Calcolo numerico: tutti gli esercizi richiesti all'esame

Aritmetica Finita

Dati 3 numeri a, b, c siano ã, b̃, c̃ i loro floating point su un elaboratore ideale che utilizza la base β = 10 ed m = 2 cifre per la rappresentazione della mantissa. Le 2 cifre operano per arrotondamento. Effettuiamo ã⊕b̃⊕c̃ con un ordine non preciso di esecuzione.

β = 10 Base di rappresentazione

m = 2 cifre. Riguarda le cifre con le quali si esprime la mantissa.

1. 2 cifre = m (se ce ne è di più, operare per approssimazione)

CARATTERISTICA (dipende dalla base)

a = 20/7 → f1(a) = ã = 2,9 · 10⁰

Mantissa

b = 1/2 → f1(b) = b̃ = 5,0 · 10^-1

c = 64 · 10^-1 → f1(c) = c̃ = 6,4 · 10⁰

Effettuiamo la somma:

ã⊕b̃⊕c̃ = 2,9 · 10⁰ ⊕ 5,0 · 10^-1 ⊕ 6,4 · 10⁰ =

[2,9 · 10⁰⊕6,4 · 10⁰] ⊕ 5,0 · 10^-1 =

Prima svolgiamo quelli con la caratteristica minore:

9,3 · 10⁰ ⊕ 5,0 · 10^-1 =

0,93 · 10¹ ⊕ 5,0 · 10^-1 = 5,93 · 10⁰ =

= 5,9 · 10⁰

Arrotondato

Le cifre dato che m = 2

2) Su un elaboratore ideale che utilizza m=3 cifre nella mantissa e B=10, privo di errori di arrotondamento e non ha limitazioni sulla caratteristica, si consideri la matrice A:

A = [ 9000, 0,00009 1,777 ]

Si calcoli l'errore nell'arrotondamento dell'elaboratore:

Calcoliamo, in tal caso, f(A) = Ā calcolando in floating e tenuto gli elementi:

A = [ 9000, 0,00009 1,777 ]

Ā = [ 9,00·10³, 9,00·10^-5 0, 1,72·10⁰]

Andiamo a calcolare l'errore di A-Ā. Esso si basa quali fatui:

A-Ā = [ 0, 0,00009 1,777 ] - [ 9,00·10^-3, 3,00·10^-5 0, 1,72·10⁰] =

=[ 0, 0 0, 3,00·10^-3]

Calcoliamo ||A-Ā||₁:

||A||₁ = [ 9000, 0,00009 0, 1,777 ] = 9000

Norma₁:

||A-Ā||₁ / ||A||₁ :

||A-Ā||₁ / ||A||₁ = 3,00·10^-3 / 9,00·10³ = 0,33·10⁶ = 3,33·10^-7

6) β = 10 , m = 3 , h = 1. Arrotondamento e floating point:

i) Si rappresentano in macchina:

• X = (-5,69 , 0,003 ; 1,2841)
• Y = (-0,1 10^-12 ; 4,78054)

ii) Dopo aver definito ||x||₁, ||x||₂ e ||x||_∞ si calcolano ||fl x||₁ , ||fl x||_∞ usando l'aritmetica dell'elaboratore.

iii) Si determina la precisione di macchina ε_m e si indicativo ε_m per l'elaboratore descritto sopra.

iv)Calcoliamo il floating :

• fl( x ) = (-5,69 ∙10^-1 , 3,00∙10^-3 ; 1,28 ∙10⁰ )
• fl( y ) = [-1,00 ∙10^-1 ; -4,77 ∙10⁰ ]

v) Definizione teorica negli appunti; ora si calcolano per l'elaboratore :

||fl( x )||_∞ = + 5,69 ∙10^-1 ⨁ 3,00 ∙10^-3 ⨁ 4,28∙10^-0 =fl ( + 5,69 ∙10^-0 ⨁ 0,0003 ∙10^-1 ) ⨁ 4,28 ∙10^-0 =fl ( +5,6903 ∙10^-1 ) ⨁ 1,28 ∙10^-0 =+ 5,69 ∙10^-1 , 28 ∙10^-0 -fl ( (+5,69 ∙10^-0 ⨁ 0,918 ∙10^-0 ) =fl ( 5,818 ∙10^-0 ) = 5,82 ∙10^-1

e||f( x )||_∞ = 5,69 ∙10^-1

viii) Precisione della macchina:

|x-fl( x )| / |x| ≤ ε_m = 1/2 β^1-m = 1/2 10^-2

4)

Assegnati la matrice A e un parametro α

A = _{^{α20 26-4 0-40}}

• Per quali α è fattorizzabile
• Fattorizzata per il valore α = 2
• Calcolare il determinante di A con α = 2
• Calcolare K_∞(A) con α = 2

1. α ≠ 0 ; det A₂ ≠ 0 → α2 26 ≠ 0 → 6α - 4 ≠ 0 → α ≠ ²/₃
2. α = 2

A = _{^{220 26-4 0-40}}

A = LU

220 26-4 0-40 → 220 04-4 0-40 →

220 04-4 0-40 220 04-4 0-40

L = 100 m₂₁10 m₃₁m₃₂1 = 100 110 0-11

U = 220 04-4 00-4

2x₁₁ + x₃₁ = 3

x₁₁ = 1

-x₂₁ - 1/2 x₃₁ = -3/2

x₂₁ = 1

1/2 x₃₁ = 1/2

x₃₁ = 1

X = (

x₁₁

x₂₁

x₃₁

) = (

1

1

1

)

2x₁ - x₂ = 1

2x₁ = 1 + ¹⁄₉ → x₁ = ⁵⁄₉

⁵⁄₂ x₂ + x₃ = ¹⁄₂ → x₂ = ¹⁄₉

¹⁵⁄₅ x₃ = ¹⁵⁄₅ → x₃ = ²⁄₉

Quindi:

X = (

• ⁵⁄₉
• ¹⁄₉
• ²⁄₉

)

Interpolazione

1) Assegnati i dati:

• X₀ = -2, X₁ = -1, X₂ = 0, X₃ = 1
• Y₀ = 1, Y₁ = 0, Y₂ = -2, Y₃ = 0

Polinomio interpolante di Newton

P(x) = A₀ + A₁(x - X₀) + A₂(x - X₀)(x - X₁) + A₃(x - X₀)(x - X₁)(x - X₂)

• X_i f_i [f(X_i, X_i+1) A₁] [f(X_i, X_i+1, X_i+2) A₂] [f(X_i, X_i+1, X_i+2, X_i+3) A₃]

A₁ = -1

A₂ = -1/2

A₃ = 5/6

P(x) = 1 - (x + 1) - 1/2(x + 1)(x + 1) + 5/6(x + 2)(x + 1)(x) =

= -x - 1 - x²/2 - 3/2 x - 1 + 5/6 x³ + 5/2 x² + 5/3 x =

= 5/6 x³ + 2 x² - 5/6 x - 2 √