Calcolo numerico - esercizi

OPERAZIONI TRA NUMERI BINARI

SOMMA:

0 + 0 = 01 + 0 = 10 + 1 = 11 + 1 = 0 con riporto di 1 alla colonna a sx

SOTTRAZIONE:

0 - 0 = 01 - 0 = 10 - 1 = 1 dopo essersi prestato 1 dalla colonna a sx1 - 1 = 0

MOLTIPLICAZIONE:

0 x 0 = 01 x 0 = 00 x 1 = 01 x 1 = 1

DIVISIONE:

3^a) Prendo un n. di cifre = al divisore2^a) Lo elimino se inferiore o uguale3^a) Multiplo di divisore con il numero scelto di dividendo4^o) Eseguo la sottrazione5^a) Porto giù la cifra alta6^a) Se il numero ottenuto è >= al divisore scrivo 0 o eseguo         il divisore scrivo 07^a) Si esegue la moltiplicazione col nuovo numero scelto nel dividendo8^a) Sottraggo di nuovo e così via.

OPERAZIONI TRA NUMERI BINARI

SOMMA:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0 con riporto di 1 alla colonna a sx

(10₁₀₀)₂ + (111₁)₂

SOTTRAZIONE:

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 0 - 1 = 1 dopo essersi prestato 1 dalla colonna a sx
• 1 - 1 = 0

(100₁₀)₂ - (110₁)₂

MOLTIPLICAZIONE:

• 0 x 0 = 0
• 1 x 0 = 0
• 0 x 1 = 0
• 1 x 1 = 1

(110)₂ x (10₁)₂

DIVISIONE:

(100₁)₂ = conv. ad 10₁

1. Si prende un n. di cifre x il divisore
2. Lo si prova nel dividendo e sempre 2
3. Moltiplo di divisore e il numero scelto si dividendo
4. Si esegue la sottr.
5. Porta giù le cifre utili
6. Se il numero ottenuto è 2 al divisore scrivo il divisore
7. Si esegue la moltiplicazione col nuovo numero scelto nel dividendo
8. Sottraggo di nuovo e così via

(100)₂ con resto di 10

Esercizio 1.1

(a) β=10 t=12 Calcolare la pressione di macchina

x=0,d₁...d_t 10^e

conosciuto

^{|x - x₁|}/_|x| < eps β^-t bound β^-(t-1)/₂ ulp bound

1. Nel caso di bancarotta (l’errore massimo possibile avviene se):0.d₁d₂..._t β^e
   • 0.0...0.0...β3β9 < 0.0...0.1... < 0.0...0.0β3β9
   • = 0.0...0.1_t
   • = 10¹²/_10¹¹ = 10^-1 β^{βt con N_guard possibile : D il piccolo possibile}
2. Caso degli smarrimenti:0.d₁d₂..._t β^e
   • 0.0...0.2...0.9 < 0.0...0.5...0 < 5·10^-12 - 5·10^-12 = β^-(t-1)/₂
   • Q₁= 0.d₁d₂..._tβ = 1 _t-1

(b) Dimostrazione Teorema restativo di traduzione

|x - x₁| = |0,d₁d₂ | =0.dd...d_t 0.d₁d_t pt = 0.d₁d_tβ^-t_-t = β^t

Supponiamo de _{t max}

Allora ^-1 φ1_ddd <β_dt ℇ

Allora

^{|x - x|}/_|x| <= 0.dd_φ1 φβpt β ≤ 1≥ β^-t = 1

Rappresentazione in Base 2 seguendo la misura

• -1025₁₂/
  • 4/10.0₂
  • 0.1000...0.1
  • (-1025)₁₂ = (-100000000042)₂

- 276,5

Abbiamo una parte decimale allora lo moltiplichiamo x 2 tante volte necessarie al fine di ottenere un numero intero

- 276,5:2 = 553

(-553)₁₀ = (1001010001)₂

dividiamo per 2

- 276,5 = 100010100,1

0,2

Essendo < 1 si applica il metodo delle moltiplicazioni successive (si prode fino quando non manca zero)

0,2:2 = 0,4 d₂ = 0

0,4:2 = 0,8 d₂ = 0

0,8:2 = 1,6 d₃ = 1

0,6:2 = 1,2 d₄ = 1

0,2:2 = 0,4 d₅ = 0

04:2 = 08 d₆ = 0

08:2 = 16 1

06:2 = 12 1

02:2 = 04 0

08 0

16 1

: 0

Usiamo il metodo generale

1. |X| = 12.325

INT(X) = 12, |X| - INT(X) = 0.325

2. 12

   0 | 6 | 2

   0 | 3 | 2

   0 | 1 | 2

   (12)₁₀ = (1100)₂

3. 0.325 * 2 = 0.65 d₀ = 0

   0.975 * 2 = 1.5 d₁ = 1

   0.65 * 2 = 1.3

   0.5 *