Chiuse e aperte nuovo paniere di Statistica 2023-2024

S S S

la X|Y=yc rappresenta i valori della x condizionati a quelli della y. Mentre, la varianza condizionata

) |F )−T(G|F )U

OPQ(G|F = & = C( G = & = J

in X sarà data dalla seguente notazione: dove la

S S S

Y|X=xc rappresentai valori della y condizionati a quelli della x.

Il coefficiente di variazione è definito dal rapporto fra deviazione standard e media espressa in valore

assoluto: var (x)/E(x)

38. Commentare brevemente: a) la legge debole dei grandi numeri; b) la legge forte dei

grandi numeri; c) la disuguaglianza di Markov e la diseguaglianza di Chebyshev

Si può utilizzare la Disuguaglianza di Chebyshev per avere informazioni sulla varianza. Essa

stabilisce che, per ogni distribuzione di dati di una popolazione, la percentuale di essi non si

allontanano dalla media per una certa quantità dello scarto quadratico medio è pari almeno a:

X ∗ 100%.

V1 − La disuguaglianza può assumere la notazione completa rappresentata dalla

W |X − μ| ≥ ko ≤

seguente disuguaglianza: dove k è la quantità espressa da un numero puro

Z W

positivo.

Dalla diseguaglianza di Chebyshev deriva la Legge dei grandi numeri che assume due connotazioni:

quella forte e quella debole. µ σ2

Legge debole: date n variabili mutuamente indipendenti con media e varianza ed un numero

∞

positivo a si può affermare che il limite per x che tende a della probabilità della differenza tra la

µ

media delle v.c. stesse e il valore atteso in termini assoluti sia maggiore di un valore intero positivo

a è uguale a zero. In simboli si avrà: limx->∞ P[l (X1+X2+….+Xn)/n]-µl>a]=0

µ

Si può dedurre che la media converge in probabilità alla media aritmetica delle Xi per i=1,…,n.

σ

µ

Legge forte: date n variabili mutuamente indipendenti con media e varianza , si può affermare

che la probabilità che al limite per n che tende a +∞ la media aritmetica delle stesse sia uguale a µ in

valore assoluto, è pari a 1.

lim P|(X + X … . + X )/n = μ| = 1.

In simboli si avrà: c

c→M

Disuguaglianza di Markov. Nella situazione in cui non si è a conoscenza della distribuzione della

v.c., si potrebbe avere l’esigenza di definire dei limiti alla probabilità. In questa circostanza può

tornare utile, pur con forti limiti, utilizzare la disuguaglianza di Markov dove la probabilità della v.c.

X, che deve essere maggiore o uguale alla quantità h, non deve superare il rapporto tra la media e la

stessa quantità h e quindi può essere trovata conoscendo solo il valore atteso.

k

P(X ≥ h) ≤

La notazione è: dove X è una v.c. non negativa e x è la media o il valore atteso.

l

39. Data la distribuzione di probabilità Uniforme discreta con N=10 con quali script si

calcola: a) la probabilità che x=8; b) la probabilità che x< 2; c) la probabilità che x>7

e che x sia ricompreso fra 8 e 4

#DATI

N<-10

#PROB X=8 p(x)=1/N

P8<-1/N

#PROB X<2 escluso lo 0

P1<- 1/N

pmin2<-p1

pmin3<.p1+p2

#PROB X>7

P9<-1/N

P10<-1/N

pmag7<-p8+p9+p10

#PROB 4<X<8

P5<-1/N

P6<-1/N

P7<-1/N

pcomp<-p5+p6+p7

40. Data la distribuzione di probabilità Bernoulliana con p=0,07 con quali script di R si

calcola: a) la probabilità che x=0; b) la probabilità che x= 1; c) il valore atteso, la

varianza, la deviazione standard e il coefficiente di variazione

P Bernoulliana p=0,07

#PROBABILITA’ X=1 → Probabilità di successo perché i successi sono 1 x= n successi x=1 successo

x= 0 insuccesso

p<- 0,07

# PROBABILITA’ X=0

q<- 1-p

# VALORE ATTESO

Ex <-p →per Bernoulli E(x)=p

#VARIANZA

VarX<- p*q →Var(x)=p(1-p) #DEVIAZIONE STANDARD

41. Data la distribuzione di probabilità Bernoulliana con p=0,07 calcolare: a) la

probabilità che x=0; b) la probabilità che x= 1; c) il valore atteso, la varianza e la

deviazione standard

a. p(x=1)/p(x=1)= p=0,07

b. p(x=0)/p(x=0)=1-p=1-0.07=0,93

c. E(x)=p=0,07 √0,07=0,2645

d. Var(x)=p(1-p)=0,07(0,93)=0,0651 Dstd(X)=√p(1−p) =

42. Data la distribuzione di probabilità Bernoulliana con quali script di R si calcola: a)

il quantile; b) la probabilità; c) la probabilità cumulata

#QUANTILE

qbinom (x,1,p)

#PROBABILITA’ (DENSITA’)

dbinom (x,1,p)

#PROB.CUMULATA (RIPARTIZIONE)

pbinom (x,1,p)

NUMERI CASUALI

rbinom (x,1,p)

NOTA BENE: La v.a. Bernoulliana è il caso specifico della v.a. binomiale in cui il numero di lanci

della monete (prova) è = 1

43. Data la v.c. Binomiale X con p=0,07 e n=11 con quali script di R si calcola:

a) la probabilità che x=0; b) la probabilità che x< 3; c) la probabilità che x>2 e che x sia

ricompreso fra 3 e 4

#DATI

n<-11

p<-0,07

#PROBABILITA’ (X=0)→densita

dbinom(0,11,0.07)

#PROBABILITA’ (X<3)→cumulata

pbinom(2,11,0.07) 3 escluso

#PROBABILITA’ (X>2)

1-pbinom(2,11,0.07)

#PROBABILITA’ (3≤X≤4)

dbinom(3,11,0.07)+dbinom(4,11,0.07)

44. Data la v.c. Binomiale X con p=0,07 e n=11 calcolare: a) la probabilità che x=0; b) la

probabilità che x< 3; c) la probabilità che x>2 e che x sia ricompreso fra 3 e 4

45. Dato n=11 e p=0,20 calcolare: a) il valore atteso; b) la varianza; c) la deviazione

standard, l'indice di asimmetria e di curtosi

E(X)=2,2;

Var(X)=1,76;

Dv.std(X)=1,327;

IAS(X)=0,452;

ICUR(X)=0,023

46. Data la v.c. Poissoniana X con con quali script di R si calcola: a) la probabilità che

λ=3,2

x=10; b) la probabilità che x< 13; c) la probabilità che x>22 e che x sia ricompreso fra

30 e 40

47. Data la v.c Poissoniana X con =3,2 calcolare: a) la probabilità che x=10; b) la

λ

probabilità che x< 13; c) la probabilità che x>22 e che x sia ricompreso fra 30 e 40

48. Data la v.c. Uniforme continua X ricompresa nell’intervallo 20-50 con quali script si

calcola: a) la probabilità che x=28; b) la probabilità che x< 32; c) la probabilità che x>

37 e che x sia ricompreso fra 31 e 44

#DATI

a<-20 estremi intervallo

b<-50

#PROB (X=28)

dunif(28,min=a, max=b)

#PROB (X<32)

punif(32,min=a, max=b)

#PROB (X>37)

1-punif(37,min=a, max=b)

#PROB (31≤x≤44)

punif(44,min=a, max=b)- punif(31,min=a, max=b)

Data la v.c Uniforme continua X ricompresa nell’intervallo 20-50 calcolare: a) la

49. probabilità che x=28; b) la probabilità che x< 32; c) la probabilità che x> 37 e che x sia

ricompreso fra 31 e 44

a. P(x=28)

=0 nelle uniformi continue la probabilita puntuale e NULLA

b. P(x<32)=F(32)-F(20)=

=(0,0333*32)-(0,0333*20)=0,3996

c. P(x>37)= 1-P(x<37)=1-[F(37)-F(20)]=

=1-[(0,033*37)-(0,0333*20)]=1-0,5661= 0,4339

d. P(31≤x≤44)=F(44)-F(31)=

=(0,0333*44)-(0,0333*31)=1.4652-1.0323=0.4329

50. Data la v.c. continua Normale X con media =4,7 e dev.std=2,1 come si calcolano: a) la

probabilità che x=4,1; b) la probabilità che x< 3,9; c) la probabilità che x> 4,4 e che x sia

ricompreso fra 4,2 e 4,5

a. P(x=4.1) x~N (4.7;4.41) Z=x-11

σ=2.1

P(x=4.1) = 0 probab. puntuale

b. P(x<3.9) ρ

P(x<3.9) = P(z< 3.9-4.7/2.1)= P(z<-0.3809)= (-0.38)= 0.3520

c. P(x > 4.4) ρ(-0.14)=1-0.4443=0.5657

1-P(x≤4.4)=1-P(z≤4.4-4.7/2.1)= 1-P(z≤-0.1429)=1-

d. P(4.2≤x≤4.5)

P(x≤4.5)-P(x<4.2) = P(z≤4.5-4.7/2.1)- P(z<4.2-4.7/2.1)=

ρ ρ(-0.24)

P=(z≤-0.0952)-P(z<-0.2380)= (-0.10) – = 0.4602-0.4052= 0.055

51. Data la v.c. continua Normale X con media =4,7 e dev.std=2,1 con quali script di R si

calcola: a) la varianza; b) la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria e di curtosi

#VARIANZA

sd^2

#ASIMMETRIA

Ias<-0

#CURTOSI

Icur<-0

52. Data la v.c. continua Normale X con media =4,7 e dev.std=2,1 con quali script di R si

calcola: a) la probabilità che x=4,1; b) la probabilità che x< 3,9; c) la probabilità che x>

4.4 e che x sia ricompreso fra 4,2 e 4,5

#DATI

mean<-4.7

sd<-2.1

#PROB (X=4.1)

dnorm(4.1, mean,sd)

#PROB (X<3.9)

pnorm(3.9,mean,sd)

#PROB(X>4.4)

1-pnorm(4.4,mean,sd)

#PROB (4.2≤X≤4.5)

pnorm(4.5,mean,sd)-pnorm(4.2,mean,sd)

53. Data la v.c. continua Normale standardizzata Z con media=0 e dev.std=1 con quali script

di R si calcola: a) la probabilità che x=2,8; b) la probabilità che x< 3,2; c) la probabilità

che x> 3,7 e che x sia ricompreso fra 3,1 e 4,4

a. P2_8<-pnom(2.8,0,1),P2_8

b. P3_2<-pnom(3.2,0,1);p3_2

c. P3_7<-1-pnom(3.7,0,1);p3_7

d. P4_4<-pnom(4.4,0,1); p3_1<-pnom(3.1,0,1); p4_4 – p3_1

54. Data la v.c. continua Normale standardizzata X con media=0 e dev.std=1 impostare le

formule per il calcolo: a) della probabilità che x< 3,2; b) della probabilità che x> 3,7; c)

della probabilità che x sia ricompreso fra 3,1 e 4,4

a. P(x=2.8)=0 ρ

b. P(x<3.2)= P(z<3.2-0/1)= (3.2)=0.9993

ρ

c. P(x<3.7)= 1-P (z<3.7-0/1)=1- (3.7)= 1-0.9999=0.0001

ρ ρ

d. P(3.1<x<4.4)= p(3.1<z<4.4)= (4.4)- (3.1)=1-0.9990=0.001

Data la v.c. continua Normale standardizzata Z con media=0 e dev.std=1 con quali script

55. di R si calcola: a) la varianza; b) la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria e di

curtosi

a. Var<-ds^2; var

b. Ds<-1

c. Sim<-0

d. Kurt<-3

56. Data la v.c. continua t di Student X con n=23 con quali script si calcola: a) la varianza;

b) la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria e di curtosi

A. g<-23; var <-g/(g-z); var

B. sqm <- sqrt (var); sqm

C. assimetria <- 0

D. kurt<- 6 / (g-4); kurt

Data la v.c. continua t di Student X con n=23 con quali script di R si calcola: a) la

57. probabilità che x=2; b) la probabilità che x< 12; c) la probabilità che x> 17 e che x sia

ricompreso fra 11 e 14

a. p2<-pt(2,23);p2

b. p12<-pt(12,239);p12

c. p17<-1-pt(17,23);p17

d. p14<-pt(14,23); p11<-pt(11,23); p14-p11

58. Data la v.c. t di Student continua X con n=23 impostare la formula per calcolare: a) la

probabilità che x< 12; b) la probabilità che x> 17; c) la probabilità che x sia ricompreso

fra 11 e 14

n=23→gradi di libertà→si lavora con g=n-1→g=23