Formulario Statistica

TEST D’IPOTESI

Ipotesi sulla proporzione p

̂ −p

z= √ p(1− p)

La statistica standardizzata è: n

H : p= p o

0 0 H : p> p

1 0

H : p ≤ p

0 0

Per verificare una p p

̂ −

delle ipotesi nulle 0 z

> α

H √ p p

(1− )

Si rifiuta se

0 0 0

n

H : p= p o

0 0 H : p< p

1 0

H : p ≥ p

0 0

Per verificare una p p

̂ −

delle ipotesi nulle 0 <−z α

H √ p p

(1− )

Si rifiuta se

0 0 0

n

H : p= p H : p ≠ p

0 0 1 0

Per verificare p p p p

̂ − ̂ −

l’ipotesi nulla 0 0

z

> <−z

α α

H √ √

p p p p

(1− ) (1− )

Si rifiuta se o

2 2

0 0 0 0 0

n n

TEST D’IPOTESI

Ipotesi sulla media: varianza incognita x

́ −μ

t= s

La statistica standardizzata è: √ n

H : μ=μ o

0 0 H : μ> μ

1 0

H : μ ≤ μ

0 0

Per verificare una

delle ipotesi nulle x

́ −μ >t n−1 ;α

H s

Si rifiuta se

0 √ n

H : μ=μ o

0 0 H : μ< μ

1 0

H : μ ≥ μ

0 0

Per verificare una

delle ipotesi nulle x

́ −μ <−t n−1; α

H s

Si rifiuta se

0 √ n

H : μ=μ H : μ ≠ μ

0 0 1 0

Per verificare

l’ipotesi nulla x x

́ −μ ́ −μ

>t <−t

α α

H s s

n−1 ; n−1;

Si rifiuta se o

0 2 2

√ √

n n

TEST D’IPOTESI

Ipotesi sulla differenza tra medie: campioni dipendenti

́

d−μ

d

t= s

La statistica standardizzata è: d

√ n

H : μ −μ =d

0 x y 0 H : μ −μ >d

1 x y 0

H : μ ≤ d

−μ

0 x y 0

Per verificare una

delle ipotesi nulle ́

d−d 0 t

> n−1 ;α

H s

Si rifiuta se

0 d

√ n

H : μ −μ =d

0 x y 0 H : μ −μ <d

1 x y 0

H : μ ≥ d

−μ

0 x y 0

Per verificare una

delle ipotesi nulle ́

d−d 0 <−t n−1 ;α

H s

Si rifiuta se

0 d

√ n

H : μ H : μ ≠ d

−μ =d −μ

0 x y 0 1 x y 0

Per verificare ́ ́

d−d d−d

l’ipotesi nulla 0 0

t

> <−t

α α

H s s

n−1 ; n−1 ;

Si rifiuta se o

0 d d

2 2

√ √

n n d =0

NB: quando voglio verificare l’ipotesi nulla di uguaglianza tra le medie di due popolazioni allora 0

TEST D’IPOTESI

Ipotesi sulla differenza tra medie: campioni indipendenti e varianze note

x y

( )−(μ

́ − ́ −μ )

x y

z= √ 2 2

σ σ

La statistica standardizzata è: x y

+

n n

x y

H : μ −μ =d

0 x y 0 H : μ −μ >d

1 x y 0

H : μ ≤ d

−μ

0 x y 0

Per verificare una x y

delle ipotesi nulle ́ − ́ −d 0 z

> α

√

H 2 2

σ σ

Si rifiuta se

0 x y

+

n n

x y

H : μ −μ =d

0 x y 0 H : μ −μ <d

1 x y 0

H : μ ≥ d

−μ

0 x y 0

Per verificare una x y

delle ipotesi nulle ́ − ́ −d 0 <−z α

√

H 2 2

σ σ

Si rifiuta se

0 x y

+

n n

x y

H : μ H : μ ≠ d

−μ =d −μ

0 x y 0 1 x y 0

Per verificare x y x y

́ − ́ −d ́ − ́ −d

l’ipotesi nulla 0 0

z

> <−z

α α

√ √

H 2 2 2 2

σ σ σ σ

2 2

Si rifiuta se o

0 x y x y

+ +

n n n n

x y x y d =0

NB: quando voglio verificare l’ipotesi nulla di uguaglianza tra le medie di due popolazioni allora 0

n , n >50

NB: se le varianze campionarie sono buoni stimatori delle varianze delle popolazioni

x y TEST D’IPOTESI

Ipotesi sulla differenza tra medie: campioni indipendenti e varianze incognite e uguali

x y

( )−(μ

́ − ́ −μ )

x y

t = √ 2 2

s s

La statistica standardizzata è: p p

+

n n

x y

H : μ −μ =d

0 x y 0 H : μ −μ >d

1 x y 0

H : μ ≤ d

−μ

0 x y 0

Per verificare una x y

delle ipotesi nulle ́ − ́ −d 0 >t n α

+n −2;

√

H 2 2 x y

s s

Si rifiuta se

0 p p

+

n n

x y

H : μ −μ =d

0 x y 0 H : μ −μ <d

1 x y 0

H : μ ≥ d

−μ

0 x y 0

Per verificare una x y

delle ipotesi nulle ́ − ́ −d 0 <−t n ;α

+n −2

√

H 2 2 x y

s s

Si rifiuta se

0 p p

+

n n

x y

H : μ H : μ ≠ d

Per verificare −μ =d −μ

0 x y 0 1 x y 0

l’ipotesi nulla x y

́ − ́ −d 0 >t α

√ 2 2 n +n −2;

s s x y 2 o

p p

+

n n

x y

H

Si rifiuta se

0 x y

́ − ́ −d 0 <−t α

√ 2 2 n ;

+n −2

s s x y 2

p p

+

n n

x y d =0

NB: quando voglio verificare l’ipotesi nulla di uguaglianza tra le medie di due popolazioni allora 0

σ =σ =s

NB: se x y p

TEST D’IPOTESI

Ipotesi sulla differenza tra medie: campioni indipendenti e varianze incognite e diverse

x y

( )−(μ

́ − ́ −μ )

x y

t = √ 2 2

s s

La statistica standardizzata è: x y

+

n n

x y

H : μ −μ =d

0 x y 0 H : μ −μ >d

1 x y 0

H : μ ≤ d

−μ

0 x y 0

Per verificare una x y

delle ipotesi nulle ́ − ́ −d 0 >t υ ;α

√

H 2 2

s s

Si rifiuta se

0 x y

+

n n

x y

H : μ −μ =d

0 x y 0 H : μ −μ <d

1 x y 0

H : μ ≥ d

−μ

0 x y 0

Per verificare una x y

delle ipotesi nulle ́ − ́ −d 0 <−t υ ;α

√

H 2 2

s s

Si rifiuta se

0 x y

+

n n

x y

Per verificare H : μ H : μ ≠ d

−μ =d −μ

0 x y 0 1 x y 0

l’ipotesi nulla x y x y

́ − ́ −d ́ − ́ −d

0 0

>t <−t

α α

√ √

H 2 2 υ; 2 2 υ;

s s s s

2 2

Si rifiuta se o

0 x y x y

+ +

n n n n

x y x y d =0

NB: quando voglio verificare l’ipotesi nulla di uguaglianza tra le medie di due popolazioni allora 0

TEST D’IPOTESI

Ipotesi sulla differenza tra proporzioni

p p p p

( )

̂ − ̂ −( − )

x y 0 0

z= √ p p p

(1− ) (1−p )

La statistica standardizzata è: 0 0 0 0

+

n n

x y

H : p p p H : p p p

Per verificare una − = − >

0 x y 0 1 x y 0

delle ipotesi nulle H : p p ≤ p

−

0 x y 0 p p

̂ − ̂

( )

x y z

> α

H √ p p p p

(1− ) (1− )

Si rifiuta se

0 0 0 0 0

+

n n

x y

H : p p p

− =

0 x y 0 H : p p p

− <

1 x y 0

H : p p ≥ p

−

0 x y 0

Per verificare una

delle ipotesi nulle p p

( )

̂ − ̂

x y <−z α

H √ p p p p

(1− ) (1− )

Si rifiuta se

0 0 0 0 0

+

n n

x y

H : p p p H : p p ≠ p

− = −

0 x y 0 1 x y 0

p p

( )

̂ − ̂

x y z

> α

√ p p p p

Per verificare (1− ) (1− ) o

2

0 0 0 0

+

l’ipotesi nulla n n

x y

H

Si rifiuta se

0 p p

̂ − ̂

( )

x y <−z α

√ p p p p

(1− ) (1− ) 2

0 0 0 0

+

n n

x y p p

− =0

NB: si ipotizza l’uguaglianza tra le proporzioni delle popolazioni, così che 0 0

n> 40

NB: si tratta di grandi campioni, ovvero con per ogni campione

TEST D’IPOTESI

Ipotesi sulla varianza 2

La relazione tra la varianza della popolazione e s

(n−1)

2

χ =

quella del campione è individuata dalla n−1 2

σ

distribuzione chi-quadrato:

2 2

H : σ =σ

0 0 2 2

H : σ σ

>

1 0

2 2

H : σ ≤ σ

0 0

Per verificare una

delle ipotesi nulle 2

(n−1)s 2

H χ

>

Si rifiuta se

0 n−1; α

2

σ 0

2 2

H : σ =σ

0 0 2 2

H : σ σ

<

1 0

2 2

H : σ ≥ σ

0 0

Per verificare una

delle ipotesi nulle 2

s

(n−1) 2

H χ

<

Si rifiuta se

0 n−1;1−α

2

σ 0

2 2 2 2

H : σ H : σ ≠ σ

=σ

0 0 1 0

Per verificare

l’ipotesi nulla 2 2

(n−1)s (n−1)s

2 2

H χ χ

> <

Si rifiuta se o

0 α α

2 2

σ σ

n−1; n−1;1−

2 2

0 0

NB: alla base c’è l’assunto della popolazione normale

TEST D’IPOTESI

Ipotesi sul confronto tra varianze 2

s x

2

σ x

F=

Viene utilizzata la distribuzione F: 2

s y

2

σ y

2 2

H : σ =σ

0 x y 2 2

H : σ >σ

1 x y

2 2

H : σ ≤ σ

0 x y

Per verificare una

delle ipotesi nulle 2

s x

H F

>

Si rifiuta se

0 n ; α

−1,n −1

2

s x y

y

2 2 2 2

H : σ H : σ ≠ σ

=σ

0 x y 1 x y

Per verificare

l’ipotesi nulla 2

s x

H >F

Si rifiuta se

0 α

2

s n ;

−1,n −1

x y 2

y

NB: è stato ipotizzato che le varianze delle popolazioni siano uguali

NB: al numeratore si inserire la varianza campionaria maggiore

REGRESSI