Macchine e sistemi energetici

F

Q= S *F sull’elemento

Per cui applicato nel sistema in oggetto non appena la massa sismica andrà a comprimere piezoelettrico si genererà ai suoi

0 0

capi una tensione e proporzionale allo spostamento x che la compressione ha generato sulla faccia superiore del piezoelettrico.

l’amplificatore,

Considerando oltre al cristallo anche i cavi e si ottiene che il circuito equivalente è il seguente:

con: R ∗

ampl

R R = R +

cr ampl

R cr cr cavo

Dove si è trascurata la resistenza del cavo. C= C +C

Essendo dunque il cristallo un generatore di cariche:

Q = k *x

cr q 0

q

Con k la sensibilità del cristallo.

Il flusso delle cariche generate dal cristallo provocherà un flusso di corrente nel circuito dato da:

i = dQ /dt= k *dx /dt

cr cr q 0

l’equazione

Per di equilibrio al nodo 1 si può scrivere che:

i = i + i de e

o o ∗ dx

= C ∗ + = k o dt

dt R

cr e R q

l’operatore

Sostituendo differenziale D= d/dt si ottiene la seguente:

e R q

1

q

o o

C ∗ De + = k R (C ∗ D + )

o o

∗ Dx → e = k ∗ Dx

o

Da cui si nota il sistema è del I ordine. 0 0

Dall’ultima dell’elemento l’uscita l’ingresso

equazione si può quindi ricavare la funzione di trasferimento operazionale piezoelettrico come rapporto tra e e x :

Rk D

e k ∗ D (1)

q

o q

(D) = =

x 1 RCD + 1

o C ∗ D +

R

Ponendo le costanti:

q τ=

K= k /C Costante di sensibilità statica RC Costante di tempo

La (1) diventa:

e k ∗ D τKD

o q

(D) = =

x 1 τD + 1

o C ∗ D +

R dell’intero

Adesso è possibile ricavare la funzione di trasferimento globale sistema sensore:

τKD τKD

1 w

2

e w

2

o n ∗ = n

(D) = τD + 1 2(D

x + 1) (τD + 1)

l D 2(D D

2 + + 2

w

w 2 w

w

n n

( +

2

n

1

n

jω

Da cui sostituendo D= si ottiene la funzione di risposta in frequenza:

ω

jτK

e w

o n2

(D) = ω ω

2

x

l (− + j2( + 1) (jωτ + 1)

w w

2

n n

La risposta in bassa frequenza è limitata dalle caratteristica dinamica (t) del cristallo piezoelettrico. La risposta in alta frequenza è limitata dalle caratteristiche dinamiche del sistema inerziale

n

(ω ).

Di seguito infine i grafici in termini di ampiezza e fase della funzione di risposta in frequenza:

Pag. 37 N° 03 (Lez. 27)

Descrivere il significato di vibrazione e la differenza nel trattarla in termini

di spostamento, velocità o accelerazione

un’oscillazione d’equilibrio.

Una vibrazione è meccanica attorno ad una posizione Il moto oscillatorio può essere periodico ad una singola frequenza f, a più frequenze oppure può essere

casuale. Le vibrazioni possono essere dei fenomeni di disturbo in alcuni casi come ad esempio nelle macchine rotanti sbilanciate, oppure essere prodotte intenzionalmente come nei

diapason, nei compattatori di cemento o nei martelli pneumatici.

Analizzando le componenti spostamento (ampiezza) (proximity, LVDT, ecc.), velocità (vibrometri laser) ed accelerazione (accelerometri) di una vibrazione si può evincere che:

l’ampiezza

1) di vibrazione in termini di spostamento accentua le componenti a bassa

frequenza rispetto a quelle ad alta frequenza;

l’accelerazione

2) enfatizza le componenti ad alta frequenza a svantaggio di quelle a bassa

frequenza;

3) la velocità invece concede la stessa importanza a tutta la scala in frequenza in quanto è

un parametro cinetico quindi energetico: vibrazioni a frequenze diverse sono equivalenti

se hanno la stessa energia di vibrazione.

Di seguito un grafico che evidenzia quanto appena detto: Conviene quindi per misure di vibrazioni a bassa frequenza (< 10Hz) misurare lo spostamento (ampiezza), per

quelle ad alta frequenza (> 1kHz) conviene rilevare le accelerazioni mentre per frequenze comprese tra questi

valori conviene sempre misurare la velocità.

Una volta misurato dunque 1 dei 3 parametri citati sopra si può quindi ricavare gli altri 2 mediante gli operatori matematici integrale e derivata, infatti:

1) Misuro lo spostamento-> Derivata-> Velocità-> Derivata-> Accelerazione:

2) Spostamento <-Integrale <-Misuro la velocità-> Derivata-> Accelerazione

l’accelerazione->

3) Misuro Integrale-> Velocità-> Integrale-> Spostamento

MANCA LA FIGURA Accelerazione-> INTEGRALE-> Velocità

Pag. 38 N° 06 (Lez. 28)

Descrivere il principio di base di un estensimetro per la misura di

deformazione monoassiale

Un estensimetro è un sensore atto alla misura di una deformazione. Il principio che sta alla base del concetto di misura di una deformazione monoassiale mediante un estensimetro è il

seguente: 0 0

supponiamo di avere una barra cilindrica di diametro D e lunghezza L sottoposta ad una sollecitazione di trazione N, in essa si noterà:

ΔL=

- un allungamento L -L , dove L è la lunghezza finale mentre L quella iniziale;

1 0 1 0

“assottigliamento” ΔD=

- una della barra, o strizione (negativa), D -D , dove D è il

1 0 1

diametro finale, mentre D è quello iniziale.

0 0 0

l’allungamento ΔL ΔL=

Secondo le ipotesi dl De Saint Venant, si può scrivere che equivale a: (N*L )/(S *E)

2

0 0 0 0

πr π(D 2

Dove: - S è la sezione della barra e vale: S = = /2)

- E è il modulo di Young o modulo elastico che esprime la propensione del materiale ad

dell’azione

allungarsi od ad accorciarsi a seguito di una forza rispettivamente di trazione o

di compressione.

La barra ha subito quindi una deformazione assiale unitaria pari a:

N ∗ L

o [

m

∆L S ∗ E L

E = = 4 ∗ N

o o N

N =

=

= ]

m

rr ∗ E ∗

S ∗ E o

o o

rrD

2

L ∗E

a o 2

D

4

Ed una deformazione trasversale unitaria pari a: o

N ∗ L

o

N ∗ L rrD

2

∆D S ∗ E 4 ∗ N ∗ L 1 4 ∗ N ∗ L m

o o

∗ E

o 4 D

= o

E = D rr ∗ E ∗ D

2

=

t o o

= rr ∗ E ∗ D

3

D

o ∗ =

D o [ ]

m

o o

Entrambe legate dal coefficiente di Poisson:

|E |

v = t

|E |

a

Pag. 39 N° 04 (Lez. 29)

Descrivere il principio di funzionamento di un estensimetro a resistenza per la misura di

deformazione. Ricavare la prima legge fondamentale che lega la deformazione alla variazione di

resistenza.

Un estensimetro a resistenza è un sensore atto alla misura di una deformazione. Generalmente esistono 2 tipologie di tale dispositivo, ovvero gli estensimetri a resistenza a filo e quelli a foglio,

ma entrambi basati funzionalmente sulla 2° legge di Ohm.

Infatti tale legge afferma che:

L

R = p ∗ S

ρ [Ω*m];

Dove: - è la resistività del materiale

- L è la lunghezza della resistenza [m];

2

- S è la sezione della resistenza [m ].

l’estensimetro

Se dunque si incolla sul pezzo del quale si vuol misurare la deformazione assiale, si avrà che allorquando il

l’estensimetro

pezzo si deformerà, perché sottoposto ad una sollecitazione N, anche subirà delle sollecitazioni.

l’elemento dell’estensimetro ρ, πr π(D/2)

2 2

Per cui se ipotizzo che sensibile sia un filo conduttore di resistività lunghezza L e sezione S= = , di resistenza dunque pari a:

L

R = p ∗ (1)

S

1 0 1

ΔL=

si avrà che il filo si sarà allungato di una quantità L -L , dove L è la lunghezza finale

0 1 0 1 0

“assottigliato” ΔD=

mentre L quella iniziale, ed allo stesso tempo si sarà (strizione) di una quantità D -D (negativa), dove D è il diametro finale, mentre D è quello iniziale.

Il filo ha subito quindi una deformazione assiale unitaria pari a: [

m

∆L

E = ]

m

L

a o

Ed una deformazione trasversale unitaria pari a: [

m

∆D

E = ]

m

D

t o

Entrambe legate dal coefficiente di Poisson:

E

t

v = −

E

a

Derivando la (1) si ottiene che: oR oR oR L p pL

dR = dp ∗ + dL ∗ + dS ∗ = dp ∗ + dL ∗ − dS ∗

op oL oS S S S

2

Dove al 2° membro sono state operate le derivate parziali perché tutti e 3 i parametri

variano a causa della deformazione.

ρ*L/S

Dividendo ambo i membri per R= si ottiene che: pL

p

L ∗

∗

∗ dS

dL

dp L pL

p −

∗ ∗

∗ ∗

+ dL

dR = dp dS

= S S −

+ S S S

∗

∗ 2

S

pL S

S

pL

S pL

p p 2

L L r

r

p L

S S D

S =

d

d p

D

+

d L

−

d S

=

d p

+

d rr L −

p r2 F

R

2

∗

L rd

4 → =

E

D

− =

2

= fa

1 tt

d S − or

p

d p 2 e

∗

+ di

= L D

dp E

t ta

e

p

d

d passa ndo =

Da ra

L 1 tu

cui trasc +

− ra

uran 2v →

= a

R

p do la alle

2 varia differ enze E

t a

finite si

r zione E

a

r

+ della ∆R = F ∗ E

D

resis 1

tività

d ∗ = F ∗ E → E = ∗

ottie ∆R

L ne

d che:

D 1°

∆R

− relazione fondamen

tale degli estensime

tri

∗

= a

R

4 − F R

4

∆L

2 ∗

=

∆D

d p R L Dove il fattore F=

arctg(α), detto anche

Gage Factor,

D

+

p 2 Dove a t

ε ε

sostituendo ed si

L

L d

S L p ha: può variare

∆ R

∆

r L tra 1,9 e 4.

r =

− R

4

D E

Pag. 40 N° 06 (Lez. 30)

Descrivere il principio di funzionamento di un estensimetro a resistenza per la misura di

deformazione. Ricavare la seconda legge fondamentale che lega la deformazione alla tensione in

uscita da un ponte di Wheatstone. Considerare il caso di un ponte intero.

NOTA) Per la descrizione del principio di funzionamento di un esten