 ha soluzioney(x)=3/(3-x3)

108. L'equazione differenziale lineare y'+xy=2x ha soluzioniy(x)=2+ce-x2/2, c∈R

109. L'equazione differenziale lineare y'+y/x=x2 ha soluzioniy(x)=x3/4 +c/x, c∈R

110. L'equazione differenziale lineare y'+ysin(x)=sin(x) ha soluzioniy(x)=cecosx+1, c∈R

111. L'equazione differenziale y''+4y'+4y=0 ha soluzioniy(x)=c1e-2x+c2xe-2x, c1, c2∈R

112. L'equazione differenziale y''+2y'-3y=0 ha soluzioniy(x)=c1ex+c2e-3x, c1, c2∈R

113. L'equazione differenziale y''+2y'+2y=0 ha soluzioniy(x)=c1e-xcosx+c2e-xsinx, c1,c2∈R

114. L'equazione differenziale y''-2y'+y=3x ha soluzioniy(x)=c1ex+c2xex+3x+6, c1, c2∈R

115. L'equazione differenziale y''+y'-6y=ex ha soluzioniy(x)=c1e2x+c2e-3x-1/4 ex, c1,c2∈R

116. L'equazione differenziale 2y''+2y'+y=x2 ha soluzioniy(x)=c1e-xcosx+c2e-xsinx+x24x+4,

1. c1, c2∈RVETTORI
2. Quale dei seguenti vettori è un versore? v=(√2/2, -√2/2, 0)
3. Sia v=(2, -3, -2) e k=1/2. Allora k*v=(1, -3/2, -1)
4. Siano v=(2, -1, -1) e w=(0, 1, 3). Allora il prodotto scalare v•w è uguale a -4
5. Quale tra le seguenti matrici è una matrice simmetrica?

   1 0 3
   0 2 -2
   3 -2 -1
   

6. Sia A una matrice diagonale 2x2 e sia B una matrice diagonale 3x3. Allora la matrice A+B non esiste
7. La trasposta della matrice A=

   5 -1 1
   2 -4 6
   

   è la matrice AT=

   5 2
   -1 -4
   1 6
   

8. La matrice A=

   -3 1 6
   2 -2 1
   

   è singolare
9. La matrice A=

   1 0 -1 0
   0 2 1 1
   1 1 -1 0
   -1 -1 0 0
   

   ha determinante uguale a -1
10. La matrice A=

    1 2 1
    -1 0 2
    1 4 1
    

    ha determinante uguale a -6
11. La matrice A =

    -2 1 1
    -1 1/2 1/2
    -4 2 2
    

    ha rango 1
12. Una generica matrice 4x4 può avere al massimo rango 4
13. La matrice A=

    1 0
    -1 2
    -1 0
    -2 4
    

    ha rango 2
14. Data la matrice A=

    1 -2 -3
    2 0 1
    -1 1 1
    

    siano v1, v2 e v3 i vettori le cui coordinate sono rispettivamente

ugualialle entrate della prima, della seconda e della terza colonna di A. Allorai tre vettori sono linearmente indipendenti in R3130.

I vettori v=(2, -1, 0), w=(-1, 1, 1) e u=(3, -2, -1) in R3 sonolinearmente dipendenti131.

Dati i vettori v=(1, 1, 1) e w=(-2, -2, -2) in R3,è possibile trovare una loro combinazione lineare nulla con coefficienti non tuttiuguali a zero SISTEMI LINEARI132.

Il sistema lineare x+y-z=12x-y =-1x+2z =0èdeterminato133.

Il sistema lineare x+2y-3z=02x-y =0ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro134.

Il sistema lineare 2x-y=13x+y=0x-2y=0non ammette soluzione135.

La trasformazioneL(x,y,z)=(2x-y-z, x+3y+z)è una trasformazione lineare da R3 in R2136.

Sia A = 1 1-3 25-14 0La trasformazione lineare L(v)= Av è una trasformazioneda R2in R4137.

La trasformazione lineareL(x, y, z)=(2x-2y, x+y+z)ha nucleoKer(L)={(x, y, z)∈R3: 2x-2y=0, x+y+z=0}STSTISTICA138.

I dati X={1,2,1,-3,0,-1,2,2,0,-3} presentano una distribuzioneunimodale139.

Raccolti i dati, è possibile calcolare la moda per A, B e C; la mediana e la media aritmetica solo per B.