Macchine e sistemi energetici

Corso di

Macchine e Sistemi Energetici

Prof. Lucchini Tommaso

POLITECNICO MILANO 1863

dL = dL_rev - dL_w

dL_rev = pdV   dL_w = lavoro d’attrito

Primo Principio

dU = dq - dL = (dq_rev - dL_rev) = dq - pdV + SL_w

    → dq = du + pdV   dq = dL_w

Entropia

dS = ^dq/_T   - ∫₁² dq = ∫₁² dq

→ dy = T Δ S

→ du = Tds - PdV   funzione generatrice legate allo stato del sistema (viste dall’interno)

dU = du - de   funzione scambi di energia tra sistema e ambiente (viste dall’esterno)

du = dq - pdV + SL_w

du = Tds - PdV

Tds = dq + dL_w   colore scambiato e dispendium hanno lo stesso effetto sul sistema

Entalpia:

h = U + PV

Unisce grandezze termiche (U) e meccaniche (pV)

dh = du + pdV + vdp   = Tds - [dq] + dq + dL_w + Vdp = Tds + Vdp

dL =   dq + SL_w + vdp   informazioni termiche   trasformazion meccaniche

Macchina operatrice

q_l + w_l²/2 - w₂²/2 + g(z₂-z₁) = q_l + q

Rapporto i termini termici: (h₂-h₁)=g(z₂-z₁)+l

Cerco una relazione tra i termini termici e meccanici: dQ=ṡ_w dq + s_w ; Tds= l_w + pdv ; Tds=dQ = dQ

h₂-h₁=q_l -Δp

Relazione corretta: (h₂-h₁)-q = l_w + ∫¹₂ vδp

Ottenuto quindi:

• l - l_w = g(z₂-z₁) + w₂² - w₁² + ∫¹₂ vδp

Operatrici C³

Equazione di conservazione dell'energia - formuazione meccanica

Macchina motrice

q_l + l_w = g(z₂-z₁) + w₂² - w₁² + ∫¹₂ vδp

Se si considera il caso particolare di un fluido incomprimibile

L'equazione di conservazione dell'energia in formulazione idraulica si può semplificare ottenendo l'equazione di Bernoulli

Se incomprimibile ρ=cost => ∫¹₂ vδp => v∫¹₂ = 1/ρ(P₂-P₁)

Equazione di Bernoulli:

l - l_w = g(z₂-z₁) + W₂² - W₁² + P₂ - P₁/ρ

NB:

Nel fluido incomprimibile effetti termici e meccanici sono disgiunti.

Nel fluido comprimibile effetti termici e meccanici sono legati: infatti il termine ∫vδp dipende dalla temperatura.

CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA NEL MOTO RELATIVO

ENERGIA TOTALE NEL SISTEMA RELATIVO:

l_rel = q + φ + ^W2_r/ ₂

ENTALPIA cinetica POTENZIALE gravitazionale POTENZIALE centrifuga

NEL MOTO RELATIVO ➔ lavoro esterno nulla

q_h = (h₂ + ^W2₂/ ₂) - (h₁ + ^W2₁/ ₂)

DEFINITA COSI' LA POTENZIA

H = h + φ + ^W2/ ₂

IN BASE TRASFORMAZIONI φ=0 (ISOBARICHE) ➔ LA POTENZIA SI CONSERVA

RICORDANDO L'EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA IN MOTO ASSOLUTO

(q_h + ^{V2_r + W2₂} / ₂ ) - (h₂ + ^{V2_r + W2₂}/ ₂) = :q

Q = (q_h + ^{V2_r + W₂ = GZ₂} / ₂ ) - (h₁ + ^{V₁ + GZ₁} / ₂) - q

UGUALIANDO LE Q POSSIMO OTTENERE LA FORMULA INDIRETTA DEL CALCOLO DEL LAVORO

= ^{V₂ - V₁}/ ₂ + ^{U₂ - U₂}/ ₂ - ^{W₂ - W₁}/ ₂ MACCHINA OPERATRICE

VARIAZIONE energche (motore assoute)

VARIAZIONE binnore nali (motore massimo)

VARIAZIONE energetiche (combustione)

[ = ^{V₂ - V₂}/ ₂ + ^{U₁ - U₂}/ ₂ - ^{W₁ - W₂}/ ₂] MACCHINA MOTRICE

PUNTO DI FUNZIONAMENTO DELL'IMPIANTO

Il punto di funzionamento dell'impianto è dato dalla coppia di valori che soddisfano la seguente relazione:

H_p(Q) = H_R(Q)

Ovvero il punto di intersezione tra curva caratteristica della pompa e dell'impianto.

REGOLAZIONE DELL'IMPIANTO

Uso una valvola, che introduce delle perdite aggiuntive (imposte alla circolazione), modificando la curva caratteristica dell'impianto, consumando però più energia:

H_R = z₃ - z₀ + ^{P₂ - P₀}/_γ + V²₁ - V²₀/(2g) + Y_T + Y_valvola(θ)

Y_v(θ) = perdita della valvola in base all'apertura (θ)

Y_v(θ) = (ξ_v(θ)) V²/(2g)

MODO ALTERNATIVO: VARIAZIONE DELLA VELOCITÀ DI ROTAZIONE

M = n/n° g/g°

M L M L M L

Ciò è possibile solo se la pompa è trascinata da:

• Motore a combustione interna
• Motore a corrente continua
• Motore trifase con inverter

La curva caratteristica esprime una prevalenza unitaria nella prevalenza alla portata che risente dalla geometria della palatura.

Q = cost

A parità portata e quindi pari V₂c , V₂e e quindi il lavoro assorbito all'autotrasformatore di β₂.

Q variabile:

Pale in avanti: l↑ q↑

Pale radiali: l = cost

Pale all'indietro: l↓ q↑

V₂ β₂ > 0

β₂ = 0

V₂ ↓

β₂ < 0

β₂ = 0

Tiglioel planimetrato

Alto livello specifico

Caso reale

H = ^m/_g V₂ (U₂ + ^Q/_l t_g β₂ )

H = ^M/_g l

y = y_conc + y_disric

Il pendimento dipende dalle perdite perché ^Q/₂

y_conc = perdite concentrate

y_disric = perdite dfistribuite

Accoppiamento Macchina-Impianto: NPSH

Nelle pompe la cavitazione limita l'altezza di aspirazione \(h_A\).

Dobbiamo studiare cosa succede nel foro di aspirazione tra \(O\) e \(A\).

La cavitazione può essere evitata principalmente attraverso la limitazione di \(h_A\).

\(h_A = z_A - z_O\)

Scrivo equazione di conservazione dell'energia tra \(O\) ed \(A\) (Bernoulli)

\(\frac{P_O}{\rho g} + z_O = \frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} + z_A + \frac{Y_A}{g}\)

Ottenuto quindi:

\(h_A = z_A - z_O = \frac{P_O}{\rho g} - \frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_O^2}{2g} - \frac{Y_A}{g}\)

Solitamente però il punto a minima pressione non si trova nell'ingresso \(A\) ma all'interno della macchina dove il liquido viene accelerato (girante, diffusore...)

Chiamato \(\Delta P_p\) la caduta di pressione tra ingresso e punto di minima pressione.

Per evitare la cavitazione deve valere questa condizione:

\(P_A - \Delta P_p \geq P_V + P_{sol}\)

con \(P_V =\) pressione di vapore (o tensioni)

\(P_{sol} =\) pressioni parziali gas disciolti

\(P_A =\) pressione di aspirazione

Quindi \(P_A\) minima deve essere:

\(P_A \geq P_V + P_{sol} + \Delta P_p\)

Sostituendo nell'espressione di \(h_A\) otteniamo il valore massimo possibile di \(h_A\) senza cavitazione:

\(h_{A max} = \frac{P_O}{\rho g} - \left(\frac{P_V}{\rho g} + \frac{P_{sol}}{\rho g} + \frac{\Delta P_p}{\rho g}\right) + \frac{V_O^2}{2g} + \frac{Y_A}{g}\)