Schemi di Idrodinamica 2

CINEMATICA Coordinate: X X3

X 2

X

= Coordinate

1, ,

DESCRIZIONE EULERIANA spaziali

moto = f t)

(X

c = ,

Si osservano le grandezze in un ,

punto fisso dello spazio x al tempo t

Moto stazionario: le grandezze in coordinate Euleriane non dipendono dal tempo 0)

GF/xt =

Coordinate: X3)

(X1 X2

= , ,

DESCRIZIONE LAGRANGIANA Coordinate

moto t)

F fz(X

Si segue la singola particella fluida < = materiali

,

identificata dalla posizione iniziale X

al tempo t

Anche in moto stazionario, la descrizione Lagrangiana dipende dal tempo (poiché la particella

si muove)

Derivate e relazioni fondamentali

Derivata materiale (o sostanziale) Descrive la variazione di una grandezza seguendo la particella

>

AFF N

notazione indiciale:

= Derivata

Derivata Convettiva

Locale Yikt

G

Velocità: Derivata della posizione rispetto al tempo.

(Lagrangiana) Vi =

: &N -

= (v

Formula vettoriale (0

a = + .

Accelerazione: Si Vi

Formula indiciale Ai +

=

>

Linee caratteristiche del campo di moto

• traiettoria: luogo dei punti occupati da una particella al variare del tempo

equazione dX v(X t)

> = ,

dt

• linee di corrente: linee tangenti al vettore velocita in un istante assegnato.

condizione -NXdX 0

= Nota: in moto stazionario, traiettorie e

AXA

equazioni scalari Ax linee di corrente coincidono

- V3

• punto di ristagno: è un punto del campo di moto in cui la velocità locale del fluido è nulla (v=0)

In questo punto, l’energia cinetica su converte in energia di pressione. Questo punto

corrisponde al punto in cui si registra la pressione massima sulla superficie di un corpo

investito dal fluido. L’eccesso di pressione in questo punto (rispetto all’infinito) è pari alla

pressione dinamica: 12 &US

D-Poo =

Il moto di ristagno localmente è descritto da una iperbole equilatera.

Su un cilindro senza circolazione i punto di ristagno si trovato in θ=0 e θ=π.

Su un cilindro con circolazione la posizione dei punti di ristagno si sposta e si calcola come:

trov

o arcsen

:

Analisi locale del moto (intorno ad un punto P)

La velocità in un punto Q vicino a P si approssima come:

vi

vi Ni

GNdX; id

DijdXi +

+ +

= =

)

6NidXi "E d

= .

XXj JNj

1

avi-12

bi - i

e

x

I I

Rij

Dij JN

1 JNs

1GN

IN JNz

, I

, 2 3x36X1

26X2 SX1

XX

• TENSORE DELLE VELOCITÀ DI 1

D JN2

1

JNz JNs

DEFORMAZIONE: = Di2 I

26X3 JX2

3X2

Simmetrica rispetto alla diagonale JN3

D13 D23 SX3

JN

1 JNs

JN

1 JNz

O

• TENSORE DELLE VELOCITÀ DI 26X36X1

2 SX26X1

ROTAZIONE: JN2

2 1 JNs

= 212 O

- 26X36X2

Diagonale zero e anti simmetrica R13 O

123

- -

I termini fuori diagonale sono legati alla velocità di deformazione che causano variazione

orientamento relativo di segmenti di linea materiali.

Principi di conservazione

TEOREMA DEL TRASPORTO (di Reynolds)

Fa

• forma base: FAVVF

• forma alternativa: con Gauss

Far (usando continuità)

• conseguenza per ρ:

CONSERVAZIONE DELLA MASSA (CONTINUITÀ) Volume materiale:

composto sempre dalle

a av

La massa di un volume materiale è costante 0

0 - =

= stesse particelle fluide.

avo/AdSo

• Forma integrale: Variazione massa Flusso di massa

Vo

Fisso

Volume

Dentro (portata) So

Attraverso

G dS

(gv) oppure

• Forma puntuale: 8 0

v

0 =

=

+ .

+

dt

• per fluido a densità costante: (ρ=cost) 0

A

> =

Gl

quindi in coordinate bidimensionali: 0

3 =

FUNZIONE DI CORRENTE (Ψ)- moto piano, ρ costante

04

54 v

u -

=

= xx

by

DUS 0

=

y

La portata volumetrica tra due punti P e Q è: 4Q 4p

9 = -

Ψ è costante lungo le linee di corrente

DINAMICA Possiamo schematizzate l’azione dell’esterno sulla

Assioma di Cauchy: superficie con una distribuzione di forze delle tensioni.

t dipende da x e t

limSR R

• t = I

S

lin

• t esaurisce le interazioni tra le porzioni di fluido esterna ed interna ad S’:

Di superficie t (x, t) per unità di area

Sul volume di fluido: forze meccaniche Di massa f (x, t) per unità di massa

Risultanti sul volume di fluido:

=

Forze di massa E

a

at (

Forze di superficie F t)aS

=

at , DELLE TENSIONI

TENSORE

~

Tensione in un punto -E I 1

= .

Il

Ha come colonne le t(2) t

t 33) +

te')

componenti della tensione su ti"

, tensioni normali

233)

una superficie infinitesima la ,

te" +2(2) ,

+

T =

cui normale è allineata con Tutte le altre sono le tangenziali

(3)

ty(2)

ty")

una certa direzione +y

Principio della quantità di moto

La derivata materiale della quantità di moto associata al volume materiale V uguaglia in ogni istante

il risultante delle forse applicate sui suoi elementi materiali.

:

Quantità di moto del fluido contenuto in V(t) d

V(t)

c

Sear Sas

In forma vettoriale ·g Nav +

= DI Te

FORZA FORZA

D

massa

I termini a sinistra possono essere rielaborati utilizzando il teorema del trasporto:

AV/(NA) ASSAVS

I 2 Rappresenta portata

La

Rappresenta o Flusso

variazione

La D e l Quantità

Di di La

attraverso

Di moto

Vo Quantita

volme Della Superficie del voume

è Dentro

MOTO Questo

Che

Volume Fisso

Forma differenziale delle equazioni del moto dei continui

AVEV dall’equazione del principio della quantità di moto:

I I

I

= = per il teorema del trasporto

Far

#SnaS per Gauss

819

Quindi Sav

1 . 0

· =

- - =

DEL

EQUAZIONE SEL MOTO DI CAUCHY

Principio del momento della quantità di moto XX(f)dVc( x(gw)av

*

Il momento della quantità di moto lo dobbiamo calcolare rispetto ad un polo (

La derivata materiale del momento della quantità di moto associata al volume materiale all’istante t

eguaglia il momento delle forse applicate agli elementi materiali (di volume e superficie) del

continuo in moto:

afx(9)aVXIVX

Da questo principio è facile di pestare che il tensore delle tensioni è un tensore simmetrico:

dimostrare

+(2)

<ti

Tij Tji

= =

Teorema della potenza meccanica

Rappresenta un bilancio della potenza delle forze che agiscono su un volume materiale di fluido.

Si deriva dall’equazione di Cauchy:

gN-gfN-NG

gde Ti

f

= >

+ xxj I I " I

MOLTIPLICO I

Nik

TUTTO Per

Integro sul volume materiale di fluido

I davg

9 Rappresenta l’energia cinetica del fluido in

NAV e

.

N

· dV, integrata rappresenta l’energia cinetica

dt del fluido contenuto nel volume materiale

Nien

=

#I Dal punto di vista fisico rappresenta una potenza, in quanto forza per velocità.

E d

rifidV 9 .

Questa è la potenza infinitesima delle forze di massa. Quindi quando integro sul volume ottengo la

potenza delle forze di massa che vengono esercitate dall’esterno sul volume di fluido.

NisGTibCNT TIGN

III SANTAV-T

integrando sul volume materiale Lavoro

· compiuto Dalle

I Tensioni contorno

al

b

2 L

tk Tik Nj

= - potenza delle

AVVTinidS

GNT) =S

I

Per il teorema della divergenza E s

2 forze di superficie

- O

Stand

b-- Siccome il tensore degli sforzi Tjk è simmetrico, il

av

= - prodotto con la parte antisimmetrica Ω è nullo

Dik Rjk &N Potenza spesa dalle forze

Rimane quindi solo il prodotto con D: T D

TikDin

ljk :

= =

ESE VAS-TD

d .

Quindi come risultato finale dell’equazione:

La derivata materiale dell’energia cinetica del fluido contenuto in un volume materiale uguaglia la

somma della potenza associata all’azione delle forze esterne (di volume e di superficie) applicate agli

elementi materiali (di volume e di frontiera) e della potenza spesa dalle forze interne per deformare

gli elementi materiali.

IL LEGAME COSTITUTIVO

È il legame analitico attraverso cui si descrive la struttura della risposta meccanica di un materiale.

Due piastre // e fluido messo in moto da scorrimento piastra superiore

U Se fluido = acqua: u

Tensione tangenziale sulla piastra superiore: To

fluido =

alle

Legame costitutivo: Ty u

= Retid

PSeUDO-Plastico Angolare

Rappresenta Coeff .

Ty Newtoniano La risposta di un materiale ad una

sollecitazione dipende dal materiale

considerato

dilatante de

dy Assioma Eulero

STATO TENSIONI NEI FLUIDI IN QUIETE- PRESSIONE

f(n) I

Descrive il comportamento di un fluido quando è fermo (v=0) o in moto rigido (D=0) pn

= -

Il vettore delle tensioni in un fluido in quiete è sempre normale all’elemento superficiale su cui

agisce ed è diretto verso l’interno. I O

O

t

Tensione su un elemento i-esimo di normale n: DI

Tijnj I

pri po

= = = =

- =

D

0 O -

Gli assiomi di Stokes (fluidi Stokesiani):

Per determinare la forma generale del legame costitutivo per un fluido in moto, si assumono 4

postulati fondamentali:

1. Dipendendenza esclusiva da D: il tensore degli sforzi T dipende solo dalla velocità di deformazione

D. Non dipende dal tensore delle rotazioni Ω.

2. Omogeneità: il legame costitutivo non dipende esplicitamente da x nello spazio. Il fluido risponde

allo stesso modo ovunque.

3. Isotropia: non vi è alcuna direzione preferziale nello spazio, la risposta del materiale è

indipendente dall’orientamento degli assi di riferimento.

4. Condizione in quiete: se il fluido non si deforma (D=0) il tensore delle tensioni deve ridurmi alla

sola pressione idrostatica: DI

1 = -

Un legame che rispetta questi assiomi ha la forma polinomiale: UD

(x

1 p)I BD +

+

= -

dove α, β, γ sono coefficienti scalari che dipendono dagli invarianti di D.

LEGAME COSTITUTIVO NEWTONIANO

La maggior parte dei fluidi comuni seguono un modello più semplice, che aggiunge il requisito di

linearità alla formulazione di Stokes. VISCOSO

CONTRIBUTO

• caso fluido comprimibile: variaz

Dovuto alla

Di voume

- μ: secondo coeff di viscosità (viscosità dinamica o di taglio)

λ: primo coeff di viscosità (legato alla viscosità di volume)

w)I

T

formula tensoriale ( 2MD

x

p +

+

= - . L

9 Contributo Viscoso

Deformazione

CONTRIBUTO Dovuto alla

Statica

Pressione [x]

[M] ML -

T

= = [LT

M/g

• caso fluido a densità costante (incompribilile): ]

+

w = =

condizione incompribilita 0

V

> =

Diventa T 2UD

DI +

> = - D

M

in notazione indiciale pSij

PSij 2MDij

Tij +

> + +

=

= -

-

EQUAZIONI DI NAVIER STOKES

Per ricavare le equazioni del modo dei fluidi, abbiamo le equazioni di Cauchy e di legame costitutivo,

uniamo le due cose e si ottengono le equazioni del moto. Le equazioni del moto discendono dal

principio della quantità di moto, e quindi devono essere associate alla equazione di continuità.

TT T

=

equazione di Cauchy = g

+. f I

: +

=

Legame costitutivo (fluido Newtoniano a ρ costante) T 2MD

DI +

= -

Per inserire il legame costitutivo nell’equazione di Cauchy, bisogna calcolare (MD

[DI

T

.. +.

= #

DI)

(-

I D

= -

. (2MD) D)

2M)

Il =

· -

DDGD3

CDI CDDDGD

D ,

=

· ,

1

in

CDDDGDNGNG

2vi

G

6N

GNGNGN

A

G 1

. =

2 2

?

3x

I I

I I LAPLACIANO

continuità

ea

per

o

= . l 2

2u D =

.

Sostituendo il legame costitutivo nell’equazione di Cauchy si ottengono le equazioni che governano

l’evoluzione di un fluido con ρ costante:

9 121 EQUAZIONI DI NAVIER STOKES

9f p +

= - - vjGvi gfiux

SNi

Forma estesa 9 +

< =

at 3xj

- Termine FORZA

Termine Termine

Gradiente

Di

Convettivo Di

inerzia VISCOSCOSO

pressione

massa

cineare)

(non

Locale (DIFFUSIVO)

vorticità—> è un vettore

W Xv

=

2 b) X

x)

1

= -

.

I O

= cost

g

se

Quindi se ρ=costante, ω=0 25 0

> =

Equazione di Eulero (fluido ideale)

Se il fluido è ideale (μ=0) o il moto è irrotazionale lontano dalle pareti, il termine viscoso sparisce:

gara nota: rimane il termine convettivo non lineare. L’ordine dell’equazione differenziale scende (da derivate

seconde a prime), perdendo la capacità di soddisfare tutte le c.c. (impossibile imporre aderenza).

Condizioni al contorno

Per risolvere le equazioni differenziali servono condizioni al contorno specifiche.

INTERFACCIA INDEFORMABILE (SOLIDO FLUIDO):

• impermeabilità (cinematica): la velocità normale del floodplain eguaglia quella del solido:

fluido

(E 1)

/Fluido

(E socido

= .

.

• aderenza: la velocità tangenziale del fluido eguaglia quella del solido (solo per fluido voscosi, μ≠0):

(W I)

↑(Fluido

(E solido

= .

.

INTERFACCIA DEFORMABILE (superficie libera) F((

Definita da:

x t)

f(x

t) 0

y z =

= -

(y ,

, ,

t)

f(x z

= l’interfaccia è una superficie materiale

,

nY ,