Esercizi svolti di Algebra lineare

MATRICI:

Def: Siano m, n due numeri naturali non nulli. Una matrice m×n a coeff. reali (ℝ) è una tabella di m righe e n colonne che contiene m×n elementi di ℝ.

In forma generale, una matrice m×n a coeff. in ℝ si scrive nel seguente modo:

₁₁₁₂ ... _{1m 2122} ... _2m ... _m1m2 ... _mn A = (_i,j) i = 1, ..., m j = 1, ..., n

a_i,j è l'elemento di A che sta nella posizione (i,j) cioè nella i-esima riga e nella j-esima colonna.

ESEMPIO:

A = ^{-4 5 0 3/2 7 1/2 3 0 0 -2 1} ∈ H_3,4(ℝ)

_1,1 = -4, _1,2 = 5, _1,3 = 0 _1,4 = 3/2, _2,1 = 7, _2,2 = 1/2 _2,3 = 3, _2,4 = 0, _3,1 = 0 _3,2 = 0, _3,3 = -2, _3,4 = 1

Indichiamo con Mat_m,n(ℝ) l'insieme delle matrici m×n a coeff. su campo ℝ.

1) Se m≠n, la matrice si dice rettangolare.

B = ^{2 0 1/2 9 3 6 0 0 5} ∈ H_2,5(ℝ)

2) Se m=n, la matrice si dice quadrata. In questo caso, invece che scrivere Mat_m,m(ℝ) scriveremo Mat_m(ℝ): m è dell'ordine della matrice.

C = ^{√2 0 1 4 4 5 0 3 3 4 1/2 3/2 2 1 -1 -2} ∈ H₄(ℝ) → matrice di ordine 4

3) Se m=1 si parla di vettore riga.

D = (1 7 5 2 3) ∈ H_1,5(ℝ)

4) Se n=1 si parla di vettore colonna.

E = ^{4 1/3 5 2} ∈ H_4,1(ℝ)

5) Se m=n=1, la matrice (_2×1) si identifica direttamente con il numero reale _2×1.

Operazioni con matrici:

• Somma: Siano date A: (a_ij) ∈ M_m,n(ℝ) e B: (b_ij) ∈ M_m,n(ℝ) chiamiamo matrice somma di A e B la matrice C: A+B tale che C: {c_ij = a_ij + b_ij} V_i = 1, ..., m V_j = 1, ..., n Per esteso:

  A + B = (a₁₁ + b₁₁   a₁₂ + b₁₂   ...   a_1n + b_1n   ... )

             (a₂₁ + b₂₁   a₂₂ + b₂₂   ...   a_2n + b_2n   ... )

             (a_m1 + b_m1   a_m2 + b_m2   ...   a_mn + b_mn   ...)  ∈ M_m,n(ℝ)

  Esempio:

  A = ^{[-1 4 10][2/3 0 2/5][3/5 0 2/5]}

  B = ^{[4 8 7][0 -2 3/5][0 3/5 3/5]}

  A, B ∈ M_2,3(ℝ) → A + B ∈ M_2,3(ℝ)

  C = ^{[3 2 0][3/5 4/5 2][1/2 3/5 6]} ∈ M_2,3(ℝ)

• Oss:
  1. Controllare che le matrici da sommare abbiano lo stesso numero di righe e colonne, altrimenti la somma non è definita.
  2. La matrice di M_m,n(ℝ) a coeff. tutti nulli è detta matrice nulla, si indica con O e funge da elemento neutro della somma di matrici:
  A + O = A + O = A      ∀ A ∈ M_m,n(ℝ)
• Esempio:

  A = ^{[-1 4 10][2/3 0 2/5][3/5 0 2/5]}

  B = ^{[2 0 4][3 1 0][5 5 3]}

  C = ^{[3 2 3][1 2 6][1 2 3]}

  D = ^{[0 3][1/2 3/5][3/5]}

  Calcolare se possibile:   A + B  B - C  A + D  (B + C) - C  A - A

  B + C = ^{[5 2 6][4 3 6][6 7 6]}

  (B + C) = ^{[5 1 2][4 5 7][6 8 8]}

  A + C = ^{[2 6 6][0 4/5 1/5][4/5]}

• Prodotto di uno scalare per una matrice: Dato la matrice A: (a_ij) ∈ M_m,n(ℝ) e dato k ∈ ℝ (scalare) chiamiamo matrice prodotto dello scalare k per la matrice A la matrice D: (d_ij) ∈ M_m,n(ℝ) tale che d_ij = k · a_ij V_i = 1,..., m V_j = 1,..., n

  Se A = ^{[a₁₁ a₁₂ ... a_1n][a₂₁ a₂₂ ... a_2n] ... [a_m1 a_m2 ... a_mn]}, allora D = k·A = ^{[k·a₁₁ k·a₁₂ ... k·a_1n][k·a₂₁ k·a₂₂ ... k·a_2n]...[k·a_m1 k·a_m2 ... k·a_mn]}

Esercizio:

A: (1 0 5)(3 4 0)

B: (4 4)(0 8)(0 8)

C: (1 0)(-4 5)

D: (4 0 0)(2 2 2)

Calcolare se possibile: A·B, B·A, A·C, C·A, C·D, D·C

A·B = (1 4 9 4) (3 2 0 7) ∈ M_2,2(R)

C·A = (10 5)(8 0) ∈ M_2,2(R)

C·N = (25 8 1 29) (16 -5 1 10) (2 0 2 0) ∈ M_4,4(R)

C·D = (4 0 0) (17 16 16) (9 10 10) (2 0 0) ∈ M_4,3(R)

Potenza di una matrice:

Sia A ∈ M_n(R). Definiamo ricorsivamente la matrice A^r, con r ∈ N, r ≥ 2, nel modo seguente:

A^r = A·A^r-1

Esempio: r = 2 A² = A·A

r = 3 A³ = A·A²

Esempio: Data la matrice A = (-1 -1)(2 0) calcolare A³

A² = A·A = (-1 -1) (-1 -1) (2 0) (2 0) = (-4 -1)(2 2)

A³ = A·A² = (-1 -1) (-4 -1) (2 0) (2 2) = (-3 -4)(2 2)

ES:

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

q₁₁ = 1, q₂₂ = 5, q₃₃ = 9 diag. prin. q₁₃ = 3, q₂₂ = 5, q₃₁ = 7 diag. second.

Se A = (a_ij) ∈ Mat_mm(ℝ):

• A si dice triangolare superiore se a_ij = 0   ∀i > j

ES: A = 1 2 3 0 5 9 0 0 9

• A si dice triangolare inferiore se a_ij = 0   ∀i < j
• A si dice diagonale quando a_ij = 0   ∀i≠j

ES: A = 1 0 0 0 2 0 0 0 9

• A si dice simmetrica se A^t = A

ES: A = 1 2 3 2 5 8 3 8 9

oss: una matr. diagonale è sempre simmetrica: D^t = D

a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_m = Σ_i=1ⁿ a_i

Minore di una matrice

Sia A ∈ Mat_mn(ℝ). Definiamo minore di ordine p, con D ≤ min{m,n}, una matrice ottenuta da A togliendo m-p righe e m-p colonne.

2 x 3   p=2

Oss: Un minore di ordine p è una matrice quadrata di ordine p

Oss: In generale, esistono più minori di ordine p estraibili da una matrice