Domande e risposte test fine lezioni di Statistica

P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B)

Se due eventi A e B sono indipendenti allora:

P(A∩B)= P(A)P(B)

14 Variabili casuali

Una variabile casuale:

E' una funzione definita sullo spazio dei campioni

La funzione di ripartizione di una variabile casuale:

Esprime la probabilità che la variabile casuale assuma valori inferiori o uguali ad un

valore fissato

Una distribuzione di probabilità di una variabile casuale:

L'insieme delle coppie probabilità dei diversi valori possibili della variabile casuale

La funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta:

E' una funzioni a gradini non decrescente

Sia data una v.c X, se essa assume valori in corrispondenza di un insieme

numerabile allora X è:

Discreta

Una variabile casuale continua X:

Assume tutti i valori appartenti ad un intervallo

Affinchè una v.c X continua sia ben definità occorre che:

Il valore atteso E(b+X) è: (b è una costante reale):

E(b+X)=b+E(X)

Il valore atteso E(X+Y) è: (X e Y sono due varibili casuali):

E(X+Y)= E(X)+E(Y)

La Var (aX+b) è: a e b sono due costanti reali:

Var (aX+b)=a²Var (X)

15 Principali distribuzioni di probabilità

La variabile casuale uniforme discreta:

E' tale che ogni sua realizzazione è equiprobabile

La distribuzione della normale standardizzata:

Ha media uguale a 0 e varianza uguale 1

La distribuzione binomiale:

Può essere utilizzata per descrivere casi in cui gli esiti possibili di una prova sono solo

due

La distibuzione normale è:

E' simmetrica rispetto al valor medio

A quanto corrisponde l'area sotto la curva normale tra z=0 e z=1,2:

0,3849

A quanto corrisponde l'area sotto la curva normale tra z=0 e z=1,4:

0,4192

A quanto corrisponde l'area sotto la curva normale tra z=0,81 e z=1,94:

0,1828

La variabile casuale chi-quadrato:

Non può assumere valori negativi

La variabile casuale t di student:

Al tendere di n all'infinito la v.c t di student tende alla normale standardizzata

La variabile casuale F di Fisher-Snedecor:

Ha valore atteso E(F)= m/(m-2)

17 Campionamento e distribuzioni campionarie

Nel campionamento bernoulliano:

Ogni unità statistica può entrare a far parte più volte del campione

Nel campionamento bernoulliano:

I risultati delle estrazioni sono indipendenti

Da una popolazione composta da 5 unità statistiche ( A, B, C, D, E ) si voglia

estrarre, con ripetizione, un campione casuale di numerosità 2. Lo spazio

campionario è composto da:

25 possibili campioni

Da una popolazione composta da 4 unità statistiche ( A, B, C, D ) si voglia

estrarre, con ripetizione, un campione casuale di numerosità 2. Lo spazio

campionario è composto da:

16 possibi campioni

Da una popolazione composta da 4 unità statistiche ( A, B, C, D ) si voglia

estrarre, con ripetizione, un campione casuale di numerosità 3. Lo spazio

campionario è composto da:

64 possibili campioni

Una statistica è:

Una variabile casuale definita sui campioni

Una distribuzione campionaria è:

La distribuzione di probabilità di una statistica

La media della distribuzione della media campionaria:

Coincide con la media della popolazione

Quando la popolazione è infinita:

Lo schema di campiomento con ripetizione coincide con lo schema di campiomaento

senza ripetizione

Il teorema del limite centrale:

Afferma che al crescere di n la forma della distribuzione della media campionaria si

approssima alla forma normale

18 Teoria della stima statistica

Cosa si intende per stima puntuale:

La stima attraverso la quale si giunge alla determinazione di un solo valore numerico

per uno o più parametri della popolazione

Cosa si intende per stima intervallare:

La stima attraverso la quale si giunge alla determinazione di un intervallo, che include

il parametro stimato, con livello di confidenza 1-

Lo stimatore di un parametro:

È una variabile casuale

Si definisce stima:

Il valore assunto dallo stimatore per un dato campione

Uno stimatore corretto:

È tale che il suo valore medio coincide con il valore del parametro da stimare

Se lo stimatore è corretto:

EQM=Varianza dello stimatore

Lo stimatore varianza campionaria corretta:

Ha media pari al parametro da stimare

Uno stimatore si dice consistente:

Al crescere della numerosità campionaria, tende a concentrarsi sul parametro da

stimare

Uno stimatore corretto è più efficiente di un altro stimatore corretto del

parametro'teta'non noto se:

Se presenta varianza inferiore

Dati due stimatori T1 e T2 di uno stesso parametro:

Se entrambi sono non distorti, il confronto tra i due stimatori in termini di efficienza

può essere effettuato solo sulla base della varianza

19 Teoria della stima statistica-stima per intervalli

Un intervallo di confidenza è:

Un intervallo di valori che si ritiene contenga il vero parametro della popolazione con

una prestabilita "fiducia"

Una quantità pivotale è:

Una quantità che è funzione delle osservazione e del parametro del quale si vuole

costruire l'intervallo di confidenza, con la caratteristica che la sua distribuzione è nota

e non dipende dal parametro in esame

L'ampiezza dell'intervallo è tanta più elavata quanto più:

n è piccolo

Per la determinazione dell'intervallo di confidenza per la media di una

popolazione normale con varianza nota, si utilizza:

La distribuzione normale standardizzata

Per la determinazione dell'intervallo di confidenza per la media di una

popolazione normale con varianza non nota (n

La distribuzione t di student

Se la popolazione non è normale per il teorema del limite centrale, quando

n>30, si può costruire l'intervallo di confidenza:

Basato sulla distribuzione normale standardizzata

Per trovare l'intervallo di confidenza per la media di una popolazione

normale, si utilizza la t di student, anziché la normale standardizzata perché:

La varianza della popolazione non è nota

Si effettuano 60 misurazioni sperimentali da cui si evince una media

campionaria uguale a 33. Costruire un intervallo di confidenza al 90% per la

media della popolazione, la quale si distribuisce normalmente con varianza

pari a 115:

IC=[30,723; 35,277]

Supponiamo che la perdita di peso di n=16 pezzi di metallo, dopo un certo

intervallo di tempo, sia di 3,42 gr con varianza campionaria corretta pari a

0,4624. Costruire un intervallo di confidenza al 99% per la media della

popolazione di peso dei pezzi di metallo:

IC=[2,92;3,92]

Da una partita di bulloni metallici è stato estratto un campione di n=100

elementi e se ne sono trovati 20 difettosi. Costruire un intervallo di

confidenza al 95% per la proporzione p dei pezzi difettosi:

IC=[0,1216;0,2784]

20 Determinazione della numerosità campionaria

L'ampiezza A dell'intervallo di confidenza per :

In riferimento alla domanda 1 la numerosità n è uguale:

Quanto dovrebbe essere grande un campione per avere un intervallo di

confidenza al 95% per il contenuto medio di nicotina di una data marca di

sigarette, se il contenuto di nicotina ha una distribuzione normale con σ=8,5

mg e l'ampiezza dell'intervallo deve essere di 6 mg:

n=31

Una partita di pistoncini di freni presenta un diametroμ incognito; la

varianza del diametro dei pistoncini è invece nota e pari 0,01 cm. Si estrae

un campione di n=1000 pistoncini, sui quali si osserva un diametro medio

pari a 1,2 cm. Si calcoli l'intervallo di confidenza per μ ad un livello di

confidenza del 95%:

IC=[1,1938;1,2062]

In rifermento alla domanda 4 si calcoli l'ampiezza di tale intervallo:

0.0124

Nel caso di estrazione senza ripetizione la deviazione standard delle

frequenze campionarie è:

Nel caso di estrazione con ripetizione la deviazione standard delle frequenze

campionarie è:

L'ampiezza dell'intervallo di confidenza per una proporzione è:

Se la popolazione è sufficiente grande, o nel caso di estrazione con

ripetizionesi ha che:

Si vuole conoscere la proporzione di pezzi difettosi prodotti da una

macchina. Determinare la numerosità campionaria necessaria affinchè la

vera proporzione cada in un intervallo al 90%, tollerando un errore non

superiore al 3%:

n=751,67

21 La verifica delle ipotesi

Un ipotesi statistica è:

Un affermazione sulla distribuzione di probabilità di una variabile casuale

La verifica delle ipotesi:

Consiste nel formulare, sulla base di dati campionari, un giudizio che induca ad

accettare o rifiutare l'ipotesi nulla, con un prefissato livello di significatività

L'ipotesi parametrica riguarda:

I parametri caratteristici di una particolare distribuzione di cui si conosce la forma

analitica

Le ipotesi statistiche:

Si tratta due ipotesi alternative complementari e logicamente escludentisi

L' ipotesi statistica è semplice:

Se si assegna al parametro un valore puntale

Si commette un errore di prima specie:

Nel rifiutare l'ipotesi nulla quando in realtà è vera

Si commette un errore di seconda specie:

Nell' accettare l'ipotesi nulla quando in realtà è falsa

Cosa indica il livello di significatività:

La probabilità massima con cui accettiamo di rischiare l'errore di prima specie

La potenza del test è:

La probabilità di rigettare l'ipotesi nulla quando è giusto farlo

Aumentando il livello di significatività:

Aumenta la potenza del test

22 Verifica di ipotesi sulla media (varianza nota e non nota)

e verifica di ipotesi sulla proporzione

Sia data una popolazione normale con varianza nota. Volendo verificare

l'ipotesi: contro . La statistica test da utilizzare è:

Sia data una popolazione normale con varianza non nota. Volendo verificare

l'ipotesi: contro . La statistica test da utilizzare è:

Si vuole sottoporre a verifica l'ipotesi: H0:μ = μ0 contro H1:μ ≠ μ0, usando

un livello di significatività dello 0,05. La regione di rifiuto per il test Z è:

z ≥ 1,96 ; z ≤ -1,96

Si vuole sottoporre a verifica l'ipotesi: contro usando un

livello di significatività dello 0,05. La regione di rifiuto per il test Z è:

z ≥ 1,96, z ≤ - 1,96

Si vuole sottoporre a verifica l'ipotesi: contro usando un

livello di significatività dello 0,05. La regione di rifiuto per il test T con 16

gradi di libertà è:

t < -2,120 o t > 2,120

Si vuole sottoporre a verific