Formulario completo fronte-retro, ideale per esami di Elementi di probabilità e statistica

Disuguaglianza di Markov

Se X è una variabile aleatoria non negativa, allora per ogni a > 0:

P(X ≥ a) ≤ E(X)/a

Disuguaglianza di Chebyshev

Se X è una variabile aleatoria non negativa, allora per ogni a > 0:

P(|X - E(X)| ≥ a) ≤ V ar(X)/a^2

Trasformazioni lineari

Se Y = aX + b, con a ≠ 0:

E(Y) = aE(X) + b

V ar(Y) = a^2V ar(X)

Legge debole dei grandi numeri

Se X1, X2, ..., Xn sono variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite con media µ, allora per ogni ε > 0:

lim P(|(X1 + X2 + ... + Xn)/n - µ| > ε) = 0

Leggi marginali

Se f(s) è la funzione di densità di probabilità marginale di X e f(t) è la funzione di densità di probabilità marginale di Y, allora la funzione di densità di probabilità congiunta F(s, t) è data da:

F(s, t) = P(X ≤ s, Y ≤ t) = ∫∫f(s, t) ds dt

Esempi notevoli

1. Funzione di ripartizione congiunta:

F(s, t) = P(X ≤ s, Y ≤ t) = f(s, t) ds dt

2. Variabile aleatoria Bernoulliana bin(1, p):

Considera un esperimento con due esiti possibili - successo con probabilità p e insuccesso con probabilità 1-p.

n p k =0−∞ −∞ φ (k) =X −1 p k =1• Indipendenza −· E(X) = p, V ar(X) = p(1 p)– continuo: f (s, t) = f (s) f (t)X,Y X Y •·– discreto: φ (s, t) = φ (s) φ (t) Binomiale bin(n, p)X,Y X Y ino·– generale: F (s, t) = F (s) F (t) Modella la realizzazione di n ripetizioni indipendenti di un esperi-X,Y X Y mento, ciascuna delle quali può concludersi con un successo (prob.∃ | ·Si dimostra che se g, h f (s, t) = g(s) h(t) allora f, y 3X,Y −p) o insuccesso (prob. 1 p); X è il numero di successi.sono indipendenti e f (s) = g(s), f (t) = h(t)X Y !• nLeggi condizionali su vettori aleatori k n−k· −φ (k) = p (1 p)Xf (s,t)X,Y k|– continuo: f (s t) = 202X|Y f (t)Yφ (k,j)X,Y| −– discreto: φ (k j) = E(X) = np , V ar(X) = np(1 p)X|Y φ (j)Y• Legge di una funz. di un vett. aleatorioost – È riproducibile: se le due v.a.

indipendenti allora– Somma: siano X, Y indipendenti e non negative e S := X + Y bin(n , p) + bin(n , p) = bin(n + n , p)1 2 1 2allora N −– Si approssima con (np, np(1 p)) (e correzione di conti-Z Z− −f (t) = f (u, t u) du = f (t v, v) dv ≥nuità) se n 2, 3S X Y • Poissoniana pois(ν)R R– Minimo & Massimo: siano X , X , . . . , X vv.aa. indipendenti1 2 n Si usa quando n cresce in maniera arbitraria e p è piccolo. µ è ile R := min(X ), T := max(X ) allorai i numero medio di successi.Y Y k∧ − − νF (t) = F (t) 1 F (t) = (1 F (t)) −νx R xT i i φ (k) = e k = 0, 1, 2, . . .Ag X k!ii• Valore atteso E(X) = V ar(X) = νP ·k φ (k)– discreto: E(X) := Xk – È riproducibile: pois(ν ) + pois(ν ) = pois(ν + ν )R · 1 2 1 2– continuo: E(X) := t f (t) dtX N ≥R – Si approssima con (nν, nν) se ν 20, 30∈– costante a E(a) = aR:

• Uniforme unif(a, b) - Teorema Due parametri a e b, estremi dell'intervallo. V = [a, b] → Sia X v.a. con pdf f(t) o pmf φ(k) e una funzione g : xRX XY = g(X) allora 1R, ≤ ≤se a x bf(t) = b-aXZ 0 altrimentiXDi· ·E(Y) := g(k) φ(k) E(Y) := g(t) f(t) dtX X ≤( 0 t aRk t-a ≤t bF(t) =2 → XIn presenza di un vettore aleatorio X, Y e h : Z = b-aR R, 1 t>bh(X, Y) allora 2-(b-a)a + bX X ·E(Z) := h(j, k) φ(j, k) E(X) = , V ar(X) =X,Y 2 12j k →- Trasformazioni lineari: unif unifZZ ~ ≠Se U unif(a, b) e V := mU + q , m = 0 allora·h(u, v) f(u, v) du dvE(Z) := X,Y ~V unif(ma + q, mb + q)2
• R Esponenziale expo(λ) ∞R - vv. aa. positive: E(X) = [1 F(t)] dt Prevede un parametro λ detto rate o tasso di accadimento. V =x x0
• Covarianza [0, +∞). - Definizione -λt· ≥f(t) =

λ e ,t 0−Cov(X, Y ) : = E(XY ) E(X)E(Y ) X −λt− −= E [(X E(X))(Y E(Y ))] −F (t) = 1 eX– La covarianza è simmetrica e bilineare: 1 1E(X) = , V ar(X) =!n n n n 2λ λX X XX ·Cov a x , b y = a b Cov (x , y )j j i i i ii i −→– Omotetie: expo expoj i ji λ·α expo(λ) = expo ,α > 0– se X, Y indipendenti Cov(X, Y ) = 0 α– Assenza di memoria: | ∀t,P (T > t + t T > t ) = P (T > t) t > 00 0 0