Formulario Principi di ingegneria chimica - Parte 1

A

P = y ⋅ P y P = P

Legge di Dalton: con frazione molare in fase vapore e

• A A A tot

0

∑

P = x ⋅ P

Miscela ideale:

• tot i i

q = k ⋅ s ⋅ (T − T ) k

Flusso termico interfase: dove è il coefficiente di scambio

• 1 2

[ ]

k cal s

termico e è la superficie di interfase (che separa le due fasi).

t ⋅ m ⋅ C

2 °

q = G ⋅ λ λ

dove è il calore latente ponderato.

v = 2 ⋅ g ⋅ h

Legge di Torricelli: velocità di caduta

•

CONSERVAZIONE DELLA MASSA

n m

d M(t) ∑ ∑

= f − g

Accumulo: i j

• dt i=1 j=1

Q = ρ ⋅ G

Flusso massivo: (dove G è il flusso volumetrico)

• G = v ⋅ S v S

Flusso volumetrico: , dove è la velocità e l’area della sezione.

• 2 ⋅ ΔP C = 0.63 ⟶

v = C ⋅

Legge di Torricelli: con Descrive la velocità di un

• ρ

fluido che fuoriesce da un orifizio in un contenitore.

• Tempo caratteristico: tempo che impiega il sistema per arrivare allo stazionario. Si

tratta di un tempo virtualmente infinito per cui per calcolarlo bisogna andare a vedere

l’andamento asintotico dell’equazione ottenuta (vedi esercizio 8).

d · F

GC − GC(t) + F = ( V ⋅ C(t))

Bilancio di materia su un sale: dove è il flusso

• s

0 s dt [ ]

⟶ F = N ⋅ k ⋅ s ⋅ C − C(t) [m oli /t]

totale di sale che da solido passa a liquido s s

N k [L /t] s

dove è il numero di particelle, è il coefficiente di scambio e è la superficie di

2

s = 4πR )

interfase (nel caso di particelle sferiche si ha . Più aumenta il valore del

coefficiente di scambio, tanto più velocemente il sale si scioglie.

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

n m

dQ ∑ ∑

= F + f ⋅ v − g ⋅ v

Accumulo: dove F è la risultante di tutte le forze che

i i j j

• dt i=1 j=1

l’esterno esercita sul sistema. ⃗

· · ∑ ∑

Q − Q + M g ⃗ + R + P ⋅ s ⋅ n ⃗ = 0

Bilancio generico:

• in,x out,x x i,x

⃗

∑ ∑

M g ⃗ R P ⋅ s ⋅ n ⃗

Dove è la forza peso, sono le forze esterne e sono le forze di

x i,x

· ·

Q = m ⋅ v = (ρ ⋅ v ⋅ S ) ⋅ v = (ρ ⋅ G ) ⋅ v

pressione. ±

2 2 ∑

ρv S − ρv S Mg + (P − P ) ⋅ S + F =0

out in out

in

• Tubo inclinato di un angolo θ rispetto all’orizzontale:

dQ ±

= v ⋅ (ρ ⋅ S ⋅ v ) − v ⋅ (ρ ⋅ S ⋅ v ) (S ⋅ ρ) ⋅ g ⋅ L ⋅ sinθ + P ⋅ S − P ⋅ S − F = 0

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 a

dt ± (S ⋅ ρ) ⋅ g ⋅ L ⋅ sinθ

Dove è la forza peso e ha segno positivo se l’asse Z è diretto

verso il basso e segno negativo se invece è diretto verso l’alto.

Se la sezione in ingresso e la sezione in uscita sono uguali allora anche le velocità sono

le stesse (è possibile verificarlo con un bilancio di materia), per cui i primi due termini

± (S ⋅ ρ) ⋅ g ⋅ L ⋅ sinθ + P ⋅ S − P ⋅ S − F = 0

del bilancio si annullano e si ha , da cui

1 1 2 2 a

( )

L 1

± 2

P − P ρ ⋅ g ⋅ L ⋅ sinθ = 4 ⋅ f ⋅ ⋅ ρ v ⃗

si ricava 1 2 D 2

L ⋅ sinθ = Δh P > P

Oss. e

• 1 2

MOTO DI UN FLUIDO F

Esistono due valori critici del numero di Reynolds, ovvero 2100 e 2300: per valori del numero di Reynolds

· a

f =

Coef ciente di attrito:

inferiori a 2100 il moto è laminare; per valori superiori a 2300 il moto è turbolento.

• 1

2πR L ⋅ ρ v̄ 2

2

−3

ϵ = 0.0457 ⋅ 10 m

Per l’acciaio

• ρ ⋅ v̄ ⋅ D

·

Re =

Numero di Reynolds: dove D è il diametro del tubo.

• μ

• Stesso numero di Reynolds comporta stesso fattore di attrito.

16

Re < 2100 ⟶ ⟶ f =

Moto laminare (equazione di Hagen-Poiseuille)

• Re

Re > 2300 ⟶ Moto turbolento

•

Per il moto laminare, il coefficiente di attrito è legato al numero di Reynolds da quella che viene chiamata

dU

equazione di Hagen-Poiseuille:

F = μ ⋅

Viscosità: (relazione tra forza applicata e deformazione subita).

• dy ( )

L 1 2 >

(x) − (x) = 4 ⋅ f ⋅ ⋅ ⋅ ρ ⋅ v̄

Pressione ridotta: con

Sopra 2300 la f dipende dalla rugosità relativa, come si vede dal grafico:

• 1 2

1 2 D 2

Perdita di pressione causata dall’attrito per un generico tubo.

Diagramma di Moody:

Diagramma di Moody:

1. Trovo il valore del numero di Reynolds sul grafico.

2. Traccio la verticale e vado a incontrare la curva relativa al rapporto ε/D.

3. Dal punto di intersezione mi sposto orizzontalmente verso l’asse indicante il valore di f.

fi CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

1

∫ 2

E (t) = ⋅ ρ ⋅ dV ⋅ v (x, t)

Energia cinetica:

• c 2

V ∫

E (t) = g ⋅ ρ ⋅ dV ⋅ h(x, t)

Energia potenziale:

• P V

⟶ Se Z è rivolto verso l’alto la quota assume segno positivo

d (E + E ) = F − F + w − E − ΔU

Accumulo:

• C P i u D n

dt

w E ΔU

Dove è la prevalenza, è l’energia termica e è la variazione di energia interna.

D n

dU = dQ − PdV dQ

Trasformazione termodinamica: dove non si considera

• ∫

⟹ dU = f PdV f

con portata massiva per unità di tempo

γ

• Bilancio di energia per un sistema stazionario e considerando un unico usso TD:

[ ( ) ]

P − P

1 L 1

i u

2 2 2

∑

(v − v ) + + g(h − h ) + w = E = 4f + k ⋅ ⋅ v

u i u D u

i

2 ρ D 2

- L’energia cinetica è trascurabile nel caso in cui la sezione del tubo sia molto minore

rispetto a quella del serbatoio.

- La pressione è in Pascal

- 2 2

m /s = J/kg

Unità di misura della prevalenza:

- k = 0.17

Le valvole di intercettazione hanno

- k = 10

Le valvole di non ritorno (o di controllo) hanno

- k = 0.46

I gomiti inclinati hanno W = w ⋅ ρ ⋅ G = w ⋅ ρ ⋅ v ⋅ S

Potenza teorica di una pompa:

• [ ]

J

W = W

W =

Potenza reale:

• R s

η

- Le pompe centrifughe hanno un’efficienza circa del 90%

- I compressori hanno un’efficienza circa del 60% fl