Geomatica

QUALSIASI RAPPRESENTAZIONE DELL’ELLISSOIDE SUL PIANO È DEFORMATA

Le rappresentazioni utili nella pratica dovranno avere deformazioni contenute entro

determinati limiti e si dovrà tener conto del fatto che le deformazioni sulla carta varieranno

da punto a punto. Per caratterizzare le deformazioni bisogna riferirsi ad elementi infinitesimi

e ricavare quelle di elementi finiti tramite integrazione.

Le deformazioni delle figure trasformate tramite le equazioni della carta vengono espresse

mediante i moduli di deformazione. Per conoscere le caratteristiche di una rappresentazione

cartografica è necessario e sufficiente esaminare il comportamento dei moduli di

deformazione. Abbiamo un modulo di deformazione lineare ml, un modulo di deformazione

areale mA e un modulo di deformazione angolare delta.

Il modulo di deformazione lineare ml = dsr/dse rapporto fra lunghezze di arco infinitesimo

sulla rappresentazione (carta) e corrispondente arco infinitesimo sull’ellissoide.

Il modulo di deformazione areale mA = dsigmar/dsigmae rapporto tra area infinitesima sulla

rappresentazione e corrispondente area infinitesima sull’ellissoide.

Il modulo di deformazione angolare delta = alfa’ – alfa. Differenza fra l’azimut della

trasformata di arco e meridiano sulla rappresentazione e corrispondente angolo tra arco e

meridiano sull’ellissoide.

56.16 Descrivere le carte in base al loro modulo di deformazione

“Proiettare” su un piano la superficie terrestre, sferica, non è possibile senza deformarla. Le

carte geografiche sono perciò sempre approssimate e, in genere, vengono realizzate in modo

che venga rispettato esattamente uno (o due) dei seguenti elementi:

- gli angoli tra le diverse direzioni. Se il modulo di deformazione lineare m, pur variando da

punto a punto gli angoli rimangono invariati. Le carte che rappresentano esattamente gli

angoli tra le direzioni sono dette carte isogone o conformi. Sono importanti per la navigazione

aerea o marittima;

- il rapporto tra le superfici. Quando si conservano i rapporti fra aree infinitesime si hanno le

carte equivalenti, utili per indicare i confini tra diverse aree (proprietà , Stati ecc.);

- minimizzare tutte le deformazioni, senza annullarne nessuna (carta afilattica). se sono

presenti tutti i tipi di deformazione, ognuno dei quali è però mantenuto nei limiti più ristretti

possibili, rispetto all’errore di graficismo.

56.17 Come è definita una rappresentazione analitica.

Per stabilire la rappresentazione dell'ellissoide sul piano è necessario definire principalmente

le due funzioni che esprimono la corrispondenza biunivoca fra la posizione di un punto P

sull'ellissoide, data dalle coordinate geografiche fi e lambda, e la posizione del corrispondente

punto P' sul piano, data dalle coordinate piane ortogonali N ed Edette equazioni della carta o

equazioni di corrispondenza e le relative funzioni inverse.

Secondariamente si definiscono i moduli di deformazione in funzione di fi e lambda, o meglio

in funzione di N ed E. Infine si definisce il reticolato geografico ovvero la determinazione delle

linee che sulla rappresentazione indicano le trasformate dei meridiani e dei paralleli ed in

particolare la definizione dell'angolo gamma che la tangente alla trasformata del meridiano in

un punto P forma con l'asse N.

57.06 Descrivere la rappresentazione di Lambert.

Nella proiezione conica pura i meridiani si trasformano in rette formanti tra di loro angoli

proporzionale alle rispettive differenze di longitudine, mentre i paralleli si trasformano in

circonferenze concentriche il cui raggio è funzione della sola latitudine.

Lambert pensò di modificarla, in modo da ottenere una carta conforme, lasciando inalterata la

generazione proiettiva dei meridiani e modificando i raggi delle circonferenze, immagini dei

paralleli, tramite una relazione analitica funzione della sola latitudine.La Carta di Lambert è

una proiezione modificata derivata da una proiezione conica generalmente secante.Il modulo

di deformazione in tale carta è funzione solo della differenza di latitudine dal parallelo di

tangenza, che è equidistante, per cui è costante su ogni parallelo.Nella azimutale equivalente

di Lambert, che ha il punto di osservazione all'infinito, i meridiani sono rettilinei e

perpendicolari all'Equatore (sono semirette radiali a distanza costante, equidistanti su uno o

due paralleli base), i paralleli invece si infittiscono a mano a mano che si avvicinano al Polo, il

quale risulta essere un segmento e non un punto (sono archi di circonferenze concentriche a

distanza crescente verso i poli).

57.07 Perchè importante la rappresentazione di Mercatore?

La Carta di Mercatore è derivata dalla proiezione per sviluppo cilindrica retta, che si ottiene

proiettando su di un cilindro tangente all'Equatore il reticolo formato sulla sfera dai meridiani

e dai paralleli, adottando il centro della Terra quale punto di vista.

Lo scopo della rappresentazione del Mercatore fu quello di realizzare una mappa in grado di

agevolare il tracciamento di rotte nautiche lungo le superfici terrestri. Per fare ciò la terra

venne suddivisa in una serie di linee rette orizzontali (paralleli) e verticali (meridiani), e ogni

parallelo è tracciato in modo da tagliare tutti i meridiani sullo stesso angolo retto. In altre

parole, meridiani e paralleli si incrociano sempre a 90 gradi. Tale sofisticazione è in grado di

generare un sistema di coordinate per la navigazione: tracciata una “lossodromica” (linea

retta che taglia i meridiani) sarà possibile raggiungere una data destinazione mantenendo

costante l’angolo sulla bussola.

Se un vantaggio immediato dovuto alla proprietà di isogonia della carta è l’estrema e

sorprendente efficacia di un suo impiego in campo nautico, l’effetto collaterale che ne

scaturisce consiste, però , nella duplice perdita di equidistanza ed equivalenza.

La proiezione di Mercatore è quindi di grande importanza proprio per la proprietà che le linee

della longitudine, le linee della latitudine e le lossodromiche compaiono tutte come linee rette

sulla mappa.

57.8 Come si possono rappresentare in cartografia l’Antartide o l’Artico?

La proiezione stereografica polare è l'unica proiezione pura che mantiene la conformità ed il

suo utilizzo cartografico si manifesta nella realizzazione della cartografia delle calotte polari,

ponendo quindi il piano tangente ai polie con il centro di proiezione sull’altro polo, da cui

prende il nome di stereografica polare. In tale proiezione i meridiani sono rappresentati da

rette uscenti dall'origine delle coordinate cartografiche N ed E formanti tra loro angoli uguali

alle rispettive differenze di longitudine, mentre i paralleli si trasformano in circonferenze

concentriche con il centro nell'origine degli assi; i raggi di queste circonferenze sono

ovviamente maggiori dei raggi dei rispettivi paralleli e tale diseguaglianza aumenta

all'allontanarsi dall'origine degli assi a causa dell'aumento delle deformazioni. Il modulo di

deformazione può considerarsi uguale ad 1 nei dintorni del polo e tende ad aumentare col

diminuire della latitudine.

Questa rappresentazione viene utilizzata per latitudini maggiori a 80 gradi.

Un pregio fondamentale di tale carta è che la ortodromia tra due punti è rappresentata dalla

retta congiungente; unendo così i due punti sulla carta con una retta si possono misurare gli

angoli di rotta da tenere per seguire il percorso minimo e sono gli angoli, sempre diversi, che

la retta forma con i meridiani.

58.12 Descrivere la rappresentazione di Gauss.

Dato un sistema geodetico e scelta la rappresentazione che si intende adottare, ovvero

l'insieme delle due funzioni f e g, si procede al calcolo delle coordinate piane e ortogonali dei

vertici trigonometrici che costituiscono, l'ossatura sulla quale verranno appoggiati tutti i

rilievi relativi ad un dato territorio. La rappresentazione di Gauss, scelta per la cartografia

ufficiale italiana, si può inizialmente immaginare come derivata dalla proiezione dei punti dal

centro dell'ellissoide di riferimento su un cilindro tangente ad un meridiano, detto meridiano

centrale: in realtà la rappresentazione si ottiene unicamente con un procedimento

matematico (le funzioni f e g) e non attraverso un procedimento geometrico e proiettivo,

anche se, per la propria similitudine con la proiezione cilindrica, la rappresentazione di Gauss

viene definita cilindrica modificata o pseudocilindrica.

La cartografia di Gauss è conforme, e pertanto gli angoli misurati sulla carta corrispondono

perfettamente con i corrispondenti angoli misurati sul terreno; le lunghezze misurate sulla

carta sono invece deformate rispetto a quelle misurate sulla superficie di riferimento.

Osservando una proiezione di Gauss si può notare che la trasformata del meridiano centrale è

un segmento di retta, come questo venga rappresentato senza subire alcuna deformazione, e

come invece la deformazione cresca rapidamente allontanandosi dal centro. Per limitare le

deformazioni, le rappresentazioni cartografiche usualmente utilizzate limitano l'estensione

del fuso (porzione di ellissoide compresa tra due meridiani) che viene rappresentato in un

unico sistema.

58.13 Che cosa è la riduzione alle corde in cartografia?

Il cosiddetto piano di Gauss viene utilizzato in sostituzione dei calcoli geodetici sulla

superficie dell’ellissoide. Questi si riducono allora a semplici operazioni sul piano, con l'ausilio

della geometria analitica e della trigonometria piana. I risultati vanno però opportunamente

corretti tenendo conto per le distanze del modulo md. Per gli angoli è necessario tenere in

conto che si conservano, essendo la trasformazione conforme, gli angoli tra le geodetiche e gli

angoli tra le trasformate delle geodetiche; tale angolo non coincide però con l’angolo tra le

corde, che deve essere opportunamente corretto dell’angolo di riduzione alle corde.

Dato un arco di geodetica sull'ellissoide definito dai suoi estremi P1, P2, questo si rappresenta

nella carta di GAUSS in un arco di linea P1G, P2G.

Per tale arco di trasformata le lunghezza della corda P1G- P2G è praticamente uguale alla

lunghezza dell'arco di trasformata.

L'angolo che la tangente in P1G all'arco di geodetica trasformata forma con la corda è dato da:

epsilon12=1/(6*fi*N)*(N1-N2)*(2E1+E2)

analogamente l'angolo P2G

epsilon12=1/(6*fi*N)*(N2-N1)*(2E2+E1)

L'angolo epsilon si chiama RIDUZIONE ANGOLARE ALLA CORDA.

Gli angoli di riduzione alla corda crescono con la distanza dal meridiano centrale e, se questi

sono abbastanza piccoli e le geodetiche non eccessivamente lunghe, tali angoli possono essere

trascurati nelle operazioni topografiche di media precisione

58.14 Che cosa è la convergenza del meridiano?

Si chiama convergenza di un meridiano l’angolo gamma formato dalla tangente alla

trasformata del meridiano in un punto con la parallela all'asse delle ordi